3.1.1 两角差的余弦公式精品学案

3.1.1 两角差的余弦公式 高中数学       人教A版2003课标版

三维目标         

（1）知识目标：理解两角差的余弦公式的推导过程，熟记并运用两角差的余弦公式。

（2）能力目标 ：培养学生严密而准确的数学表达能力、观察能力、逻辑推理能力，以及自主学习和合作学习能力。

（3）情感目标：学生在经历知识的发现、探索、证明的过程中，体验成功探索新知的乐趣，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的热情。

重点：通过探究得到两角差的余弦公式

难点：探究过程的组织和引导。

       对公式的推导，需要良好的三角函数基础，即会作三角函数线，也需要一定的向量知识。学生刚刚学习了同角三角函数的变换及平面向量的知识，对举反例否定猜想、运用单位圆、用向量解决三角问题已经有了一定的基础。但这个阶段的学生，代数运算和推理能力还有待于进一步培养。因此，在用三角函数线求      时，学生很难把它们二者联系起来。还有用向量来证明时，就       与 之间的关系不容易理清楚。

      但通过课前对导学案完成情况的检查，了解学生自主学习过程中存在的困惑，进一步增强了授课的针对性。

    为了突破难点，我让学生先考虑锐角的情况，利用数形结合的思想，借助单位圆中的三角函数线，得出角α，β，α－β均为锐角时成立的结论，但这有一定的局限性。接着用几何画板，在各个象限取一些角度，进行验证。最后运用向量的知识进行论证。然后通过梯度练习、变式训练、分层作业等巩固知识。

1、通过导学案，要求学生先自主学习。这样，既培养了学生自主学习的能力，又为课堂上合作学习、师生互动做好铺垫。

2、采用探究式教学模式，让学生经历知识的发生发展过程，自主构建知识体系。

3、利用几何画板强大的计算功能，完成数学实验。

4、注重多元化的教学评价，把结果和过程结合起来，把知识和能力结合起来，突出学生的主体性，实现对显形教学（知识与能力）与隐性教学（情感、态度、价值观）的双重评价，促进学生的全面发展。

例：如图所示,一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F的作用下物体沿斜坡运动了３m,求力F作用在物体上的功W．

F

怎样联系单位圆上的三角函数线来探究公式？

思考1：如何构造锐角 ， ， ，且 >

思考2：如何画出 ， ， 的三角函数线，并观察它们之间有什么关系？

经过探究可得：当 ， ， 都是锐角，且 时，有 。

思考3：此公式在角 ， 为任意角时是否成立？

用几何画板进行数学实验,验证在各个象限时，公式是否成立。当然，这也是一种取特殊值验证的过程，只是取得 ， ， 更多而已，并不能视为严格的数学证明过程。

思考1：根据 的结构特征，你能联想到一个怎样的计算？

思考2：结合图形，明确应选择哪几个向量，它们如何表示？

思考3：怎样利用向量的数量积概念和计算公式得到探究结果？

思考4： 与 的关系如何？

思考5：请同学们仔细观察公式的结构，说说公式有什么特点？应怎样记忆？

思考6：有没有其他证明方法？

例1：利用两角差的余弦公式求 的值

（1）学习了两角差的余弦公式。

（2）理解两角差的余弦公式的推导过程。

（3）数学方法和数学思想：数形结合、特殊到一般、分类讨论等。

见导学案-课外作业案

见下节课导学案

3.1.1 两角差的余弦公式

3.1.1 两角差的余弦公式

例：如图所示,一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F的作用下物体沿斜坡运动了３m,求力F作用在物体上的功W．

F

怎样联系单位圆上的三角函数线来探究公式？

思考1：如何构造锐角 ， ， ，且 >

思考2：如何画出 ， ， 的三角函数线，并观察它们之间有什么关系？

经过探究可得：当 ， ， 都是锐角，且 时，有 。

思考3：此公式在角 ， 为任意角时是否成立？

用几何画板进行数学实验,验证在各个象限时，公式是否成立。当然，这也是一种取特殊值验证的过程，只是取得 ， ， 更多而已，并不能视为严格的数学证明过程。

思考1：根据 的结构特征，你能联想到一个怎样的计算？

思考2：结合图形，明确应选择哪几个向量，它们如何表示？

思考3：怎样利用向量的数量积概念和计算公式得到探究结果？

思考4： 与 的关系如何？

思考5：请同学们仔细观察公式的结构，说说公式有什么特点？应怎样记忆？

思考6：有没有其他证明方法？

例1：利用两角差的余弦公式求 的值

（1）学习了两角差的余弦公式。

（2）理解两角差的余弦公式的推导过程。

（3）数学方法和数学思想：数形结合、特殊到一般、分类讨论等。

见导学案-课外作业案

见下节课导学案