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共1课时
3.1.1 两角差的余弦公式 高中数学 人教A版2003课标版 1教学目标1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构 及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。 2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。 3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。 2学情分析之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角 的正弦余弦值来表示 ，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习 3重点难点重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。 难点 探索过程的组织和引导。 4教学过程 4.1 第一学时 教学活动 活动1【讲授】两角差的余弦（一）创设情景，揭示课题 以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的 用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。 教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器) 问题：（1）能不能不用计算器求值 ： ， ， （2） 设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。 （二）、研探新知 1.三角函数线法： 问：①怎样作出角 、 、 的终边。 ②怎样作出角 的余弦线OM ③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。 设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。 设角 终边与单位圆地交点为P1， 。 那么 OA表示 ，AP 表示 ，并且 于是 OM=OB+BM =OB+CP =OA +AP = 最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件： 、 、 都是锐角，且 2.向量法： 问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。 由向量数量积的概念,有
由向量数量积的坐标表示,有 因为 、 、都是任 意 角,所以 也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个 ，使得 。 于是对于任意角 、 都有
例1. 利用差角余弦公式求 的值 （求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题） 解法1： 解法2： 变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式： （1） ； （2） （让学生联系公式 和本题的条件，考虑清楚要计算 ，应作那些准备。） 解：由 ，得 又由 ， 是第三象限角，得 所以 让学生结合公式 ，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。 变式训练： （三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维 1.利用两角和（差）的余弦公式，求 【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如： ，要学会灵活运用. 2.求值 3．化简
提示：利用拆角思想 的变换技巧 （设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。） （四）发导学案、布置预习 本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式 的推导，能熟练运用公式 ，注意公式 的逆用。在解题过程中注意角 、 的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本 习题2.3.4 (设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。) 九、板书设计 两角差的余弦公式 1.三角函数线法 2.向量法 例1 变式训练 例2 变式训练 当堂训练1. 2. 4. 十、教学反思 本节主要考察如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角 ， 的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题. 设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程（包括发现、 猜想、论证的数学化的过程）的理解。 十一、学案设计(见下页)
课前预习学案 一、预习目标 预习《两角差的余弦公式》，体会两角差的余弦公式的推导过程 ，尤其是向量法的运用。 预习内容 阅读课本相关内容，经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法作用，并回答以下问题： 如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ； 如何求出 的值; 会求 的值吗？ 提出疑惑 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 学习内容 通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打 好基础。 学习过程 探究一：（1）能不能不用计算器求值 ： ， ， （2） 探究二：两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法： 问：①怎样作出角 、 、 的终边。 ②怎样作出角 的余弦线OM ③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。 2.向量法： 问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 例题整理 利用差角余弦公式求 的值 变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式： （1） ； （2） 变式训练： 。 反思总结 本节主要考察如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角 ， 的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).在求值的过程中，还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题. 当堂检测 1.利用两角和（差）的余弦公式，求 2.求值 3．化简 课后练习与提高 一、选择题 1. 的值为 （ ） A. B. C. D. 2. 的值为 （ ） A. B. C. D . 3.已知 ，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题 4.化简 = 5.若 ，则 = 三、解答题、 6.已知 ，求 的值. （一）创设情景，揭示课题 以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的 用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。 教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器) 问题：（1）能不能不用计算器求值 ： ， ， （2） 设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。 （二）、研探新知 1.三角函数线法： 问：①怎样作出角 、 、 的终边。 ②怎样作出角 的余弦线OM ③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。 设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。 设角 终边与单位圆地交点为P1， 。 那么 OA表示 ，AP 表示 ，并且 于是 OM=OB+BM =OB+CP =OA +AP = 最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件： 、 、 都是锐角，且 2.向量法： 问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。 由向量数量积的概念,有
由向量数量积的坐标表示,有 因为 、 、都是任 意 角,所以 也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个 ，使得 。 于是对于任意角 、 都有
例1. 利用差角余弦公式求 的值 （求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题） 解法1： 解法2： 变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式： （1） ； （2） （让学生联系公式 和本题的条件，考虑清楚要计算 ，应作那些准备。） 解：由 ，得 又由 ， 是第三象限角，得 所以 让学生结合公式 ，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。 变式训练： （三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维 1.利用两角和（差）的余弦公式，求 【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如： ，要学会灵活运用. 2.求值 3．化简
提示：利用拆角思想 的变换技巧 （设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。） （四）发导学案、布置预习 本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式 的推导，能熟练运用公式 ，注意公式 的逆用。在解题过程中注意角 、 的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本 习题2.3.4 (设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。) 九、板书设计 两角差的余弦公式 1.三角函数线法 2.向量法 例1 变式训练 例2 变式训练 当堂训练1. 2. 4. 十、教学反思 本节主要考察如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角 ， 的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题. 设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程（包括发现、 猜想、论证的数学化的过程）的理解。 十一、学案设计(见下页)
课前预习学案 一、预习目标 预习《两角差的余弦公式》，体会两角差的余弦公式的推导过程 ，尤其是向量法的运用。 预习内容 阅读课本相关内容，经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法作用，并回答以下问题： 如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ； 如何求出 的值; 会求 的值吗？ 提出疑惑 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 学习内容 通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打 好基础。 学习过程 探究一：（1）能不能不用计算器求值 ： ， ， （2） 探究二：两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法： 问：①怎样作出角 、 、 的终边。 ②怎样作出角 的余弦线OM ③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。 2.向量法： 问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 例题整理 利用差角余弦公式求 的值 变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式： （1） ； （2） 变式训练： 。 反思总结 本节主要考察如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角 ， 的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).在求值的过程中，还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题. 当堂检测 1.利用两角和（差）的余弦公式，求 2.求值 3．化简 课后练习与提高 一、选择题 1. 的值为 （ ） A. B. C. D. 2. 的值为 （ ） A. B. C. D . 3.已知 ，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题 4.化简 = 5.若 ，则 = 三、解答题、 6.已知 ，求 的值. v 3.1.1 两角差的余弦公式 课时设计 课堂实录3.1.1 两角差的余弦公式 1第一学时 教学活动 活动1【讲授】两角差的余弦（一）创设情景，揭示课题 以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的 用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。 教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器) 问题：（1）能不能不用计算器求值 ： ， ， （2） 设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。 （二）、研探新知 1.三角函数线法： 问：①怎样作出角 、 、 的终边。 ②怎样作出角 的余弦线OM ③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。 设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。 设角 终边与单位圆地交点为P1， 。 那么 OA表示 ，AP 表示 ，并且 于是 OM=OB+BM =OB+CP =OA +AP = 最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件： 、 、 都是锐角，且 2.向量法： 问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。 由向量数量积的概念,有
由向量数量积的坐标表示,有 因为 、 、都是任 意 角,所以 也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个 ，使得 。 于是对于任意角 、 都有
例1. 利用差角余弦公式求 的值 （求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题） 解法1： 解法2： 变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式： （1） ； （2） （让学生联系公式 和本题的条件，考虑清楚要计算 ，应作那些准备。） 解：由 ，得 又由 ， 是第三象限角，得 所以 让学生结合公式 ，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。 变式训练： （三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维 1.利用两角和（差）的余弦公式，求 【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如： ，要学会灵活运用. 2.求值 3．化简
提示：利用拆角思想 的变换技巧 （设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。） （四）发导学案、布置预习 本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式 的推导，能熟练运用公式 ，注意公式 的逆用。在解题过程中注意角 、 的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本 习题2.3.4 (设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。) 九、板书设计 两角差的余弦公式 1.三角函数线法 2.向量法 例1 变式训练 例2 变式训练 当堂训练1. 2. 4. 十、教学反思 本节主要考察如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角 ， 的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题. 设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程（包括发现、 猜想、论证的数学化的过程）的理解。 十一、学案设计(见下页)
课前预习学案 一、预习目标 预习《两角差的余弦公式》，体会两角差的余弦公式的推导过程 ，尤其是向量法的运用。 预习内容 阅读课本相关内容，经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法作用，并回答以下问题： 如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ； 如何求出 的值; 会求 的值吗？ 提出疑惑 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 学习内容 通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打 好基础。 学习过程 探究一：（1）能不能不用计算器求值 ： ， ， （2） 探究二：两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法： 问：①怎样作出角 、 、 的终边。 ②怎样作出角 的余弦线OM ③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。 2.向量法： 问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 例题整理 利用差角余弦公式求 的值 变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式： （1） ； （2） 变式训练： 。 反思总结 本节主要考察如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角 ， 的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).在求值的过程中，还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题. 当堂检测 1.利用两角和（差）的余弦公式，求 2.求值 3．化简 课后练习与提高 一、选择题 1. 的值为 （ ） A. B. C. D. 2. 的值为 （ ） A. B. C. D . 3.已知 ，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题 4.化简 = 5.若 ，则 = 三、解答题、 6.已知 ，求 的值. （一）创设情景，揭示课题 以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的 用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。 教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器) 问题：（1）能不能不用计算器求值 ： ， ， （2） 设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。 （二）、研探新知 1.三角函数线法： 问：①怎样作出角 、 、 的终边。 ②怎样作出角 的余弦线OM ③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。 设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。 设角 终边与单位圆地交点为P1， 。 那么 OA表示 ，AP 表示 ，并且 于是 OM=OB+BM =OB+CP =OA +AP = 最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件： 、 、 都是锐角，且 2.向量法： 问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。 由向量数量积的概念,有
由向量数量积的坐标表示,有 因为 、 、都是任 意 角,所以 也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个 ，使得 。 于是对于任意角 、 都有
例1. 利用差角余弦公式求 的值 （求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题） 解法1： 解法2： 变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式： （1） ； （2） （让学生联系公式 和本题的条件，考虑清楚要计算 ，应作那些准备。） 解：由 ，得 又由 ， 是第三象限角，得 所以 让学生结合公式 ，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。 变式训练： （三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维 1.利用两角和（差）的余弦公式，求 【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如： ，要学会灵活运用. 2.求值 3．化简
提示：利用拆角思想 的变换技巧 （设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。） （四）发导学案、布置预习 本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式 的推导，能熟练运用公式 ，注意公式 的逆用。在解题过程中注意角 、 的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本 习题2.3.4 (设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。) 九、板书设计 两角差的余弦公式 1.三角函数线法 2.向量法 例1 变式训练 例2 变式训练 当堂训练1. 2. 4. 十、教学反思 本节主要考察如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角 ， 的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题. 设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程（包括发现、 猜想、论证的数学化的过程）的理解。 十一、学案设计(见下页)
课前预习学案 一、预习目标 预习《两角差的余弦公式》，体会两角差的余弦公式的推导过程 ，尤其是向量法的运用。 预习内容 阅读课本相关内容，经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法作用，并回答以下问题： 如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ； 如何求出 的值; 会求 的值吗？ 提出疑惑 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 学习内容 通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打 好基础。 学习过程 探究一：（1）能不能不用计算器求值 ： ， ， （2） 探究二：两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法： 问：①怎样作出角 、 、 的终边。 ②怎样作出角 的余弦线OM ③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。 2.向量法： 问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 例题整理 利用差角余弦公式求 的值 变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式： （1） ； （2） 变式训练： 。 反思总结 本节主要考察如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角 ， 的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).在求值的过程中，还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题. 当堂检测 1.利用两角和（差）的余弦公式，求 2.求值 3．化简 课后练习与提高 一、选择题 1. 的值为 （ ） A. B. C. D. 2. 的值为 （ ） A. B. C. D . 3.已知 ，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题 4.化简 = 5.若 ，则 = 三、解答题、 6.已知 ，求 的值. v Tags：3.1.1,两角,余弦,公式,优秀
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