1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教案3

1.4.2　正弦函数、余弦函… 高中数学       人教A版2003课标版

1.知识与技能

（1）理解正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最大值和最小值的概念；

（2）会判断三角函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间，会求三角函数的最值；

（3）经历三角函数性质的探究过程，感受研究函数性质的一般思路与方法，体会数形结合、特殊到一般、类比等数学思想方法，形成知识的迁移能力.

2．过程与方法

“问题是数学的核心”，是学生学习的出发点，学生总是带着“以问题为中心”心理参与课堂探究，本节课将继续实践“问题串”呈现和“紧凑型例题”设置的教学模式，以问题和变式的方式，引导学生主动学习、合作探究、展示交流.

3.情感、态度与价值观

通过学习，体会数学的变化规律，提高学习数学的兴趣，通过问题合作探究，培养学生的探索精神和探究创新能力.

1.教材分析

本节为《普通高中课程标准实验教科书.数学必修4(人教社A版)》第一章《三角函数》的“1.4.2正弦函数、余弦函数的性质”的第二课时的内容（第1节是主要任务是学习三角函数的图像，第2节课的第一课时主要研究三角函数的周期性），是正弦函数、余弦函数图像与性质从数到形，从形到数的完美结合，是实现从定量分析到定性认识的升华过程，更是函数性质在三角函数中的深入研究，同时为后续研究正切函数的图像性质做准备，承前启后的作用不言而喻.

2．学情分析

该课堂的教学是在学生已经学习了三角函数的性质（一）即函数周期性的基础上展开的.学生已经具备了一定的探究经验和分析、解决问题的思维方式方法，可以借助已有的知识与能力储备，充分运用数形结合的思想来完成本节课的学习任务.

3．课标解读

与研究周期性的方法一样，根据正弦函数、余弦函数图像及函数解析式，同样可以直观地看出这两个函数的奇偶性、单调性、最大（小）值等性质. 值得注意的是，对周期函数的讨论，只要认识清楚它在这个周期内的性质，就可以得到它在整个定义域内的性质.

正弦函数、余弦函数的奇偶性，无论是由图像观察，还是由诱导公式进行证明，都较容易，所以这一性质的研究可以交给学生完成.

正弦函数、余弦函数的单调性，只要求由图像观察，不要求证明.

4.《考试说明》与《学科教学指导意见》的诠释

《2015年浙江省普通高考考试说明》(下简称《考试说明》)的本节内容的考试要求叙述为“理解正弦函数、余弦函数的图像与性质（如单调性、最大最小值以及与 轴交点等）”.

《2012版浙江省普通高中学科数学教学指导意见》（下简称《学科教学指导意见》）对本节内容的教学重点是：正弦、余弦函数的图像及其主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值和值域），难点是：正弦函数和余弦函数图像间的变换.

对三角函数的图像与性质的教学，建议通过给出一定的实例，展现正弦函数图像，使学生对这类函数图像有一个直观的了解.

教学重点：

正弦函数、余弦函数的奇偶性，单调性，最值，研究函数性质的方法.

教学难点：

利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性与最值.

1、课题引入

【思考1】如何求函数 与直线 围成的封闭图形的面积？

师：你希望通过什么办法来求该封闭图形的面积？

生：对称

师：很好！余弦函数有什么样的对称性呢？

【思考2】不求值，怎样比较 与 的大小？

师：在不求值的前提下，比较不同角的正弦值，你觉得应当如何考虑？

生：研究正弦函数的单调性，再利用单调性比较.

师：好极了！正弦函数有怎样的对称性和单调性呢？让我们一起来探究一下，这两个函数的重要性质吧！

设计意图：给出2个思考题，显然是为了激发学生的求知欲望.思考1是希望同学在掌握余弦函数奇偶性的基础上，进一步探究归纳出它的对称性，从而不难求得封闭图形的面积；思考2是根据教材上的例题改编的，目的是通过诱导将两个要比较的正弦值，看作是在某个单调区间上的函数值比较，为本节课研究正弦函数单调性做好铺垫.

【问题1】观察已学的正弦函数、余弦函数的图像，你是否发现它们具有的某种对称性？请给出你的证明？

设计意图：让学生利用直观图像发现对称，进而反映到代数性质上，得到正弦函数、余弦函数的奇偶性，使学生能从“以形助数”和“以数辅形”的数形结合思想来理解这两个函数的奇偶性.

【问题2】任取正弦函数的一个周期的图像，如何探究它的单调性？你能写出它在 上的增区间、减区间吗？

设计意图：提出问题，让他们自主探究，并获得正弦函数的增减区间，但必须注意给学生充足的思考时间，培养学生自主探究能力，同时对进一步理解周期函数也有较好的促进作用.

3、新知理解

（1）练习：P40  1，2，4

设计意图：通过学生自主解答，进一步理解正弦函数、余弦函数的单调性与最值.

学生活动：略

教师活动：巡视或参与个别同学的交流，既要肯定他们的研究成果，也应当纠正存在的问题，使多数同学得到及时点拨和指导.

（2）例1  求下列函数的最大（小）值及相应 的集合.

（ⅰ） ；

（ⅱ） .

设计意图：通过从特殊到一般研究方法及换元法的思想，让同学在理解新知的基础上，归纳出形如 或 的函数最值情况.

教师活动：教师板书解答过程，强调书写要求.

变式1：函数改为 ？

变式2：试比较： 的大小，并说明理由.

变式3：求函数 的值域？

变式4：求函数 的单调增区间？

变式5：求函数 的单调增区间？

设计意图：通过一系列的变式，使学生能正确利用正弦函数、余弦函数的单调性解答有关最值及比较大小问题，使对知识的考查更为紧凑，在激发学生的求知欲望的同时，实现自我挑战.

【问题5】容易知道，正弦函数 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？若有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？若是，对称轴的方程又是什么？

设计意图：对称性是函数奇偶性的推广，给出问题5比较自然贴切.本节课在充分运用数学思想的前提下，研究正弦函数、余弦函数的两个重要性质——奇偶性和单调性，而对称性是从整体角度研究的函数性质，利用数形结合的思想和由特殊到一般的方法，归纳出 对称中心坐标和对称轴方程的一般形式，目的是培养学生的探究能力与创新意识，为今后学习其他函数知识提供重要的理论与实践经验.

结论5：正弦函数 的对称中心为 ，对称轴方程是 .

5、课堂小结

1、本堂课我们学习了正弦函数、余弦函数的哪些重要性质？

2、探究正弦函数、余弦函数的性质的基本思路是什么？

三、课后作业

1、必修四 P41 练习  6     P46  习题 1.4  A组  2，4，5

2、类比问题5，研究余弦曲线的对称中心坐标和对称轴方程？

1、发展思维是数学教学的核心

本堂课笔者主要通过2个问题引入新课，激发学生求解欲望.之后，通过4个问题串，将主要的新知以进行循序渐进、层层深入的自然方式，逐个解答，形成概念.每个问题都是通过学生自主探究，归纳总结得到，远比教师强硬灌输的效果要好.

教学中要注意引导学生根据函数图像以及《必修1》中给出的增减函数定义进行描述，具体的可以先选择一个恰当的区间（该区间长为一个周期，且含有一个单增区间和一个单减区间），对于正弦函数在这个区间上的单调性进行描述；然后利用正弦函数的周期性说明在其他区间上的单调性.

正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，由于问题比较简单，所以可以由学生自己去研究.同样的，对于最大（小）值时的自变量的一般形式，也要注意引导学生利用周期性进行正确归纳.

2、渗透思想是数学教学的灵魂

本堂课通过例题和一系列的变式研究，形成了知识体系，渗透了“类比”和“数形结合”的重要思想，并在问题的探究、解决过程中揭示了数学思想方法的本质内涵.使学生深刻体会解决这类问题的基本规律是——特殊到一般.

对于余弦函数的单调性，可以让学生类比正弦函数的单调性自己描述，另外，从一个周期区间推广到整个定义域上去，学生会有些不习惯，教学值要留给学生一定的思考时间，由他们自己归纳出正弦函数、余弦函数单调区间的一般形式.

3、培养能力是数学教学的宗旨

本堂课，无论从学生探究新知，还是归纳结论，都体现培养能力的根本宗旨.尤其是一个例题的5个变式，步步紧逼，层层深入，让学生深刻领会到：变是一种创新，是一种智慧，更是一种能力.

1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质

1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质

1、课题引入

【思考1】如何求函数 与直线 围成的封闭图形的面积？

师：你希望通过什么办法来求该封闭图形的面积？

生：对称

师：很好！余弦函数有什么样的对称性呢？

【思考2】不求值，怎样比较 与 的大小？

师：在不求值的前提下，比较不同角的正弦值，你觉得应当如何考虑？

生：研究正弦函数的单调性，再利用单调性比较.

师：好极了！正弦函数有怎样的对称性和单调性呢？让我们一起来探究一下，这两个函数的重要性质吧！

设计意图：给出2个思考题，显然是为了激发学生的求知欲望.思考1是希望同学在掌握余弦函数奇偶性的基础上，进一步探究归纳出它的对称性，从而不难求得封闭图形的面积；思考2是根据教材上的例题改编的，目的是通过诱导将两个要比较的正弦值，看作是在某个单调区间上的函数值比较，为本节课研究正弦函数单调性做好铺垫.

【问题1】观察已学的正弦函数、余弦函数的图像，你是否发现它们具有的某种对称性？请给出你的证明？

设计意图：让学生利用直观图像发现对称，进而反映到代数性质上，得到正弦函数、余弦函数的奇偶性，使学生能从“以形助数”和“以数辅形”的数形结合思想来理解这两个函数的奇偶性.

【问题2】任取正弦函数的一个周期的图像，如何探究它的单调性？你能写出它在 上的增区间、减区间吗？

设计意图：提出问题，让他们自主探究，并获得正弦函数的增减区间，但必须注意给学生充足的思考时间，培养学生自主探究能力，同时对进一步理解周期函数也有较好的促进作用.

3、新知理解

（1）练习：P40  1，2，4

设计意图：通过学生自主解答，进一步理解正弦函数、余弦函数的单调性与最值.

学生活动：略

教师活动：巡视或参与个别同学的交流，既要肯定他们的研究成果，也应当纠正存在的问题，使多数同学得到及时点拨和指导.

（2）例1  求下列函数的最大（小）值及相应 的集合.

（ⅰ） ；

（ⅱ） .

设计意图：通过从特殊到一般研究方法及换元法的思想，让同学在理解新知的基础上，归纳出形如 或 的函数最值情况.

教师活动：教师板书解答过程，强调书写要求.

变式1：函数改为 ？

变式2：试比较： 的大小，并说明理由.

变式3：求函数 的值域？

变式4：求函数 的单调增区间？

变式5：求函数 的单调增区间？

设计意图：通过一系列的变式，使学生能正确利用正弦函数、余弦函数的单调性解答有关最值及比较大小问题，使对知识的考查更为紧凑，在激发学生的求知欲望的同时，实现自我挑战.

【问题5】容易知道，正弦函数 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？若有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？若是，对称轴的方程又是什么？

设计意图：对称性是函数奇偶性的推广，给出问题5比较自然贴切.本节课在充分运用数学思想的前提下，研究正弦函数、余弦函数的两个重要性质——奇偶性和单调性，而对称性是从整体角度研究的函数性质，利用数形结合的思想和由特殊到一般的方法，归纳出 对称中心坐标和对称轴方程的一般形式，目的是培养学生的探究能力与创新意识，为今后学习其他函数知识提供重要的理论与实践经验.

结论5：正弦函数 的对称中心为 ，对称轴方程是 .

5、课堂小结

1、本堂课我们学习了正弦函数、余弦函数的哪些重要性质？

2、探究正弦函数、余弦函数的性质的基本思路是什么？

三、课后作业

1、必修四 P41 练习  6     P46  习题 1.4  A组  2，4，5

2、类比问题5，研究余弦曲线的对称中心坐标和对称轴方程？

1、发展思维是数学教学的核心

本堂课笔者主要通过2个问题引入新课，激发学生求解欲望.之后，通过4个问题串，将主要的新知以进行循序渐进、层层深入的自然方式，逐个解答，形成概念.每个问题都是通过学生自主探究，归纳总结得到，远比教师强硬灌输的效果要好.

教学中要注意引导学生根据函数图像以及《必修1》中给出的增减函数定义进行描述，具体的可以先选择一个恰当的区间（该区间长为一个周期，且含有一个单增区间和一个单减区间），对于正弦函数在这个区间上的单调性进行描述；然后利用正弦函数的周期性说明在其他区间上的单调性.

正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，由于问题比较简单，所以可以由学生自己去研究.同样的，对于最大（小）值时的自变量的一般形式，也要注意引导学生利用周期性进行正确归纳.

2、渗透思想是数学教学的灵魂

本堂课通过例题和一系列的变式研究，形成了知识体系，渗透了“类比”和“数形结合”的重要思想，并在问题的探究、解决过程中揭示了数学思想方法的本质内涵.使学生深刻体会解决这类问题的基本规律是——特殊到一般.

对于余弦函数的单调性，可以让学生类比正弦函数的单调性自己描述，另外，从一个周期区间推广到整个定义域上去，学生会有些不习惯，教学值要留给学生一定的思考时间，由他们自己归纳出正弦函数、余弦函数单调区间的一般形式.

3、培养能力是数学教学的宗旨

本堂课，无论从学生探究新知，还是归纳结论，都体现培养能力的根本宗旨.尤其是一个例题的5个变式，步步紧逼，层层深入，让学生深刻领会到：变是一种创新，是一种智慧，更是一种能力.