3.1.1 方程的根与函数的零点名师教学设计2

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

本节内容是人教版必修一第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一个内容《方程的实数根与函数的零点》，是下一节“二分法”的知识基础。本节课的一个重要任务就是让学生学会用函数的知识去研究方程的根的问题，通过零点概念的学习，建立方程与函数在数和形上的对应，体会函数与方程的思想解决问题的基本方法。

1．知识与技能：（1）理解函数零点的定义；（2）掌握零点存在区间的判断方法.

2. 过程与方法：（1）由特殊的一元二次方程的根与相应二次函数的关系，推广到一般方程与函数的

关系；（2）由特殊函数的零点所在区间的判断推广到一般情况；（3）由学生自主探究得到零点存在区

间的判断方法.

3. 情感、态度、价值观：（1）在学习的过程中，体会函数方程思想及数形结合思想的应用；（2）感

受学习、探索、发现的乐趣.

1、学生的知识准备：通过初中和高一上学期的学习，学生掌握了一元一次方程、一元二次方程的解法。对几种初等函数的图象有了比较全面的了解，能够比较准确的判断初等函数与x轴的交点情况。学生学习函数零点有了较为充分的函数知识准备。同时学生通过对指数和对数的学习，在遇到用零点存在性定理判定超越函数在区间上是否存在零点提供了运算的知识准备。

2、心理准备：学生能够通过一元二次方程的根与对应二次函数与x轴的交点横坐标的关系理解零点的概念，但在任意函数的零点与对应方程的实数根关系的转化上还存在一定难度。

教学重点：函数零点与方程根之间的联系，初步形成利用函数方程思想处理问题的意识.

教学难点：方程的实数根与函数零点关系的灵活转化，探究判断函数的零点个数和所在区间的方法. 

解方程的历史的视频

这些方程你会求解吗？

； ； ； .

      一元一次方程 的根与一次函数 的图像有什么关系？

归纳：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系

    方程的根即函数图象与x轴交点的________，不等式的解集即函数图象在x轴______________图象所对应x的范围.

结论：

1.方程根的个数就是函数图像与____轴交点的个数；

2.方程的根就是函数图像与______轴交点的横坐标.

方程_________有实数根          函数 的图像与__________轴有交点

函数的零点定义：

对于函数 ,使___________的实数_________,叫做函数 的零点.

零点是一个点吗?

方程 有实数根             函数 有零点

函数 的图像与_______轴有交点

即兴练习:

1、函数 的零点是（   ）

3、函数 的零点是2,则a=________.

实例探究:

观察二次函数 的图像：

1 · _____0（＜或＞），

函数 在区间(-2,1)上是否有零点？

2 · ____0（＜或＞），

函数 在区间(2,4)上是否有零点？ 

思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？

观察函数f(x)的图像

1. 在区间(a,b)上____(有/无)零点；

     f(a)·f(b) ____ 0（填＜或＞）．

2 .在区间(b,c)上____(有/无)零点；

    f(b)· f(c)____ 0（填＜或＞）．

猜想：

若函数在区间[a,b]上图像是连续的，如果有      成立，那么函数在区间(a,b)上有零点.

函数零点存在性定理：

函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)•f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0 的根.

判断下列命题的真假:

（1） f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.

（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.

（3）f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点.

例1函数 在下列哪个区间上有零点(      )

 A.(0,1)   B.(1,2)   C.(2,3)   D.(3,4)

变式:函数 在(2,3)上有多少个零点？

例2求函数 的零点个数.

课后练习：

1、对于定义在R上的连续函数y=f(x),若f(a)·f(b)<0(a<b),则函数y=f(x)在(a,b)内（  ）

A.只有一个零点    B.至少有一个零点

C.无零点         D.无法确定有无零点

2、若方程 在（0，1）内有一解,则a的取值范围是____________.

3、方程 的解有（   ）

A.0个        B.1个           C. 2个         D.3个

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

解方程的历史的视频

这些方程你会求解吗？

； ； ； .

      一元一次方程 的根与一次函数 的图像有什么关系？

归纳：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系

    方程的根即函数图象与x轴交点的________，不等式的解集即函数图象在x轴______________图象所对应x的范围.

结论：

1.方程根的个数就是函数图像与____轴交点的个数；

2.方程的根就是函数图像与______轴交点的横坐标.

方程_________有实数根          函数 的图像与__________轴有交点

函数的零点定义：

对于函数 ,使___________的实数_________,叫做函数 的零点.

零点是一个点吗?

方程 有实数根             函数 有零点

函数 的图像与_______轴有交点

即兴练习:

1、函数 的零点是（   ）

3、函数 的零点是2,则a=________.

实例探究:

观察二次函数 的图像：

1 · _____0（＜或＞），

函数 在区间(-2,1)上是否有零点？

2 · ____0（＜或＞），

函数 在区间(2,4)上是否有零点？ 

思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？

观察函数f(x)的图像

1. 在区间(a,b)上____(有/无)零点；

     f(a)·f(b) ____ 0（填＜或＞）．

2 .在区间(b,c)上____(有/无)零点；

    f(b)· f(c)____ 0（填＜或＞）．

猜想：

若函数在区间[a,b]上图像是连续的，如果有      成立，那么函数在区间(a,b)上有零点.

函数零点存在性定理：

函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)•f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0 的根.

判断下列命题的真假:

（1） f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.

（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.

（3）f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点.

例1函数 在下列哪个区间上有零点(      )

 A.(0,1)   B.(1,2)   C.(2,3)   D.(3,4)

变式:函数 在(2,3)上有多少个零点？

例2求函数 的零点个数.

课后练习：

1、对于定义在R上的连续函数y=f(x),若f(a)·f(b)<0(a<b),则函数y=f(x)在(a,b)内（  ）

A.只有一个零点    B.至少有一个零点

C.无零点         D.无法确定有无零点

2、若方程 在（0，1）内有一解,则a的取值范围是____________.

3、方程 的解有（   ）

A.0个        B.1个           C. 2个         D.3个