3.1.1 方程的根与函数的零点教学设计及课堂实录

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

1.知识目标：以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；

2.能力目标：让学生体会数形结合思想，从特殊到一般的归纳思想，函数与方程的转化思想.

3.情感态度与价值观：让学生在探究过程中体验发现的乐趣，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。

学生来自平行班，中低等程度的学生占大多数，基础一般，钻研的精神不大，个性较活跃，所以开始可采用竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，，所以可适当对知识点进行拓展。学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深，对于高次方程还不熟悉，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，

重点：体会函数零点与方程根之间的关系；初步形成用函数的观点处理问题的意识。连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。

问题1：解方程（比赛）：①6x－1=0 ；②3x2＋6x－1=0 。

再比赛解3x3＋6x－1=0 

设计意图：问题1（产生疑问，引起兴趣，引出课题）

比赛模式引入，调动积极性，可根据学分评定中进行过程性评定加分奖励，充分调动学生积极性和主动性。

第三题学生无法解答，产生疑惑引入课题：教师介绍说一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如 3x5＋6x－1=0  紧接着介绍阿贝尔（挪威）定理（五次及高于五次的代数方程没有一般的代数解法），伽罗瓦（法国）的近世代数理论，提出早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法，振奋学生的民族自豪感，最后引出人们一直在研究方程的近似解方法二分法引入课题。

问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图7-1

1方程 与函数

2方程 与函数

3方程 与函数

图7-1

 [师生互动]

师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念。

零点概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的。

师：填表格

函数

函数的零点

方程的根

生：经过独立思考，填完表格

师提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与函数方程的根有何关系？

生：经过观察表格，得出第一个结论

师再问：根据概念，函数y＝f（x）的零点与函数y＝f（x）的图象与x轴交点有什么关系

生：经过观察图像与x轴交点完成解答，得出第二个结论

师：概括总结前两个结论（请学生总结）。

1）概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。例如函数 的零点为x=-1,3

2）函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标．

3）方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点。

师：引导学生仔细体会上述结论。

再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？

生：可以解方程 而得到（代数法）；

可以利用函数 的图象找出零点．（几何法）

问题2一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的横坐标到函数零点的概念转变变得更自然、更易懂。通过对比教学揭示知识点之间的密切关系。

问题3：是不是所有的二次函数都有零点？

师：仅提出问题，不须做任何提示。

生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

二次函数 的零点：看△

１）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

２）△＝０，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

３）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．

第一阶段设计意图

本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路。进而培养学生归纳总结能力。

[师生互动]（Ⅰ）观察二次函数f(x)= x2-2x-3的图象：

提问3:计算的f(-2) 和 f(1)乘积,你能发现这个积有什么特点?在区间上[2，4]上是否也有这种特点呢?

1 在区间[-2,1]上有零点______；

f(-2)=_______，f(1)= _______,

f(-2)·f(1)_____0（＜或＞）．

2 在区间[2，4]上有零点______；

f(2)·f(4)____0（＜或＞）．

（Ⅱ）观察下面函数y=f(x)的图象

1 在区间[a,b]上______(有/无)零点；

f(a)·f(b)_____0（＜或＞）．

2 在区间[b,c]上______(有/无)零点；

f(b)·f(c)_____0（＜或＞）．

3 在区间[c,d]上______(有/无)零点；

f(c)·f(d)_____0（＜或＞）．

提问4：由以上两步探索，你可以得出什么样的结论（函数满足什么条件时在区间(a,b)内有零点）？

【结论】定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

2、定理拓展

设计意图：通过发问引导探索，让学生自己画图，同桌探讨，举出反例，并到前面演示，培养学生的发散性思维。让学生对定理辩证理解。

探求1：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内有零点，但是否只一个零点？

    探求2：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）>0时，函数在区间（a，b）内没有零点吗?

探求3：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？

    探求4：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象不是一条连续不断的曲线，有f（a）·f（b）<0 ，函数在区间（a，b）内有零点吗？

1．  下面两图中对应的函数都满足以下条件：

⑴y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线；

⑵f(a)·f(b)<0。

①函数y=f(x)在区间(a,b)内有一个零点

②函数y=f(x)在区间(a,b)内有多个零点

2．反例说明：

①若函数满足f(a)·f(b)<0，但在[a,b]上的图象不连续，可能出现以下情形：

②函数在[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，但不满足f(a)·f(b)<0, 可能出现以下情形：

                                 图4

师：总结两个条件：

1）函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线

2）在区间[a，b]上有f（a）·f（b）<0，

则函数在区间（a，b）内有零点即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

补充：什么时候只有一个零点？

    y＝ f（x）在区间[a，b]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点

（观察得出）函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调时只有一个零点

例2．求函数 的零点个数．

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．

问题：你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

        生：画图像。

            让学生同桌结合一人用计算器一人画图配合完成。

解：用计算机或计算器作出x、 f(x)对应值表

x

…

1

2

3

4

…

f(x)

…

-4

-1.306

1.0986

3.3863

…

画出函数的图象，

从列表和图象可看出，f(2)<0,f(3)>0　即f(2)·f(3)<0,所以函数在（2，3）内有零点。

又由于函数在整个定义域内是增函数，故只有一个零点。（证明略）

思考拓展：①你能给出这个函数是增函数的证明吗？不用计算机或计算器，你能估算出f(2)<0 , f(3)>0吗？

      ②除了这种方法外还有其他思路么?

提示作出函数y=lnx与y=6-2x的图象，观察两函数图象交点的横坐标与方程lnx+2x-6=0的根的关系

利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

（1） ；（2）   （3）

[师生互动]

师：1.建议学生使用计算器，结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．

    2.建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一节的用二分法求方程的近似解做准备。激发学生学习潜能和热情。老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情况。

讨论：请大家给方程 的一个解的大约范围，看谁找得范围更小？

[师生互动]

师：把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，发挥其主观能动性。也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，

生：分组讨论，各抒己见。在探究学习中得到数学能力的提高

第五阶段设计意图：

一是为用二分法求方程的近似解做准备

二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到上述目的。

函数零点的定义

函数的零点与相应方程的根的等价关系

函数的零点或相应方程的根的存在性判断定理

教材P108习题3．1（A组）第1、2题；

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

问题1：解方程（比赛）：①6x－1=0 ；②3x2＋6x－1=0 。

再比赛解3x3＋6x－1=0 

设计意图：问题1（产生疑问，引起兴趣，引出课题）

比赛模式引入，调动积极性，可根据学分评定中进行过程性评定加分奖励，充分调动学生积极性和主动性。

第三题学生无法解答，产生疑惑引入课题：教师介绍说一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如 3x5＋6x－1=0  紧接着介绍阿贝尔（挪威）定理（五次及高于五次的代数方程没有一般的代数解法），伽罗瓦（法国）的近世代数理论，提出早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法，振奋学生的民族自豪感，最后引出人们一直在研究方程的近似解方法二分法引入课题。

问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图7-1

1方程 与函数

2方程 与函数

3方程 与函数

图7-1

 [师生互动]

师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念。

零点概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的。

师：填表格

函数

函数的零点

方程的根

生：经过独立思考，填完表格

师提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与函数方程的根有何关系？

生：经过观察表格，得出第一个结论

师再问：根据概念，函数y＝f（x）的零点与函数y＝f（x）的图象与x轴交点有什么关系

生：经过观察图像与x轴交点完成解答，得出第二个结论

师：概括总结前两个结论（请学生总结）。

1）概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。例如函数 的零点为x=-1,3

2）函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标．

3）方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点。

师：引导学生仔细体会上述结论。

再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？

生：可以解方程 而得到（代数法）；

可以利用函数 的图象找出零点．（几何法）

问题2一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的横坐标到函数零点的概念转变变得更自然、更易懂。通过对比教学揭示知识点之间的密切关系。

问题3：是不是所有的二次函数都有零点？

师：仅提出问题，不须做任何提示。

生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

二次函数 的零点：看△

１）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

２）△＝０，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

３）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．

第一阶段设计意图

本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路。进而培养学生归纳总结能力。

[师生互动]（Ⅰ）观察二次函数f(x)= x2-2x-3的图象：

提问3:计算的f(-2) 和 f(1)乘积,你能发现这个积有什么特点?在区间上[2，4]上是否也有这种特点呢?

1 在区间[-2,1]上有零点______；

f(-2)=_______，f(1)= _______,

f(-2)·f(1)_____0（＜或＞）．

2 在区间[2，4]上有零点______；

f(2)·f(4)____0（＜或＞）．

（Ⅱ）观察下面函数y=f(x)的图象

1 在区间[a,b]上______(有/无)零点；

f(a)·f(b)_____0（＜或＞）．

2 在区间[b,c]上______(有/无)零点；

f(b)·f(c)_____0（＜或＞）．

3 在区间[c,d]上______(有/无)零点；

f(c)·f(d)_____0（＜或＞）．

提问4：由以上两步探索，你可以得出什么样的结论（函数满足什么条件时在区间(a,b)内有零点）？

【结论】定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

2、定理拓展

设计意图：通过发问引导探索，让学生自己画图，同桌探讨，举出反例，并到前面演示，培养学生的发散性思维。让学生对定理辩证理解。

探求1：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内有零点，但是否只一个零点？

    探求2：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）>0时，函数在区间（a，b）内没有零点吗?

探求3：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？

    探求4：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象不是一条连续不断的曲线，有f（a）·f（b）<0 ，函数在区间（a，b）内有零点吗？

1．  下面两图中对应的函数都满足以下条件：

⑴y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线；

⑵f(a)·f(b)<0。

①函数y=f(x)在区间(a,b)内有一个零点

②函数y=f(x)在区间(a,b)内有多个零点

2．反例说明：

①若函数满足f(a)·f(b)<0，但在[a,b]上的图象不连续，可能出现以下情形：

②函数在[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，但不满足f(a)·f(b)<0, 可能出现以下情形：

                                 图4

师：总结两个条件：

1）函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线

2）在区间[a，b]上有f（a）·f（b）<0，

则函数在区间（a，b）内有零点即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

补充：什么时候只有一个零点？

    y＝ f（x）在区间[a，b]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点

（观察得出）函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调时只有一个零点

例2．求函数 的零点个数．

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．

问题：你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

        生：画图像。

            让学生同桌结合一人用计算器一人画图配合完成。

解：用计算机或计算器作出x、 f(x)对应值表

x

…

1

2

3

4

…

f(x)

…

-4

-1.306

1.0986

3.3863

…

画出函数的图象，

从列表和图象可看出，f(2)<0,f(3)>0　即f(2)·f(3)<0,所以函数在（2，3）内有零点。

又由于函数在整个定义域内是增函数，故只有一个零点。（证明略）

思考拓展：①你能给出这个函数是增函数的证明吗？不用计算机或计算器，你能估算出f(2)<0 , f(3)>0吗？

      ②除了这种方法外还有其他思路么?

提示作出函数y=lnx与y=6-2x的图象，观察两函数图象交点的横坐标与方程lnx+2x-6=0的根的关系

利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

（1） ；（2）   （3）

[师生互动]

师：1.建议学生使用计算器，结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．

    2.建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一节的用二分法求方程的近似解做准备。激发学生学习潜能和热情。老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情况。

讨论：请大家给方程 的一个解的大约范围，看谁找得范围更小？

[师生互动]

师：把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，发挥其主观能动性。也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，

生：分组讨论，各抒己见。在探究学习中得到数学能力的提高

第五阶段设计意图：

一是为用二分法求方程的近似解做准备

二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到上述目的。

函数零点的定义

函数的零点与相应方程的根的等价关系

函数的零点或相应方程的根的存在性判断定理

教材P108习题3．1（A组）第1、2题；