3.1.1 方程的根与函数的零点课件配套优秀公开课教案设计

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

本节课是普通高中实验教科书人教A版必修1第三章第一单元第一节。学生通过了解函数零点与方程根的联系，从而把求方程根的问题转化为求函数零点的问题。作为函数应用的第一课时，就是要让学生认识到函数与其他数学知识的联系，让学生用函数的图象这个“形”来研究方程的根这个“数”，深刻体会“以形助数”的思想方法将数与形,函数与方程有机的联系在一起。本节课是培养学生“等价转化思想”、“数形结合思想”、“方程与函数思想”的优质载体。本节课为下节“二分法求方程的近似解”和后续的 “算法学习”提供了基础，具有承前启后的作用。

（1）知识基础：学生已经熟练掌握一次、二次方程的求解方法，掌握了一些基本初等函数图象的画法，并能从图象中获取一定信息，这是学习本节课的知识基础。

（2）心理准备：公式法求解高次、超越方程的思维受挫是学生学习本节课的内在动机。

本节课借鉴发现教学法，强调教师学生双主体，采用“创设问题情境——师生共同探究——形成概念结论——应用巩固提高”的教学模式，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力。

重点： 函数零点与方程根之间的联系,零点存在的判定定理

难点:    探究发现零点存在条件，准确理解零点存在性定理：

求方程的根：3x+2=0    x2-5x+6=0    Lnx+2x-6=0通过第三个方程来了解中外历史上的方程求解，培养学生的爱国情怀。也进一步提出新知。即方程的根与函数的零点。

设计意图：问激疑，引出新知。

     1.求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的 简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标。

       x2－2x－3=0     y= x2－2x－3
       x2－2x+1=0       y= x2－2x+1

       x2－2x+3=0       y=x2－2x+3
      2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标有什么关系？

      3.零点的定义。对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

        强调-----零点不是点而是实数

      4.怎样求函数的零点。代数法、图像法

      5. 师问:剖析概念,你能得出什么结论吗？

       生答：方程f(x)=0有实数根  ⇔  函数y=f(x)的图象与x轴有交点  ⇔ 函数y=f(x)有零点
     设计意图：以旧带新  引入课题：从特殊的一元二次方程中根与函数与x轴的交点之间的关系引申到一般的一元二次函数的零点与方程的根关系以及其他方程的根与函数的零点关系，从而提出零点的定义 及 零点与根的关系。

 .变式:   求函数f(x)=Lnx+2x-6在［2，6］是否有零点？

    设计意图;引出下一个问题，即零点的存在性判断。

观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象：
在区间[-2, 1]上有零点______；
f(-2)=_______，f(1)=_______，
f(-2)·f(1)_____0（“<”或“>”区间(2，4)上有零点______；
f(2)=_______，f(4)=_______，
f(2)·f(4)____0（“<”或“>”）．

 师问：观察零点前后函数值的变化？

生答：零点前后函数值正负相异

师问：在区间[a,b]上,当f(a) f(b)<0时就一定有零点吗？

         启发学生找反面情况，让学生体味图象连续不断的重要性。

         让学生总结定理：

在区间[a,b]上函数 y=f(x) ，
          (1)图象是连续不断的一条曲线，
          (2)f(a) ·f(b)<0，
     那么，函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．
          即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，
     这个c也就是方程f(x)=0的根．
      那么，函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．
         
    

思考1：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么？

思考2;  若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且在[a,b]上有零点则f(a)·f(b)<0么?

思考3：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?
思考4：在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？

上面这四个思考让学生自己画图，找反例。

设计意图：辨析定理条件对定理进行探索，加深对定理的理解

例2    求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数。
        法一、用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表：

     由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0，
∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
     问题：如何说明零点的唯一性？      

     由于函数y=lnx和y=2x在定义域域(0,+∞)内是增函数， 所以函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，因此它仅有一个零点

      法二：估算f(x)在各整数处的取值的正负：

       法三：将函数f(x)= lnx+2x-6的零点的个数转化为函数 y= lnx与y=-2x +6的图象交点的个数．
设计意图：学以致用，规范解题

1、课本88页练习题1、（1）（3）

2、课本88页练习题2、（4）

  总结：练习1的（3）：要启发学生将“=”右边的项移至左边，也可将“=”左右两边的代数式分别设为函数，画两个函数图象求交点

 2、先让学生大致描点，然后用计算机给出图象。

让学生总结本课收获

:1:函数零点与方程根的关系:2:函数方程思想、数形结合思想、3:求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间．

必做作业：

（1）课本88页练习2、（1）（4），

课本92页：2 

（2）了解数学史：研读课本选修3-1第七讲千古谜题——伽罗瓦的解答

选做作业：

你会用哪些方法探究方程 lnx+2x-6=0 的实根或其所在的大致区间。

设计意图：分必做和选做，体现了作业的选择性，让不同的学生学习不同的数学，进一步体现新教材、新课程的理念，给学有余力的学生进行课外提升。

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

求方程的根：3x+2=0    x2-5x+6=0    Lnx+2x-6=0通过第三个方程来了解中外历史上的方程求解，培养学生的爱国情怀。也进一步提出新知。即方程的根与函数的零点。

设计意图：问激疑，引出新知。

     1.求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的 简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标。

       x2－2x－3=0     y= x2－2x－3
       x2－2x+1=0       y= x2－2x+1

       x2－2x+3=0       y=x2－2x+3
      2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标有什么关系？

      3.零点的定义。对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

        强调-----零点不是点而是实数

      4.怎样求函数的零点。代数法、图像法

      5. 师问:剖析概念,你能得出什么结论吗？

       生答：方程f(x)=0有实数根  ⇔  函数y=f(x)的图象与x轴有交点  ⇔ 函数y=f(x)有零点
     设计意图：以旧带新  引入课题：从特殊的一元二次方程中根与函数与x轴的交点之间的关系引申到一般的一元二次函数的零点与方程的根关系以及其他方程的根与函数的零点关系，从而提出零点的定义 及 零点与根的关系。

 .变式:   求函数f(x)=Lnx+2x-6在［2，6］是否有零点？

    设计意图;引出下一个问题，即零点的存在性判断。

观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象：
在区间[-2, 1]上有零点______；
f(-2)=_______，f(1)=_______，
f(-2)·f(1)_____0（“<”或“>”区间(2，4)上有零点______；
f(2)=_______，f(4)=_______，
f(2)·f(4)____0（“<”或“>”）．

 师问：观察零点前后函数值的变化？

生答：零点前后函数值正负相异

师问：在区间[a,b]上,当f(a) f(b)<0时就一定有零点吗？

         启发学生找反面情况，让学生体味图象连续不断的重要性。

         让学生总结定理：

在区间[a,b]上函数 y=f(x) ，
          (1)图象是连续不断的一条曲线，
          (2)f(a) ·f(b)<0，
     那么，函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．
          即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，
     这个c也就是方程f(x)=0的根．
      那么，函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．
         
    

思考1：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么？

思考2;  若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且在[a,b]上有零点则f(a)·f(b)<0么?

思考3：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?
思考4：在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？

上面这四个思考让学生自己画图，找反例。

设计意图：辨析定理条件对定理进行探索，加深对定理的理解

例2    求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数。
        法一、用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表：

     由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0，
∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
     问题：如何说明零点的唯一性？      

     由于函数y=lnx和y=2x在定义域域(0,+∞)内是增函数， 所以函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，因此它仅有一个零点

      法二：估算f(x)在各整数处的取值的正负：

       法三：将函数f(x)= lnx+2x-6的零点的个数转化为函数 y= lnx与y=-2x +6的图象交点的个数．
设计意图：学以致用，规范解题

1、课本88页练习题1、（1）（3）

2、课本88页练习题2、（4）

  总结：练习1的（3）：要启发学生将“=”右边的项移至左边，也可将“=”左右两边的代数式分别设为函数，画两个函数图象求交点

 2、先让学生大致描点，然后用计算机给出图象。

让学生总结本课收获

:1:函数零点与方程根的关系:2:函数方程思想、数形结合思想、3:求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间．

必做作业：

（1）课本88页练习2、（1）（4），

课本92页：2 

（2）了解数学史：研读课本选修3-1第七讲千古谜题——伽罗瓦的解答

选做作业：

你会用哪些方法探究方程 lnx+2x-6=0 的实根或其所在的大致区间。

设计意图：分必做和选做，体现了作业的选择性，让不同的学生学习不同的数学，进一步体现新教材、新课程的理念，给学有余力的学生进行课外提升。