3.1.1 方程的根与函数的零点教学设计(第一课时)

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

1、引导学生结合实际背景理解函数零点的概念，掌握二次函数的零点与一元二次方程根的关系.

       2、结合实际背景学会使用二次函数的图像与判别式的符号，判断一元二次方程根的情况.

       3、会求简单函数的零点，理解和掌握函数零点所在区间的判断方法，体会函数零点的性质.

本节内容结合具体的二次函数图像与对应的一元二次方程实数根的关系，提出了零点的定义和性质，分析了方程的实数根和函数图像与x轴的交点以及函数零点的等价关系，探究了函数零点的判别方法及零点的求法，目的是让学生体会函数与方程之间的联系，进一步培养学生数形结合的数学思想及函数与方程相互转化的数学方法.

1、重点

       理解函数零点的概念，体会二次函数的零点和与此对应的一元二次方程的根的关系，学会用根的判别式判断二次函数零点的个数.

       2、难点

       理解二次函数零点与一元二次方程根的关系，会求简单函数的零点.

教法与学法策划理念：围绕目标提出问题——师生互动合作探究——引导学生解决问题．按以下五个互动设计进行教学．

教学互动情境设计A

（知识回放，师生互动）请同学们观察和探究二次函数的图像与一元二次方程根的关系，结合实例填好表格：

方程与函数

方程 =0与

函数

方程 =0与

函数

方程 =0与

函数

判别式

＞0

=0

＜0

方程的实数根

没有实数根

函数的图象

与x轴的交点

（-1，0）（3，0）

（1，0）

没有交点

教学互动情境设计B

将上述探讨结果推广到一般，请同学们自主探究，归纳一元二次方程 的实数根与二次函数 的图像有什么关系.

教学策划：用填充下表方式，归纳感悟它们的联系，由此引出函数零点的定义，体验函数的零点和方程实数根之间的密切联系，进而体会出函数零点的性质.

方程或函数

方程

函数

函数图像

＞0

方程有两个不相等实数根

函数图像与x轴有2个交点（ ，0）（ ，0）

=0

方程有两个相等实根

函数图像与x轴有唯一交点（ ，0）

＜0

方程没有实数根

函数图像与x轴没有交点

（1）函数零点的定义

对于函数 ，把使 的实数x叫做函数 的零点.

（2）函数零点的性质

函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标，即:方程 有实数根 函数 的图像与x轴有交点 函数 有零点.

教学互动情境设计C

师生合作探究函数零点的判断及求法.

问题1：观察二次函数 的图像，发现它在区间[-2，1]上有零点，再计算 与 的积，你发现这个乘积有什么特点？再观察函数在其他区间是否存在零点？它们的乘积是否也有这个特点？

请同学们计算结果进行比较，发现 ＜0，函数 在[-2，1]内有零点 =-1，它就是方程 的一个根，同样 ＜0，函数 在（2，4）内也有零点 =3，它就是方程 的另一个根.

问题2：请同学们任意画几个函数图像（教者提示：如 …）

观察比较是否也有问题1的结论，请同学们探究回答：

学生甲：对于函数 在区间[0，1]上，有 ＜0，∴它在（0，1）上存在零点，而且当 时 即 .

学生乙：对于函数 ，∵ ＜0，∴它在区间（-2，0）上存在零点，而且当 时 即 .

教者对学生的探究过程及时进行评价，师生共同小结、归纳出函数零点的判断方法及求法.

（1）函数零点的判定

一般地，如果函数 在区间[ ]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ＜0，那么函数 在区间( )内有零点，即存在c∈（ ）使得 ，这个c就是方程 的实数根.

理解1：函数 在[ ]上的图像必须是连续不断的曲线.

理解2：当 是( )上的一个零点时，不一定有 ＜0，因为它在（ ）上可能还有其它的零点.

（2）函数零点的求法

对于函数 ，令 解得方程 的实数根，这个实数根就是函数的零点.

理解1：函数的零点是一个实数，即函数图像与x轴交点的横坐标.

理解2：不是所有的函数图像都与x轴有交点，因而并不是所有的函数都有零点.

教学互动情境设计D

例题探讨：函数零点的求法及应用

问题3：求函数 的零点个数

教学策划：启发学生用计算器或计算机列表，画函数图像进行观察探究，让学生合作学习交流，并指名学生上黑板演示.让学生丙写出解题过程，可能过程及思维有误，教者应及时引导学生评价和纠错.

解：用计算器（或计算机）算出 的对应值表

1

2

3

4

5

6

7

…

-4

-1.3069

1.0986

3.3863

5.6074

7.7918

9.9459

…

画出函数图像，找出零点区间.从表和图观察可知， ＜0， ＞0 ＜0 函数 在区间（2，3）内有零点，而且从图像可知，因为函数 在定义域（0，+ ）上是增函数，所以它仅有一个零点.

问题4：观察下图指出函数 的零点个数及所在区间。

教法与学法：让学生合作讨论交流，并指名学生上黑板写出，教者注意跟踪纠错.

作业设计：学生独立探究完成活动 E

1、选择题

（1）函数 的零点所在区间大致是（    ）

A.（1，2）    B.（2，3）    C.（e，3）    D.（e，+ ）

（2）函数 的零点个数是（    ）

A. 0              B. 1              C. 2              D. 无数个

2、填空题

（3）函数 的零点是           .

（4）若方程 在区间（0，1）内恰有一解，则实数 的取值范围是           .

3、解答题

（5）（基本训练）若函数 有零点2和-4，求 的值.

（6）（拓展训练）已知 是实数，函数 在区间[-1，1]上有零点，求 的取值范围.

教学反思

1、教者应充分地让学生自主探究，合作学习交流，亲身体验知识获取的过程和方法，激活学生的学习兴趣，为学生学会观察、学会思考、学会学习创设时空和平台.

2、教学应注重面向全体学生，关注不同智力层次的学生的个体差异，因材施教，使每个学生都有所收获，获得学习的成功.为学生张扬个性、施展智慧和才能提供优质的教学环境.

3、在教法与学法中教者还应注重让学生构建已有的知识载体，进而过渡到对新知识的探索．.

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

教法与学法策划理念：围绕目标提出问题——师生互动合作探究——引导学生解决问题．按以下五个互动设计进行教学．

教学互动情境设计A

（知识回放，师生互动）请同学们观察和探究二次函数的图像与一元二次方程根的关系，结合实例填好表格：

方程与函数

方程 =0与

函数

方程 =0与

函数

方程 =0与

函数

判别式

＞0

=0

＜0

方程的实数根

没有实数根

函数的图象

与x轴的交点

（-1，0）（3，0）

（1，0）

没有交点

教学互动情境设计B

将上述探讨结果推广到一般，请同学们自主探究，归纳一元二次方程 的实数根与二次函数 的图像有什么关系.

教学策划：用填充下表方式，归纳感悟它们的联系，由此引出函数零点的定义，体验函数的零点和方程实数根之间的密切联系，进而体会出函数零点的性质.

方程或函数

方程

函数

函数图像

＞0

方程有两个不相等实数根

函数图像与x轴有2个交点（ ，0）（ ，0）

=0

方程有两个相等实根

函数图像与x轴有唯一交点（ ，0）

＜0

方程没有实数根

函数图像与x轴没有交点

（1）函数零点的定义

对于函数 ，把使 的实数x叫做函数 的零点.

（2）函数零点的性质

函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标，即:方程 有实数根 函数 的图像与x轴有交点 函数 有零点.

教学互动情境设计C

师生合作探究函数零点的判断及求法.

问题1：观察二次函数 的图像，发现它在区间[-2，1]上有零点，再计算 与 的积，你发现这个乘积有什么特点？再观察函数在其他区间是否存在零点？它们的乘积是否也有这个特点？

请同学们计算结果进行比较，发现 ＜0，函数 在[-2，1]内有零点 =-1，它就是方程 的一个根，同样 ＜0，函数 在（2，4）内也有零点 =3，它就是方程 的另一个根.

问题2：请同学们任意画几个函数图像（教者提示：如 …）

观察比较是否也有问题1的结论，请同学们探究回答：

学生甲：对于函数 在区间[0，1]上，有 ＜0，∴它在（0，1）上存在零点，而且当 时 即 .

学生乙：对于函数 ，∵ ＜0，∴它在区间（-2，0）上存在零点，而且当 时 即 .

教者对学生的探究过程及时进行评价，师生共同小结、归纳出函数零点的判断方法及求法.

（1）函数零点的判定

一般地，如果函数 在区间[ ]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ＜0，那么函数 在区间( )内有零点，即存在c∈（ ）使得 ，这个c就是方程 的实数根.

理解1：函数 在[ ]上的图像必须是连续不断的曲线.

理解2：当 是( )上的一个零点时，不一定有 ＜0，因为它在（ ）上可能还有其它的零点.

（2）函数零点的求法

对于函数 ，令 解得方程 的实数根，这个实数根就是函数的零点.

理解1：函数的零点是一个实数，即函数图像与x轴交点的横坐标.

理解2：不是所有的函数图像都与x轴有交点，因而并不是所有的函数都有零点.

教学互动情境设计D

例题探讨：函数零点的求法及应用

问题3：求函数 的零点个数

教学策划：启发学生用计算器或计算机列表，画函数图像进行观察探究，让学生合作学习交流，并指名学生上黑板演示.让学生丙写出解题过程，可能过程及思维有误，教者应及时引导学生评价和纠错.

解：用计算器（或计算机）算出 的对应值表

1

2

3

4

5

6

7

…

-4

-1.3069

1.0986

3.3863

5.6074

7.7918

9.9459

…

画出函数图像，找出零点区间.从表和图观察可知， ＜0， ＞0 ＜0 函数 在区间（2，3）内有零点，而且从图像可知，因为函数 在定义域（0，+ ）上是增函数，所以它仅有一个零点.

问题4：观察下图指出函数 的零点个数及所在区间。

教法与学法：让学生合作讨论交流，并指名学生上黑板写出，教者注意跟踪纠错.

作业设计：学生独立探究完成活动 E

1、选择题

（1）函数 的零点所在区间大致是（    ）

A.（1，2）    B.（2，3）    C.（e，3）    D.（e，+ ）

（2）函数 的零点个数是（    ）

A. 0              B. 1              C. 2              D. 无数个

2、填空题

（3）函数 的零点是           .

（4）若方程 在区间（0，1）内恰有一解，则实数 的取值范围是           .

3、解答题

（5）（基本训练）若函数 有零点2和-4，求 的值.

（6）（拓展训练）已知 是实数，函数 在区间[-1，1]上有零点，求 的取值范围.

教学反思

1、教者应充分地让学生自主探究，合作学习交流，亲身体验知识获取的过程和方法，激活学生的学习兴趣，为学生学会观察、学会思考、学会学习创设时空和平台.

2、教学应注重面向全体学生，关注不同智力层次的学生的个体差异，因材施教，使每个学生都有所收获，获得学习的成功.为学生张扬个性、施展智慧和才能提供优质的教学环境.

3、在教法与学法中教者还应注重让学生构建已有的知识载体，进而过渡到对新知识的探索．.

• 优点:

  教学有法，教无定法，贵在得法。

• 缺点:

  缺少点多媒体幻灯片