3.1.1 方程的根与函数的零点第一课时评课稿

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

知识与技能

①．通过观察二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系． ②．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．

过程与方法

通过研究具体的二次函数再到研究一般的函数，让学生经历“类比→归纳→应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法．

情感、态度与价值观

培养学生“等价转化思想”、 “数形结合思想”、“方程与函数思想”.

    ①高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，对于函数零点的概念及与对应方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标的等价关系得出以学生自主探索为主．

   ② 但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．

重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．

难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．

【自主学习】：请同学们在上课之前完成，比比谁完成得更好．

复习1、作出二次函数①y=x2-2x-3,②y= x2-2x+1,③y= x2-2x+3的图象；写出相应方程的根；以及每一个函数的图象与x轴的交点坐标，填在下列表格中相应的栏内，同时思考交点个数，交点横坐标，相应方程的根有什么联系？ 

 2、通过以上情况你能得出：方程的根与二 次函数 (a≠0，不妨设a>0))的图象之间有什么关系？通过思索完成下列表格． 根据以上的情况我们可以得到：一元二次方程 的根就是相应二次函数 的图象与x轴交点的 。这种关系是否可以推广到一般的情形呢？（表格见素材或课件）

[预习探究]：零点的概念 （阅读教材P86-87完成下列问题）

1. 函数的零点：

辨析练习：判断下列说法的正误．函数~y=x2-2x-3 的零点是： ⑴ （-1，0）、（3，0）；（ ）

⑵ x=-1；（ ） ⑶ x=3； （ ） ⑷ -1和3．（ ）

零点是

（填实数/真正意义上的点）

2.函数 的零点、方程 的实数根、函数 的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？ 答：

求下列函数的零点．

① f(x)＝x３－4x

②f(x)=2x-1

③f(x)=lnx+2x-6

   在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a，b]上一定有零点？

 1. 观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象我们发现: 函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,1]上有零点,f(-2)=      f(1)=      ,

f(-2)f(1)     0(填>或<号); 同理分析在区间[2,4]上也有零点,f(2)f(4)      0,

 2. 观察下面函数y=f(x)的图象 在区间 [a,b]上      零点,f(a)f(b)   0； 在区间[b,c] 上    零点,f(b)f(c)   0 ； 在区间 [c,d]上   零点, f(c)f(d)     0.

  零点存在性定理:

 讨论:(1)函数f(x)仅满足f(a)f(b)<0,那么f(x)在区间(a,b)是否一定存在零点?请举例说明.

(2)函数f(x) 满足f(a)f(b)<0,且在区间(a,b)内有零点,那么一定只有一个零点? 请举例说明.

(3)若f(x)在区间[a,b]连续,满足f(a)f(b)<0,还需添加什么条件f(x)在区间(a,b)内有且只有一个零点？请举例说明.

（4）若函数f(x)在（a,b）内有零点，是否f(a)f(b)<0一定成立呢? 请举例说明.

完成下列练习，强化定理的理解.

1.函数f(x)=(x2-2)（x2-3x+2）的零点的个数为（ ） A．1 B.2 C.3 D.4

2.若f(x)在[a,b]连续且有f(a)f(b)>0,则函数y=f(x)在[a,b]上( )

    A.一定没有零点 B.至少有一个零点 C.只有一个零点 D.不确定

3.下面函数能用零点存在性定理判断有零点的是(   )

4.若函数f(x)为定义域是R上的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上有一个零点,则f(x)的零点的个数 有         个。

~例:求函数f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数.

    思考:（1）该题由前面可知无法用纯代数方法求出零点，你可以想到用什么判断零点的个数呢？

             （2）该函数的单调性如何？

  练习:1,若方程 2ax²-x-1=0在(0,1)内恰有一解，则 的取值范围（  ）

         A．a<-1   B．a>1   C．-1<a<1   D． 0<a<1 

       2. 函数 f(x)=lnx-2x  的零点所在的大致区间是(     )

          A.(1,2)     B.(2,3)      C.(1, )和（3，4）       D.(e,+∞)

① 你能说说函数零点及其等价关系吗？

②如果函数图象在区间[a,b]上是连续不断的，那么在什么条件下，函数在(a,b)内有零点？

③函数零点的求法有哪些？

④求函数零点，我们今天涉及几种题型，包含哪些数学思想方法？

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

【自主学习】：请同学们在上课之前完成，比比谁完成得更好．

复习1、作出二次函数①y=x2-2x-3,②y= x2-2x+1,③y= x2-2x+3的图象；写出相应方程的根；以及每一个函数的图象与x轴的交点坐标，填在下列表格中相应的栏内，同时思考交点个数，交点横坐标，相应方程的根有什么联系？ 

 2、通过以上情况你能得出：方程的根与二 次函数 (a≠0，不妨设a>0))的图象之间有什么关系？通过思索完成下列表格． 根据以上的情况我们可以得到：一元二次方程 的根就是相应二次函数 的图象与x轴交点的 。这种关系是否可以推广到一般的情形呢？（表格见素材或课件）

[预习探究]：零点的概念 （阅读教材P86-87完成下列问题）

1. 函数的零点：

辨析练习：判断下列说法的正误．函数~y=x2-2x-3 的零点是： ⑴ （-1，0）、（3，0）；（ ）

⑵ x=-1；（ ） ⑶ x=3； （ ） ⑷ -1和3．（ ）

零点是

（填实数/真正意义上的点）

2.函数 的零点、方程 的实数根、函数 的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？ 答：

求下列函数的零点．

① f(x)＝x３－4x

②f(x)=2x-1

③f(x)=lnx+2x-6

   在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a，b]上一定有零点？

 1. 观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象我们发现: 函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,1]上有零点,f(-2)=      f(1)=      ,

f(-2)f(1)     0(填>或<号); 同理分析在区间[2,4]上也有零点,f(2)f(4)      0,

 2. 观察下面函数y=f(x)的图象 在区间 [a,b]上      零点,f(a)f(b)   0； 在区间[b,c] 上    零点,f(b)f(c)   0 ； 在区间 [c,d]上   零点, f(c)f(d)     0.

  零点存在性定理:

 讨论:(1)函数f(x)仅满足f(a)f(b)<0,那么f(x)在区间(a,b)是否一定存在零点?请举例说明.

(2)函数f(x) 满足f(a)f(b)<0,且在区间(a,b)内有零点,那么一定只有一个零点? 请举例说明.

(3)若f(x)在区间[a,b]连续,满足f(a)f(b)<0,还需添加什么条件f(x)在区间(a,b)内有且只有一个零点？请举例说明.

（4）若函数f(x)在（a,b）内有零点，是否f(a)f(b)<0一定成立呢? 请举例说明.

完成下列练习，强化定理的理解.

1.函数f(x)=(x2-2)（x2-3x+2）的零点的个数为（ ） A．1 B.2 C.3 D.4

2.若f(x)在[a,b]连续且有f(a)f(b)>0,则函数y=f(x)在[a,b]上( )

    A.一定没有零点 B.至少有一个零点 C.只有一个零点 D.不确定

3.下面函数能用零点存在性定理判断有零点的是(   )

4.若函数f(x)为定义域是R上的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上有一个零点,则f(x)的零点的个数 有         个。

~例:求函数f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数.

    思考:（1）该题由前面可知无法用纯代数方法求出零点，你可以想到用什么判断零点的个数呢？

             （2）该函数的单调性如何？

  练习:1,若方程 2ax²-x-1=0在(0,1)内恰有一解，则 的取值范围（  ）

         A．a<-1   B．a>1   C．-1<a<1   D． 0<a<1 

       2. 函数 f(x)=lnx-2x  的零点所在的大致区间是(     )

          A.(1,2)     B.(2,3)      C.(1, )和（3，4）       D.(e,+∞)

① 你能说说函数零点及其等价关系吗？

②如果函数图象在区间[a,b]上是连续不断的，那么在什么条件下，函数在(a,b)内有零点？

③函数零点的求法有哪些？

④求函数零点，我们今天涉及几种题型，包含哪些数学思想方法？