3.1.1 方程的根与函数的零点ppt课件教学实录

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

知识与技能目标：

1.了解函数零点与方程根之间的联系。

2.会求简单函数的零点。

3．理解函数在某个区间上存在零点的判定方法，并学会应用。

过程与方法目标：

    通过探究方程的根与函数零点之间的关系及函数在某个区间上存在零点的条件，向学生渗透从特殊到一般、数形结合、等价转化等数学思想，培养学生观察、抽象、概括等逻辑思维能力。

情感与态度价值观：

       通过本节学习，体会由特殊到一般的研究问题的方法，体验事物之间等价转化的意义与价值，培养思维的严谨性和执着的探究精神。

       函数与方程是描述客观世界变化规律的基本数学模型，也是中学数学的重要数学思想之一，在高中数学教学中占有非常重要的地位。本节是在学习了函数的概念及性质、基本初等函数知识的基础上，结合函数图象及性质，探究方程的根与函数零点之间的关系及函数在某个区间上存在零点的条件，为下节“二分法求方程的近似解”及后续学习的算法奠定基础，因此本节内容具有承前启后的作用。

       教学对象是刚进入高中的学生，通过前面的学习，学生已经了解了一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法及函数的性质，这为本节课的学习提供了一定的知识基础，但学生对知识之间的有机联系把握不到位，应用意识不强，学生的观察、归纳能力还有待进一步提高；思维虽然活跃但不够深刻，不够严谨．

教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系；掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法。

教学难点：函数在某个区间上存在零点的判定方法的探究及理解。

      用描点法作出下列函数的图象:

     (1）f(x)=2x-4

     (2)f(x)=x²-2x-3

      问题1：在用描点法作这两个函数的图象时，哪些点比较关键？你们是怎样求得这些点的坐标的呢？

      在此基础上，给出零点的概念，引导学生将结论一般化，归纳三个重要的等价关系。

      函数零点的概念： 对于函数y=f(x) ，把使f(x)=0 成立的实数x 叫做函数y=f(x)的零点．

      三个等价关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔ 函数y=f(x)有零点．

     问题2：二次函数零点的存在性及其个数由什么决定。

      在此基础上，引导学生将一元二次方程实根的存在性及其个数与二次函数图像、零点联系起来。

1．已知某函数y=f(x)的图象如上图所示，

则函数的零点个数为           。                  

2．求下列函数的零点

(1)f(x)=x²-2x+3;              (2)f(x)=2^x-1;                 (3)f(x)=log₂ （x-1）

 在此基础上，归纳求函数零点的两种方法：代数法和几何法。

      问题：能否用上面的方法求函数f(x)=lnx+2x-6的零点？如果不能，能否判断该函数是否由零点？如果有，有几个？大致位于哪些区间内？ 

      为此我们需要探究函数满足什么条件时，零点一定存在。

        问题：能否用上面的方法求函数f(x)=2^x+3x-7的零点？如果不能，能否判断该函数是否由零点？如果有，有几个？大致位于哪些区间内？

      探究1：准备一条细线，在纸上画一条直线，并记细线的两个端点为A和B,当端点A和B在直线不同侧时，你能得出什么结论？

      探究2：已知函数的定义域为（1,4），且图象上有两点（1，-4）和（4,3），那么函数一定有零点吗？

      思考：结合探究1的实物操作和探究2，进一步思考，函数满足什么条件时，在某个区间内零点一定存在？

      在此基础上，归纳零点存在性定理。

       已知函数y=f(x)在区间[a,b]上图象连续不断，结合实物操作和你画的图象，思考下列问题：

     （1）若f(a)·f(b)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否一定没有零点？

       (2)若f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内的零点个数如何？一定唯一吗？可能有几个？

     （3)若f(a)·f(b)<0,增加什么条件可确定函数y=f(x)在区间(a,b)上只有一个零点？

例：已知函数y=f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

 则下列判断正确的是          

（1）函数在（-1,0）内有零点；（2）函数在（2,3）内有零点；

（3）函数在（5,6）内有零点；（4）函数在（-1,7）内共三个零点。

考察函数f(x)=2^x+3x-7的零点的个数。

1.证明方程f(x)=lnx+2x-6有唯一的实根。

2.函数f(x)=3ax+1-2a在（-1,1）上存在唯一的零点，求实数a的取值范围。

       1.这节课学习了哪些知识点和思想方法？

       2.我们学会了确定函数零点所在的大致区间，那么这个区间能否进一步缩小？怎样缩小？

必做题：.教材88页第1题，第2题（2）（3）（4）

选做题：函数f(x)=ax²+2x+1在区间(0,2)上有唯一的零点，求实数a的范围。

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

      用描点法作出下列函数的图象:

     (1）f(x)=2x-4

     (2)f(x)=x²-2x-3

      问题1：在用描点法作这两个函数的图象时，哪些点比较关键？你们是怎样求得这些点的坐标的呢？

      在此基础上，给出零点的概念，引导学生将结论一般化，归纳三个重要的等价关系。

      函数零点的概念： 对于函数y=f(x) ，把使f(x)=0 成立的实数x 叫做函数y=f(x)的零点．

      三个等价关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔ 函数y=f(x)有零点．

     问题2：二次函数零点的存在性及其个数由什么决定。

      在此基础上，引导学生将一元二次方程实根的存在性及其个数与二次函数图像、零点联系起来。

1．已知某函数y=f(x)的图象如上图所示，

则函数的零点个数为           。                  

2．求下列函数的零点

(1)f(x)=x²-2x+3;              (2)f(x)=2^x-1;                 (3)f(x)=log₂ （x-1）

 在此基础上，归纳求函数零点的两种方法：代数法和几何法。

      问题：能否用上面的方法求函数f(x)=lnx+2x-6的零点？如果不能，能否判断该函数是否由零点？如果有，有几个？大致位于哪些区间内？ 

      为此我们需要探究函数满足什么条件时，零点一定存在。

        问题：能否用上面的方法求函数f(x)=2^x+3x-7的零点？如果不能，能否判断该函数是否由零点？如果有，有几个？大致位于哪些区间内？

      探究1：准备一条细线，在纸上画一条直线，并记细线的两个端点为A和B,当端点A和B在直线不同侧时，你能得出什么结论？

      探究2：已知函数的定义域为（1,4），且图象上有两点（1，-4）和（4,3），那么函数一定有零点吗？

      思考：结合探究1的实物操作和探究2，进一步思考，函数满足什么条件时，在某个区间内零点一定存在？

      在此基础上，归纳零点存在性定理。

       已知函数y=f(x)在区间[a,b]上图象连续不断，结合实物操作和你画的图象，思考下列问题：

     （1）若f(a)·f(b)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否一定没有零点？

       (2)若f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内的零点个数如何？一定唯一吗？可能有几个？

     （3)若f(a)·f(b)<0,增加什么条件可确定函数y=f(x)在区间(a,b)上只有一个零点？

例：已知函数y=f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

 则下列判断正确的是          

（1）函数在（-1,0）内有零点；（2）函数在（2,3）内有零点；

（3）函数在（5,6）内有零点；（4）函数在（-1,7）内共三个零点。

考察函数f(x)=2^x+3x-7的零点的个数。

1.证明方程f(x)=lnx+2x-6有唯一的实根。

2.函数f(x)=3ax+1-2a在（-1,1）上存在唯一的零点，求实数a的取值范围。

       1.这节课学习了哪些知识点和思想方法？

       2.我们学会了确定函数零点所在的大致区间，那么这个区间能否进一步缩小？怎样缩小？

必做题：.教材88页第1题，第2题（2）（3）（4）

选做题：函数f(x)=ax²+2x+1在区间(0,2)上有唯一的零点，求实数a的范围。