3.1.1 方程的根与函数的零点名师课堂实录

日期:2015-12-29 09:12 阅读:

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3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学人教A版2003课标版

1教学目标

（1）观察探究一元二次方程的根与相应的二次函数的图像x轴交点之间的关系；

（2）理解函数零点的概念；

（3）掌握判断函数零点所在区间及个数的方法；

（4）数形结合与函数零点相关知识灵活应用来判断方程有几个根。

2学情分析

（1）学生之前已经学习了函数的图像和性质，现在基本会画简单几种基本函数的图像，具有一定的识图能力，这为学生理解零点提供了帮助；

（2）一元二次方程是初中的重要内容，学生有较好的基础，从认知规律来讲，以二次函数为例学生易接受理解；

（3）学生中等生和学困生占大多数，优等生占少数，函数一直是学生比较害怕的内容，函数的零点与方程的根的联系应该是学生学习的难点，加之零点存在性的判定方法较抽象，在教学中应充分利用二次函数的零点与一元二次方程的根的探讨过程，从而直观地归纳、总结、分析出二者之间的联系。

3重点难点

重点：（1）函数零点与方程根之间的关系；

（2）连续函数在某区间上存在零点的判定方法.

难点：（1）发现与理解方程的根与函数零点的关系；

（2）探究发现函数存在零点的方法；

（3）数形结合的思想与零点的理解联系应用到判断某方程有几个根的过程。

4教学过程 4.1 第一学时 教学活动 活动1【导入】知识回顾

通过解方程比赛，求解一元二次方程的根：

① x²−2x−3=0

② x²−2x+1=0

③ x²−2x+3=0

活动2【讲授】探求新知，正确形成概念

1、通过求一元二次方程的根，给出相应的二次函数;

① y=x²−2x−3

② y=x²−2x+1

③ y=x²−2x+3

方程	`x`²−2`x`−3=0	`x`²−2`x`+1=0	`x`²−2`x`+3=0
函数	`y`=`x`²−2`x`−3	`y`=`x`²−2`x`+1	`y`=`x`²−2`x`+3
函数的图象
方程的△ （△=`b`²−4ac）
方程的实根
函数图象与x 轴的交点

表1

列表给学生时间完成填表，表中主要呈现的为方程、函数、图象、方程的△、方程的实根、函数图象与x轴的交点，让学生类比观察，再由个别推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系。

判别式△=`b`²−4ac	△>0	△=0	△<0
方程`ax`²+`bx`+`c`=0 (`a`>0)	两个不相等的实数根 `x`₁，`x`₂	有两个相等的实数根 `x`₁=`x`₂	没有实数根
函数 `y`=`ax`²+`bx`+`c`(`a`>0) 的图象
函数的图象与`x` 轴的交点	（`x`₁，0），（`x`₂，0）	（`x`₁，0）	没有交点

表2

并得出结论：①方程的根的个数就是函数图象与x轴交点的个数；②方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。

【设计意图：】通过比赛解方程，调动学生学习的主动性、积极性。以一元二次方程、二次函数着手为铺垫引入零点的概念，学生易于解答和接受，能较好的进入课堂。

2、概念形成

给出零点的概念：对于函数
y=ƒ （x） ,使ƒ (x)=0 的实数x 叫做y=ƒ （x）的零点。

等价的关系：方程ƒ （x）=0 有实数根

⇔函数y=ƒ （x）的图象与x 轴有交点

⇔函数y=ƒ （x）有零点

辨析：函数的零点是不是交点？强调零点不是点，是值，是函数图象与x轴交点横坐标的值。

3、归纳总结函数零点的求法：

①代数法：求方程f（x）=0的根；

②几何法：利用函数的图象求解.

【设计意图：】给出零点的概念、等价关系，并归纳出零点的求法：从代数、几何图象两方面进行解答。

活动3【练习】回归探究，运用新知

1、探求活动2表1中所给出的函数有没有零点？零点有几个？是多少？进一步让学生理解零点的概念，回归到二次函数的零点问题。

方程	`x`²−2`x`−3=0	`x`²−2`x`+1=0	`x`²−2`x`+3=0
方程的实根	`x`₁=−1 ， `x`₂=3	`x`₁=`x`₂=1	没有实数根
函数	`y`=`x`²−2`x`−3	`y`=`x`²−2`x`+1	`y`=`x`²−2`x`+3
与x轴交点	(−1,0),(3,0)	(1,0)	没有交点
函数零点	−1，3	1	没有零点

【设计意图：】回归到引入所解的一元二次方程和所对应的二次函数，加深学生对零点的理解，并能运用在二次函数上，通过这样的设计，与前面呼应，加深学生理解：方程的根就是函数的零点。

2、举三个例子
判断下列函数是否有零点，若存在求出零点。

（1）y=2x+5

（2）y=1x

（3）y=lnx

【设计意图：】以一次函数，反比例函数，对出函数-------以简单的初等基本函数为例，让学生练习函数是否有零点？巩固新知，因为这几个函数学生都比较的熟悉，不管是从方程的角度，还是从图象的角度，学生都易于解答。

活动4【活动】问题探究，概念形成

1、给出一段函数图象，判断相应区间函数是否有零点？此时的两端点出的函数值之积与0的大小关系是什么？

2、给出零点存在性定理

如果函数y=ƒ (x) 在区间[a,b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有ƒ (a)·ƒ (b)<0 ,那么，函数

y=ƒ (x) 在区间（a，b）内有零点。

即存在c∈(a,b) ，使得ƒ (c)=0 ,这个c 也就是方程ƒ （x）=0 的根。

并指出：满足零点存在性定理则一定存在零点，而存在零点不一定要满足上面定理；此定理只能判断实数解的存在性，不能判断有几个。

【设计意图：】从图象入手，感受零点存在性，虽然图象有一定的片面性，但是为了引导学生往零点存在性的条件方向上思考，故设计了这样的图象，为了弥补图象举例的片面性，待零点存在性定理给出以后再举例弥补，再注意说明零点存在性定理的内涵意思。

活动5【活动】例题讲解，练习巩固与讲解

1、通过例2：判断函数y=2^x+x−1 的零点个数。

结合图象，教给学生判断函数零点个数的方法--------划归与转化思想、数形结合思想、函数方程思想的综合应用。

2、通过变式练习

（1）函数ƒ (x)=2^x+3x 零点的大致区间（）

A.(-2，-1) B.(-1，0) C.(0，1) D.(1，2）

（2）函数‍y=lnx−2x 的零点所在区间为（）

A.(0，1) B.(3，4) C.(2，3) D.（e，+∞）

介绍检验函数零点所在大致区间的方法：零点存在性定理的应用。

3、巩固训练

【设计意图：】通过例题、变式训练、巩固训练，给学生加以练习，巩固知识，学生对于方程的根有几个，综合应用到数形结合思想、划归与转化思想、函数方程的思想。

活动6【作业】作业布置

1、概述本节课的内容：一元二次方程的根与相应的二次函数的图像x轴交点之间的关系；零点存在性定理。

2、课本88页的相应练习题。要求分别以计算方程的根和函数图象两个方面加以思考。

【设计意图：】总结知识，加固理解，时间充裕的情况下让学生来归纳，训练学生的知识梳理归纳能力，练习设计简单但是要求学生分别从数与形的方向去思考，巩固本节课的内容。

3.1.1　方程的根与函数的零点

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