3.1.1 方程的根与函数的零点获奖说课稿

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

（一）三维目标：

1 知识和技能目标：理解函数零点的概念；领会函数零点与相应方程根之间的关系；掌握零点存在的判断条件。

2 过程与方法：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现函数零点存在的条件；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想.

3 情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数形结合思想，培养学生的辨证思维能力，以及分析问题解决问题的能力．

本节课的授课对象是普通高中高一学生，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图象已经有了比较系统的认识与理解，特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入起到了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进入高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察、归纳能力都还没有很全面的基础，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论最求的愿望，将学生置于主动参与的地位。

1教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系

2 教学难点：零点存在性的判定条件。

（一）回顾旧知，发现问题

问题1  求三个具体的一元二次方程的根．

问题2 填写表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标

提出疑问：方程的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？

结论：方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐标。

问题3  若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程 及相应的二次函数 的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

【设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备。】

（二）总结归纳，形成概念

1、函数的零点：对于函数y=f（x）我们把使方程f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。

问：零点是一个点吗？

答：零点不是点而是实数。

2、通过例题说明怎样求函数的零点？

小结：求函数零点的方法：通过定义

2、你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？

 等价关系：方程f（x）=0有实数根⇔函数y=f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y=f（x）有零点

【设计意图：引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法；通过引导，学生自己归纳出三者之间的关系，并且明确提出转化思想。】

【设计意图：进一步理解零点的概念，灵活运用三者之间的关系。】

问题1： 1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点。

              2 判断函数f(x)=lnx+2x-6有没有零点？

【设计意图：由学生思考，产生认知冲突，从而激发学生的求知欲。】

思考： 函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？【铺设台阶，引出本节课的主要问题.】

           怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？

探究1：观察二次函数f(x)=x²-2x-3 的图象：

             （1） 在区间[-2，1] 上有零点______；f(-2)= _______，f(1) =_______,

· f(-2).f(1)_____0（＜或＞）．

2 在区间 [2，4]上有零点______； ·f(2)f(4) ____0（＜或＞）．

3  若把区间改为[2,4],[-2,2],[0,5],[4,5],[-2,4]结果如何？

（2）观察下面函数 的图象(见课件)

（3）观察屏幕上的函数图象：

若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是　　　（间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是　　　（相同／互异）

零点存在定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）.f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c ，使得f（c）=0.这个c也就是方程f（x）=0的根。

讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.

【设计意图：先从一个已研究过的、简单的函数入手，引导学生结合函数图象，通过计算、观察、比较得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有什么关系。总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析。】

例2（教材第96页）求函数f(x)=㏑x + 2x – 6 的零点个数

（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

小结：

（六）反思小结,提升能力

1．函数零点的定义

2．等价关系 函数Y=f(x)的零点 ⇔ 函数Y=f(x)的图象与X轴交点的横坐标⇔方程f(x)＝0实数根

3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

（一）回顾旧知，发现问题

问题1  求三个具体的一元二次方程的根．

问题2 填写表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标

提出疑问：方程的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？

结论：方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐标。

问题3  若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程 及相应的二次函数 的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

【设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备。】

（二）总结归纳，形成概念

1、函数的零点：对于函数y=f（x）我们把使方程f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。

问：零点是一个点吗？

答：零点不是点而是实数。

2、通过例题说明怎样求函数的零点？

小结：求函数零点的方法：通过定义

2、你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？

 等价关系：方程f（x）=0有实数根⇔函数y=f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y=f（x）有零点

【设计意图：引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法；通过引导，学生自己归纳出三者之间的关系，并且明确提出转化思想。】

【设计意图：进一步理解零点的概念，灵活运用三者之间的关系。】

问题1： 1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点。

              2 判断函数f(x)=lnx+2x-6有没有零点？

【设计意图：由学生思考，产生认知冲突，从而激发学生的求知欲。】

思考： 函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？【铺设台阶，引出本节课的主要问题.】

           怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？

探究1：观察二次函数f(x)=x²-2x-3 的图象：

             （1） 在区间[-2，1] 上有零点______；f(-2)= _______，f(1) =_______,

· f(-2).f(1)_____0（＜或＞）．

2 在区间 [2，4]上有零点______； ·f(2)f(4) ____0（＜或＞）．

3  若把区间改为[2,4],[-2,2],[0,5],[4,5],[-2,4]结果如何？

（2）观察下面函数 的图象(见课件)

（3）观察屏幕上的函数图象：

若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是　　　（间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是　　　（相同／互异）

零点存在定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）.f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c ，使得f（c）=0.这个c也就是方程f（x）=0的根。

讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.

【设计意图：先从一个已研究过的、简单的函数入手，引导学生结合函数图象，通过计算、观察、比较得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有什么关系。总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析。】

例2（教材第96页）求函数f(x)=㏑x + 2x – 6 的零点个数

（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

小结：

（六）反思小结,提升能力

1．函数零点的定义

2．等价关系 函数Y=f(x)的零点 ⇔ 函数Y=f(x)的图象与X轴交点的横坐标⇔方程f(x)＝0实数根

3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断