1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征教学实录与评析

1.1.1　柱、锥、台、球的… 高中数学       人教A版2003课标版

      本节课是人教A版教材必修2第一章的第一节内容，是几何学的重要组成部分，是学习第二章空间点、线、面位置关系的基础和前提，对培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力有着十分重要的作用。

1、知识与技能：通过观察大量空间图形，认识柱锥台球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中物体的简单结构；

2、过程与方法：通过大量实物图片展示，培养和发展学生的几何直观力、空间想象力和比较归纳的能力；

3、情感、态度和价值观：使学生能感受到空间几何体在现实生活中的存在，学会用美的观点去欣赏多姿的世界，增强学生学习和探索的积极性。

教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，认识柱、锥、台、球及其结构特征；

教学难点：类比并能概括柱、锥、台、球及其结构特征，能由结构特征想象出空间几何体。

1、学生的认知基础：

       学生在小学初中已学过平面几何图形，对平面几何图形有了一定感知力，对平面几何中平行、垂直等位置关系的判断和证明及角度和长度的运算有了一定的基础和经验，这对学习空间几何体，刺激学生的几何直观力很有帮助。

2、可能出现的问题：

    （1）从平面到空间需要更高要求的空间想象能力，部分学生接受有困难；

    （2）学生的观察和表达能力尚不足，需要更多的实物展示和语言引导。

      鉴于本节课的特点，需要大量的实物和图片展示，来增强学生的空间几何感知力。本节课将以学生观察分析、交流讨论为主，教师适当进行总结，并引导学生进行类比归纳。

1、图片欣赏（先请大家欣赏几幅图片）

讨论：经典的图片给人以美的享受，你想知道其中的奥秘吗？

师：我们可以看到每个建筑物都是千姿百态的，但在这万千姿态中也有其固定的结构。而几何学就是研究现实世界中物体形状、大小与位置关系的数学学科，空间几何体是几何学的重要组成部分，本节我们将从对空间几何体的观察入手，研究几种常见的空间几何体的结构特征。

（1）观察：这些图片中的物体具有怎样的形状?我们如何描述它们的形状?

（2）从实物图片中抽象出对应的几何体形状，得出空间几何体的定义。（让学生充分感受到现实物体与数学几何体之间的关系）

（3）定义：如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。

（1）先出示第一排的三个几何体。（学生观察回答）

总结发现：组成前三个几何体的每个面都是平面图形。（从而得出多面体的定义）

定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫多面体。

动作：将ppt中多余的两个多面体飞出，留下一个典型的多面体，标注出面、棱和顶点。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。

（2）再出示第二排的四个几何体。（学生观察回答）

总结发现：组成这四个几何体的面不全是平面图形。（从而得出旋转体的定义）

定义：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。

这条定直线叫做旋转体的轴。（在几何体中进行标注）

1、棱柱的结构特征

（1）观察下图，它们各自的特点是什么？共同的特点是什么？

（归纳学生的回答，补充总结形成定义）  

（2）定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的几何体叫做棱柱。

      动作：叙述棱柱的底面、侧面和顶点的定义，并在ppt的典型棱柱中进行标注。

      棱柱中，两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底)，其余各面叫棱柱的侧面，

相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与底面的公共顶点叫棱柱的顶点。

（3）棱柱的表示：用底面各顶点的字母表示棱柱（例如六棱柱表示为：“棱柱ABCDEF—A'B'C'D'E'F'”）。

（4）棱柱的特征：有两个面互相平行；

                              其余各面都是四边形；

                              每相邻两个四边形的公共边都相互平行。

（5）棱柱的分类：棱柱的底面是三角形、四边形、五边形…… 的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

设计意图：通过练习来加深对棱柱结构特征的理解认识。

1、一个长方体，有几对平行的平面？能作为棱柱底面的有几对？

    答：长方体有三对平行平面；这三对都可以作为棱柱的底面。

  （教师引导学生分析得出，平行平面共有三对，任意一对都可以作为棱柱的底面。）

2、(1)观察右边的棱柱，共有多少对平行平面？能作为棱柱的底面的有几对？

      答：四对平行平面；只有一对可以作为棱柱的底面。

     (2)棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的底面吗？

       答：不是。

      (通过变式，加深对棱柱结构的认识。）

3、有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？

      答：不一定是，如图所示的几何体。

    （出示反例，让学生进行概念辨析，明白“其余各面都是平行四边形”和“每相邻两个四边形的公共边都相互平行” 并不能单纯地合并为“其余各面都是平行四边形”，从而全面认识棱柱的概念。） 

提问：棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的底面吗？

（从底面、侧面的定义上进一步理解棱柱的结构特征）

引导学生探究：棱柱的那些平行的面能作为底面，此时侧面是什么？哪些平行的平面不能作为底面？

4、下面的几何体中，哪些是棱柱？

答：①、③、⑤、⑦，其中第七个是斜棱柱。

分析：①、③有的学生可能会认为不是棱柱，因为如果选择上下面为底，则不符合棱柱结构的第二条，事实上，它们只是放置位置的改变，选前后两个面作为底面即符合判断；而⑦是斜棱柱，可借此补充说明斜棱柱、直棱柱和正棱柱的概念。

注意：分析此题时应当把学生的注意力引导到判断是否符合棱柱定义的三个条件上。

类比棱柱的学习过程，请同学们自行学习课本上棱锥、棱台的相关内容，思考棱锥、棱台的定义、性质、分类、表示方法及相关概念，并请部分同学发言进行总结。

动作：用ppt展示并归纳相关概念

（1）定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

（2）棱锥的有关概念：棱锥中,这个多边形面叫做棱锥的底面或底,有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面,各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

（3）棱锥的表示：用表示顶点和底面各顶点的字母表示,例如四棱锥表示为：“棱锥S—ABCD”

棱锥的分类：

（4）按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、……

（类比棱柱的分类方法）

（5）棱锥的性质：

侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比。

想一想:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到怎样的两个几何体?

（思考棱台与棱锥的关系）

（1）定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台.

（2）棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台…

（3）棱台的表示方法：“棱台ABCD—A'B'C'D'”

（4）棱台的特点：两个底面是相似多边形；侧面都是梯形；侧棱延长后交于一点。

思考：判断下列几何体是不是棱台,为什么?

答：不是棱台。

（通过判断来深化理解棱台的三个特征）

答：三棱柱，四棱柱，五棱柱，三棱锥……

​设计意图：在学习了棱柱、棱锥、棱台的结构特征后，让学生运用这些特征，充分发挥自己的想象力，在一个长方体中找出棱柱、棱锥与棱台，这对提高学生的空间想象力、几何直观力和加深概念的理解很有好处。

思考:如图，长方体ABCD-A’B’C’D’中被截去一部分，

（1）其中EH∥A’D’. 剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？你能说出它们的名称吗？

（2）若EF∥GH，但FH＜EG，截去的几何体是什么？

答：（1）五棱柱、三棱柱；（2）三棱台

【讨论】棱柱、棱锥和棱台都是多面体，当底面发生变化时，它们能否互相转化？

【补充】想一想,怎样给多面体分类呢?

答：可以按面数分类,多面体有几个面就称为几面体。如:三棱锥是四面体,四棱柱是六面体.

定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。

（1）圆柱的轴——旋转轴.

（2）圆柱的底面——垂直于轴的边旋转而成的圆面。

（3）圆柱的侧面——平行于轴的边旋转而成的曲面。

（4）圆柱侧面的母线——无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。

圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示,如:“圆柱OO'”

5、圆锥的结构特征

定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示,如:“圆锥SO”

6、圆台的结构特征

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台.

想一想:圆台能否用旋转的方法得到?若能,请指出用什么图形?怎样旋转?

答：直角梯形。

7、球的结构特征

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体.

球的表示方法：用表示球心的字母表示,如:“球O”

课堂小结

基本知识: 柱、锥、台、球的基本概念和各自的结构特征。

基本方法：通过对大量实物和图片的观察和分析，运用运动变化、类比联想、分析归纳

的观点来研究空间几何体。

1、复习课本，总结柱、锥、台、球的结构特征，类比其之间的相似及不同之处，并能概括叙述。

2、课本P8-9（A组1,2,4,5）

1.1.1　柱、锥、台、球的结构特征

1.1.1　柱、锥、台、球的结构特征

1、图片欣赏（先请大家欣赏几幅图片）

讨论：经典的图片给人以美的享受，你想知道其中的奥秘吗？

师：我们可以看到每个建筑物都是千姿百态的，但在这万千姿态中也有其固定的结构。而几何学就是研究现实世界中物体形状、大小与位置关系的数学学科，空间几何体是几何学的重要组成部分，本节我们将从对空间几何体的观察入手，研究几种常见的空间几何体的结构特征。

（1）观察：这些图片中的物体具有怎样的形状?我们如何描述它们的形状?

（2）从实物图片中抽象出对应的几何体形状，得出空间几何体的定义。（让学生充分感受到现实物体与数学几何体之间的关系）

（3）定义：如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。

（1）先出示第一排的三个几何体。（学生观察回答）

总结发现：组成前三个几何体的每个面都是平面图形。（从而得出多面体的定义）

定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫多面体。

动作：将ppt中多余的两个多面体飞出，留下一个典型的多面体，标注出面、棱和顶点。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。

（2）再出示第二排的四个几何体。（学生观察回答）

总结发现：组成这四个几何体的面不全是平面图形。（从而得出旋转体的定义）

定义：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。

这条定直线叫做旋转体的轴。（在几何体中进行标注）

1、棱柱的结构特征

（1）观察下图，它们各自的特点是什么？共同的特点是什么？

（归纳学生的回答，补充总结形成定义）  

（2）定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的几何体叫做棱柱。

      动作：叙述棱柱的底面、侧面和顶点的定义，并在ppt的典型棱柱中进行标注。

      棱柱中，两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底)，其余各面叫棱柱的侧面，

相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与底面的公共顶点叫棱柱的顶点。

（3）棱柱的表示：用底面各顶点的字母表示棱柱（例如六棱柱表示为：“棱柱ABCDEF—A'B'C'D'E'F'”）。

（4）棱柱的特征：有两个面互相平行；

                              其余各面都是四边形；

                              每相邻两个四边形的公共边都相互平行。

（5）棱柱的分类：棱柱的底面是三角形、四边形、五边形…… 的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

设计意图：通过练习来加深对棱柱结构特征的理解认识。

1、一个长方体，有几对平行的平面？能作为棱柱底面的有几对？

    答：长方体有三对平行平面；这三对都可以作为棱柱的底面。

  （教师引导学生分析得出，平行平面共有三对，任意一对都可以作为棱柱的底面。）

2、(1)观察右边的棱柱，共有多少对平行平面？能作为棱柱的底面的有几对？

      答：四对平行平面；只有一对可以作为棱柱的底面。

     (2)棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的底面吗？

       答：不是。

      (通过变式，加深对棱柱结构的认识。）

3、有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？

      答：不一定是，如图所示的几何体。

    （出示反例，让学生进行概念辨析，明白“其余各面都是平行四边形”和“每相邻两个四边形的公共边都相互平行” 并不能单纯地合并为“其余各面都是平行四边形”，从而全面认识棱柱的概念。） 

提问：棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的底面吗？

（从底面、侧面的定义上进一步理解棱柱的结构特征）

引导学生探究：棱柱的那些平行的面能作为底面，此时侧面是什么？哪些平行的平面不能作为底面？

4、下面的几何体中，哪些是棱柱？

答：①、③、⑤、⑦，其中第七个是斜棱柱。

分析：①、③有的学生可能会认为不是棱柱，因为如果选择上下面为底，则不符合棱柱结构的第二条，事实上，它们只是放置位置的改变，选前后两个面作为底面即符合判断；而⑦是斜棱柱，可借此补充说明斜棱柱、直棱柱和正棱柱的概念。

注意：分析此题时应当把学生的注意力引导到判断是否符合棱柱定义的三个条件上。

类比棱柱的学习过程，请同学们自行学习课本上棱锥、棱台的相关内容，思考棱锥、棱台的定义、性质、分类、表示方法及相关概念，并请部分同学发言进行总结。

动作：用ppt展示并归纳相关概念

（1）定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

（2）棱锥的有关概念：棱锥中,这个多边形面叫做棱锥的底面或底,有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面,各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

（3）棱锥的表示：用表示顶点和底面各顶点的字母表示,例如四棱锥表示为：“棱锥S—ABCD”

棱锥的分类：

（4）按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、……

（类比棱柱的分类方法）

（5）棱锥的性质：

侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比。

想一想:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到怎样的两个几何体?

（思考棱台与棱锥的关系）

（1）定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台.

（2）棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台…

（3）棱台的表示方法：“棱台ABCD—A'B'C'D'”

（4）棱台的特点：两个底面是相似多边形；侧面都是梯形；侧棱延长后交于一点。

思考：判断下列几何体是不是棱台,为什么?

答：不是棱台。

（通过判断来深化理解棱台的三个特征）

答：三棱柱，四棱柱，五棱柱，三棱锥……

​设计意图：在学习了棱柱、棱锥、棱台的结构特征后，让学生运用这些特征，充分发挥自己的想象力，在一个长方体中找出棱柱、棱锥与棱台，这对提高学生的空间想象力、几何直观力和加深概念的理解很有好处。

思考:如图，长方体ABCD-A’B’C’D’中被截去一部分，

（1）其中EH∥A’D’. 剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？你能说出它们的名称吗？

（2）若EF∥GH，但FH＜EG，截去的几何体是什么？

答：（1）五棱柱、三棱柱；（2）三棱台

【讨论】棱柱、棱锥和棱台都是多面体，当底面发生变化时，它们能否互相转化？

【补充】想一想,怎样给多面体分类呢?

答：可以按面数分类,多面体有几个面就称为几面体。如:三棱锥是四面体,四棱柱是六面体.

定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。

（1）圆柱的轴——旋转轴.

（2）圆柱的底面——垂直于轴的边旋转而成的圆面。

（3）圆柱的侧面——平行于轴的边旋转而成的曲面。

（4）圆柱侧面的母线——无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。

圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示,如:“圆柱OO'”

5、圆锥的结构特征

定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示,如:“圆锥SO”

6、圆台的结构特征

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台.

想一想:圆台能否用旋转的方法得到?若能,请指出用什么图形?怎样旋转?

答：直角梯形。

7、球的结构特征

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体.

球的表示方法：用表示球心的字母表示,如:“球O”

课堂小结

基本知识: 柱、锥、台、球的基本概念和各自的结构特征。

基本方法：通过对大量实物和图片的观察和分析，运用运动变化、类比联想、分析归纳

的观点来研究空间几何体。

1、复习课本，总结柱、锥、台、球的结构特征，类比其之间的相似及不同之处，并能概括叙述。

2、课本P8-9（A组1,2,4,5）