3.1.1 方程的根与函数的零点课件配套优秀公开课教案设计

3.1.1　方程的根与函数的… 高中数学       人教A版2003课标版

知识与技能  理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程关系，掌握零点存在的判定条件．

    过程与方法  自主发现、探究实践,零点存在性的判定．

    情感、态度、价值观  在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想、数形结合的意义和价值.

学生具备的：

(1)基本初等函数的图象和性质；

(2)一元二次方程的根和相应二次函数图像与x轴的联系；

(3)具备一定的将“数”与“形”相结合及转化的意识。

学生欠缺的：

(1)应用函数解决问题的意识还不强；

(2)由特殊到一般的归纳总结能力还不够；

(3)理论型思维能力需进一步培养。具体到抽象的研究方法。

重点难点：

重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．

难点：探究发现零点存在条件，准确理解零点存在性定理

一、回顾旧知，发现问题：

1．求下列方程的根．

（1） ；          （2） .

2.填空：

方 程 的 根

函数的图象（简图）

图象与x轴 的交点

问题1：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？

问题2：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！

二、学习概念，深化概念．

函数零点的概念：

【即兴练习】选择题：函数f(x)= x3－16x 的零点为                        （  ）

A．(0，0)，(4，0)     B．0，4       C．(–4，0)，(0，0)，(4，0)        D．–4，0，4

三、初步运用，示例练习

例1. 求下列函数的零点：（注意解题格式）

          (1)               (2)

变式练习：求函数 的零点．

【小结】求函数零点的步骤：

【小试牛刀】1. 求下列函数的零点

2. 若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则loga25 ＋ b2=              ..

【链接高考】   A．3   B．2    C．1   D．0

2

-2

-4

1

O

1

-2

2

3

4

-3

-1

-1

y

x

四、实例探究，归纳定理．

探究：（1）观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：

在区间[-2，1]上有零点______；

f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．

在区间(2，4)上有零点______；

a

b

c

x

y

O

d

f(2) =_______， f(4)=_______，f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．

（2）观察函数的图象：

①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）．

②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．

③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．

问题3：观察上面两个函数图象，在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间（a，b）上一定有零点?

【结论】零点存在性定理:

【即兴练习】下列函数在相应区间内是否存在零点？

（1）f(x)=log2x，x∈[ ，2]；    （2）f(x)=ex-1+4x-4，x∈[0，1]．

五、定理辨析，熟悉定理．

探究：判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例

1．如果函数在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0则函数在（a，b）一定有零点？

2.如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，有f(a)·f(b)＞0，则函数在（a，b）上一定没有零点？

3.将定理反过来:若连续函数f(x)在（a,b）上有一个零点,是否一定有f(a)·f(b)＜0 ?

4.如果函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，有f(a)·f(b)＜0，则函数在[a，b]上一定有唯一一个零点？  

5.如果函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0   函数在什么情况下在区间（a，b） 内只有唯一的零点？

六、观察感知，例题学习

例2（教材第88页）求函数f(x)=㏑x + 2x – 6 的零点个数以及零点所在的大致区间.

【小试牛刀】       

选择题：已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：

x

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

23

9

－7

11

－5

－12

－26

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有                              （    ）

     A．5个          B．4个          C．3个          D．2个

【试一试】你能判断出方程  ㏑x = - x2 + 3  实数根的个数吗？

3.1.1　方程的根与函数的零点

3.1.1　方程的根与函数的零点

一、回顾旧知，发现问题：

1．求下列方程的根．

（1） ；          （2） .

2.填空：

方 程 的 根

函数的图象（简图）

图象与x轴 的交点

问题1：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？

问题2：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！

二、学习概念，深化概念．

函数零点的概念：

【即兴练习】选择题：函数f(x)= x3－16x 的零点为                        （  ）

A．(0，0)，(4，0)     B．0，4       C．(–4，0)，(0，0)，(4，0)        D．–4，0，4

三、初步运用，示例练习

例1. 求下列函数的零点：（注意解题格式）

          (1)               (2)

变式练习：求函数 的零点．

【小结】求函数零点的步骤：

【小试牛刀】1. 求下列函数的零点

2. 若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则loga25 ＋ b2=              ..

【链接高考】   A．3   B．2    C．1   D．0

2

-2

-4

1

O

1

-2

2

3

4

-3

-1

-1

y

x

四、实例探究，归纳定理．

探究：（1）观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：

在区间[-2，1]上有零点______；

f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．

在区间(2，4)上有零点______；

a

b

c

x

y

O

d

f(2) =_______， f(4)=_______，f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．

（2）观察函数的图象：

①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）．

②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．

③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．

问题3：观察上面两个函数图象，在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间（a，b）上一定有零点?

【结论】零点存在性定理:

【即兴练习】下列函数在相应区间内是否存在零点？

（1）f(x)=log2x，x∈[ ，2]；    （2）f(x)=ex-1+4x-4，x∈[0，1]．

五、定理辨析，熟悉定理．

探究：判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例

1．如果函数在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0则函数在（a，b）一定有零点？

2.如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，有f(a)·f(b)＞0，则函数在（a，b）上一定没有零点？

3.将定理反过来:若连续函数f(x)在（a,b）上有一个零点,是否一定有f(a)·f(b)＜0 ?

4.如果函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，有f(a)·f(b)＜0，则函数在[a，b]上一定有唯一一个零点？  

5.如果函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0   函数在什么情况下在区间（a，b） 内只有唯一的零点？

六、观察感知，例题学习

例2（教材第88页）求函数f(x)=㏑x + 2x – 6 的零点个数以及零点所在的大致区间.

【小试牛刀】       

选择题：已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：

x

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

23

9

－7

11

－5

－12

－26

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有                              （    ）

     A．5个          B．4个          C．3个          D．2个

【试一试】你能判断出方程  ㏑x = - x2 + 3  实数根的个数吗？