1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征教学实录与评析

1.1.1　柱、锥、台、球的… 高中数学       人教A版2003课标版

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）通过实物操作，增强学生的直观感知.

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类.

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.

（4）会表示有关于 几何体以及柱、锥、台的分类.

2．过程与方法

（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征.

（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识.

3．情感、态度与价值观

（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力.

（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力.

重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征.

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括.

1．小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间范围上研究过那些？

2．你能根据某种标准对下列几何体进行分类吗？（展示具有柱、锥、台、球结构的空间物体）

展示本节课学习目标

（1）通过实物操作，增强学生的直观感知.

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类.

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.

（4）会表示有关于 几何体以及柱、锥、台的分类.

1．观察教科书第2页中和图（2）、（5）、（7）、（9），它们各自的特点是什么？

2．观察教材节2页的图（14）（15）它们有什么共同特征？

3．请类比棱柱、得出相关概念，分类及表示.

4．观 察教材第2页中图（ 13）、（16），思考它们可以怎样得到？有什么共同特征？

5．请仿照棱锥中关于侧面、侧棱、顶点的定义，给棱台相关概念下定义

6.观察几何体（圆柱）及得到这种几何体的方法，思考它与棱柱的共同特点，给它定个名称并下定义..

7．观察几何体（圆锥）及得到这种几何体的方法，思考它与棱锥的共同特点，给它定个名称并下定义.

8.下面这种几何体称为圆台，请思考圆台可以用什么办法得到？请在教材图11-9上标上圆台的轴、底面、侧面、母线.

9.观察球的模型，思考球可以用什么 办法得到？球上的点有什么共同特点.

棱柱的主要结构特征.

1．有两个面互相平行；

2．其余各面都是平行四边形；

3．每相邻两个四边形的公共边互相平行.

棱锥的结构特征：

1．有一个面是多边形.

2．其余各面都是有一个公共点的三分形 .

以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转而成的面所围成的旋转体叫做圆柱.

圆柱和棱锥统称为柱体.

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体.

圆锥与棱锥统称为锥体.

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分.

以直角梯形，垂直于底面的腰为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的旋转体

棱台与圆台统称为台体.

以半圆的直径所在直线为旋转思，半圆面旋转一圆形的旋转体叫做球体，简称球

球上的点到求心的距离等于定长.

例1  下列命题中错误的是（    ）

A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个

B．圆锥的轴截面是所有 过顶点的截面中面积最大的一个

C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆

D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角 形

 例2  把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长是10cm，求圆锥的母线长.

    【分析】  画出圆锥的轴截面，转化为平面问题求解.

    【解析】 设圆锥的母线长为ycm，圆台上、下底面半径分别是xcm 、4xcm.作圆锥的轴截面如图. 在Rt△SOA 中，O′A′∥OA，∴SA′：SA= O′A′：OA，即（y-10）：y=x：4x. ∴y=13 .

∴圆锥的母线长为13 cm

【点评】圆柱、圆锥、圆台可以看做是分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余 各边旋转而 成的曲面所围成的几何体，其轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面.

 1、下列命题是真命题的是（    ）

A  以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得的几何体为圆锥；

B  以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体为圆柱；

C  圆柱、圆锥、棱锥的底面都是圆；

D  有一个面为多边形，其他各面都是三角形的几何体是棱锥。

2. 根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.

（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等 的正六边形，其它各面都是矩形；

（2）一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形.

 1、直棱柱、正棱柱的侧面展开图都是矩形，要熟悉展开图与立体图中元素间的对应关系及位置与数量关系，哪些有变化，哪些没有变化。

2、柱、锥、台的侧面展开是立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一，圆锥的侧面展开图
是扇形，其圆心角为360⁰· （其中r、l分别是圆锥的底面半径和母线长），一些圆台问题往往需要利用圆锥来解决。

1.1.1　柱、锥、台、球的结构特征

1.1.1　柱、锥、台、球的结构特征

1．小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间范围上研究过那些？

2．你能根据某种标准对下列几何体进行分类吗？（展示具有柱、锥、台、球结构的空间物体）

展示本节课学习目标

（1）通过实物操作，增强学生的直观感知.

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类.

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.

（4）会表示有关于 几何体以及柱、锥、台的分类.

1．观察教科书第2页中和图（2）、（5）、（7）、（9），它们各自的特点是什么？

2．观察教材节2页的图（14）（15）它们有什么共同特征？

3．请类比棱柱、得出相关概念，分类及表示.

4．观 察教材第2页中图（ 13）、（16），思考它们可以怎样得到？有什么共同特征？

5．请仿照棱锥中关于侧面、侧棱、顶点的定义，给棱台相关概念下定义

6.观察几何体（圆柱）及得到这种几何体的方法，思考它与棱柱的共同特点，给它定个名称并下定义..

7．观察几何体（圆锥）及得到这种几何体的方法，思考它与棱锥的共同特点，给它定个名称并下定义.

8.下面这种几何体称为圆台，请思考圆台可以用什么办法得到？请在教材图11-9上标上圆台的轴、底面、侧面、母线.

9.观察球的模型，思考球可以用什么 办法得到？球上的点有什么共同特点.

棱柱的主要结构特征.

1．有两个面互相平行；

2．其余各面都是平行四边形；

3．每相邻两个四边形的公共边互相平行.

棱锥的结构特征：

1．有一个面是多边形.

2．其余各面都是有一个公共点的三分形 .

以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转而成的面所围成的旋转体叫做圆柱.

圆柱和棱锥统称为柱体.

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体.

圆锥与棱锥统称为锥体.

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分.

以直角梯形，垂直于底面的腰为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的旋转体

棱台与圆台统称为台体.

以半圆的直径所在直线为旋转思，半圆面旋转一圆形的旋转体叫做球体，简称球

球上的点到求心的距离等于定长.

例1  下列命题中错误的是（    ）

A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个

B．圆锥的轴截面是所有 过顶点的截面中面积最大的一个

C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆

D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角 形

 例2  把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长是10cm，求圆锥的母线长.

    【分析】  画出圆锥的轴截面，转化为平面问题求解.

    【解析】 设圆锥的母线长为ycm，圆台上、下底面半径分别是xcm 、4xcm.作圆锥的轴截面如图. 在Rt△SOA 中，O′A′∥OA，∴SA′：SA= O′A′：OA，即（y-10）：y=x：4x. ∴y=13 .

∴圆锥的母线长为13 cm

【点评】圆柱、圆锥、圆台可以看做是分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余 各边旋转而 成的曲面所围成的几何体，其轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面.

 1、下列命题是真命题的是（    ）

A  以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得的几何体为圆锥；

B  以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体为圆柱；

C  圆柱、圆锥、棱锥的底面都是圆；

D  有一个面为多边形，其他各面都是三角形的几何体是棱锥。

2. 根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.

（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等 的正六边形，其它各面都是矩形；

（2）一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形.

 1、直棱柱、正棱柱的侧面展开图都是矩形，要熟悉展开图与立体图中元素间的对应关系及位置与数量关系，哪些有变化，哪些没有变化。

2、柱、锥、台的侧面展开是立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一，圆锥的侧面展开图
是扇形，其圆心角为360⁰· （其中r、l分别是圆锥的底面半径和母线长），一些圆台问题往往需要利用圆锥来解决。