3.1.1 方程的根与函数的零点课堂实录

日期:2015-12-29 09:05 阅读:

共1课时

3.1.1 方程的根与函数的零… 高中数学人教A版2003课标版

1教学目标

学生能较好地运用函数与方程思想解决不等式中，数列中，解析几何中有关问题，灵活运用是关键，熟练运用各种知识很关键。

2学情分析

学生已经做了大量习题，有一些数学解题经验，如何转化变形是难点和重点。同老师平时讲解有一定的经验。

3新设计

讲解函数与方程思想意义和应用，然后讲解不等式，数列，解析几何中题目相关习题，学生练习相关习题，加以巩固。

4重点难点

如何转换是关键，有时要灵活构造函数，运用函数的性质如单调性，奇偶性，周期性，最值等相关知识。

5教学过程 5.1 第一学时 教学活动 活动1【导入】函数与方程

教学过程：

介绍讲解1．函数与方程思想的含义

(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．

(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．

2．和函数与方程思想密切关联的知识点

(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0

时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．

(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．

(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．

(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．

(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.

热点一　函数与方程思想在不等式中的应用

例1 　(1)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.

(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是__________．

答案　(1)4　(2)(－∞，－3)∪(0,3)

解析　(1)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；

当x>0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥x2
(
3
)
－x3
(
1
)
.

设g(x)＝x2
(
3
)
－x3
(
1
)
，则g′(x)＝x4
(
3(1－2x)
)
，所以g(x)在区间2
(
1
)
上单调递增，在区间，1
(
1
)
上单调递减，

因此g(x)max＝g2
(
1
)
＝4，从而a≥4；

当x<0即x∈[－1,0)时，

f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤x2
(
3
)
－x3
(
1
)
，

设g(x)＝x2
(
3
)
－x3
(
1
)
，且g(x)在区间[－1,0)上单调递增，

因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.

(2)设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上为奇函数．

又当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，

所以x<0时，F(x)为增函数．

因为奇函数在对称区间上的单调性相同，

所以x>0时，F(x)也是增函数．

因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)．

所以，由图可知F(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．

思维升华　(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)>0或f(x)<0恒成立，一般可转化为f(x)min>0或f(x)max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解．

　(1)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　)

A．x＋y≥0 B．x＋y≤0

C．x－y≤0 D．x－y≥0

(2)已知函数f(x)＝2
(
1
)
x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．m≥2
(
3
)
B．m>2
(
3
)

C．m≤2
(
3
)
D．m<2
(
3
)

答案　(1)B　(2)A

解析　(1)把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y.

(2)因为函数f(x)＝2
(
1
)
x4－2x3＋3m.所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－2
(
27
)
，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，

所以3m－2
(
27
)
≥－9，解得m≥2
(
3
)
，故选A.

热点二　函数与方程思想在数列中的应用

例2 　已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．

(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；

(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝Sn＋1
(
1
)
＋Sn＋2
(
1
)
＋…＋S2n
(
1
)
，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．

解　(1)因为a1＝2，a3
(
2
)
＝a2·(a4＋1)，

又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，

所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，

得d＝2或d＝－1(舍去)，

所以数列{an}的通项公式an＝2n.

(2)因为Sn＝n(n＋1)，

bn＝Sn＋1
(
1
)
＋Sn＋2
(
1
)
＋…＋S2n
(
1
)

＝(n＋1)(n＋2)
(
1
)
＋(n＋2)(n＋3)
(
1
)
＋…＋2n(2n＋1)
(
1
)

＝n＋1
(
1
)
－n＋2
(
1
)
＋n＋2
(
1
)
－n＋3
(
1
)
＋…＋2n
(
1
)
－2n＋1
(
1
)

＝n＋1
(
1
)
－2n＋1
(
1
)
＝2n2＋3n＋1
(
n
)
＝＋3
(
1
)
，

令f(x)＝2x＋x
(
1
)
(x≥1)，

则f′(x)＝2－x2
(
1
)
，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，

所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

故当x＝1时，[f(x)]min＝f(1)＝3，

即当n＝1时，(bn)max＝6
(
1
)
，

要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，

则须使k≥(bn)max＝6
(
1
)
，

所以实数k的最小值为6
(
1
)
.

思维升华　(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；

(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思想求解．

　(1)(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．

(2)已知函数f(x)＝(3
(
1
)
)x，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则an的最小值为(　　)

A．－1 B．1

C.3
(
2
)
D．－3
(
2
)

答案　(1)4　(2)D

解析　(1)因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.

(2)由题设，得a1＝f(1)－c＝3
(
1
)
－c；

a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－9
(
2
)
；

a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－27
(
2
)
.

又数列{an}是等比数列，

∴(－9
(
2
)
)2＝(3
(
1
)
－c)×(－27
(
2
)
)，∴c＝1.

又∵公比q＝a2
(
a3
)
＝3
(
1
)
，

∴an＝－3
(
2
)
(3
(
1
)
)n－1＝－2(3
(
1
)
)n，n∈N*.

且数列 {an}是递增数列，

∴n＝1时，an有最小值a1＝－3
(
2
)
.

热点三　函数与方程思想在几何中的应用

例3 　已知椭圆C：a2
(
x2
)
＋b2
(
y2
)
＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为2
(
2
)
.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△AMN的面积为3
(
10
)
时，求k的值．

解　(1)由题意得a2＝b2＋c2，
(
2，
)
解得b＝.

所以椭圆C的方程为4
(
x2
)
＋2
(
y2
)
＝1.

(2)由＝1
(
y2
)
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则x1＋x2＝1＋2k2
(
4k2
)
，x1x2＝1＋2k2
(
2k2－4
)
.

所以|MN|＝

＝

＝1＋2k2
(
(1＋k2)(4＋6k2)
)
.

又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离

d＝1＋k2
(
|k|
)
，

所以△AMN的面积为

S＝2
(
1
)
|MN|·d＝1＋2k2
(
4＋6k2
)
.

由1＋2k2
(
4＋6k2
)
＝3
(
10
)
，解得k＝±1.

所以，k的值为1或－1.

思维升华　几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．

　(1)(2014·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋b2
(
y2
)
＝1(0<b<1)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为__________．

(2)若a>1，则双曲线a2
(
x2
)
－(a＋1)2
(
y2
)
＝1的离心率e的取值范围是(　　)

A．(1，) B．(，)

C．[，] D．(，)

答案　(1)x2＋2
(
3
)
y2＝1　(2)B

解析　(1)设点B的坐标为(x0，y0)，

∵x2＋b2
(
y2
)
＝1，且0<b<1，

∴F1(－，0)，F2(，0)．

∵AF2⊥x轴，∴A(，b2)．

∵|AF1|＝3|F1B|，∴→
(
AF1
)
＝3→
(
F1B
)
，

∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)．

∴x0＝－3
(
5
)
，y0＝－3
(
b2
)
.

∴点B的坐标为3
(
b2
)
.

将点B3
(
b2
)
代入x2＋b2
(
y2
)
＝1，

得b2＝3
(
2
)
.

∴椭圆E的方程为x2＋2
(
3
)
y2＝1.

(2)e2＝(a
(
c
)
)2＝a2
(
a2＋(a＋1)2
)
＝1＋(1＋a
(
1
)
)2，

因为当a>1时，0<a
(
1
)
<1，所以2<e2<5，

即<e<.

3.1.1 方程的根与函数的零点

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