2.2.2 对数函数及其性质优质课一等奖

2.2.2　对数函数及其性质 高中数学       人教A版2003课标版

“对数函数”的内容出现在高一必修一第二章2.2，它是在学过对数与常用对数以及指数函数的基础上再来学习的，它是对指数函数内容的延续和发展，有利于加深和巩固对指数函数的函数图象的认识，也为培养学生利用函数的思想来解决数学问题奠定基础。

对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自于实践，又便于学生接受。在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数的定义域，加强对数函数的定义域为 的理解。在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的教学重点，而理解底数a的值对于函数值变化的影响（即对对数函数单调性的影响）是教学的一个重点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解。

1、知识技能

①理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质，

②掌握并能应用对数函数的性质解决问题。

2、过程与方法

引导学生结合图象，探索研究对数函数的性质。

3、情感、态度与价值观

培养学生勇于探索的精神,激发学生学习的兴趣,让学生主动融入学习，同时培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力。

学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=loga x中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。

重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质。 

难点：掌握底数a对对数函数图象的影响及对数函数性质的应用。

一、问题引入

我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2x表示。

如果知道分裂后细胞个数为y，求分裂次数x，就可以在上式中解得x得到：x=log2y，这是一个以y为自变量，以x为因变量的函数，即该式中x是y的函数。

如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就可以写为y=log2x。

（设计意图：引出新课--对数函数）

二、讲授新课

1、对数函数的定义

形如y=logax(a>0,a≠1)的函数叫对数函数，其中x为自变量，函数定义域是(0,+¥)。

注：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

② 对数函数对底数的限制：

下面我们来探讨一下对数函数的性质。

通常我们研究函数的性质时要借助于一件工具，这个工具是什么？

学生回答：图像。

由于对数函数对底数的限制： ，我们分别再a＞1和0＜a＜1中取一个特殊的对数函数来研究对数函数性质。

2、对数函数性质

由对数函数定义，知： 和 都是对数函数，下面在同一坐标系中画出它们的图象来研究对数函数的性质：

（1）、回顾描点法作图的基本步骤：

①、列表（根据给定的自变量分别 计算出因变量的值）

②、描点（根据列表中的坐标分别在坐标系中标出其对应点）

③、连线（将所描的点用平滑的曲线 连接起来）

（2）、作图

提问思考：通过函数的图象，你能说出两个函数的图象有什么特征及关系？

关系：图像关于x轴对称。

那么它们各自具有什么特点呢？

（3）、观察函数y=log2x 的图象填写下表

图像特征

数学语言表述

图象位于y轴右方

定义域 : ( 0,+∞)

图象向上，向下无限延伸

值 域 :R

自左向右看图象逐渐上升

在(0,+∞)上是：增函数

(4)、 观察函数y=log x 的图象填写下表

图像特征

数学语言表述

图象位于y轴右方

定义域 : ( 0,+∞)

图象向上，向下无限延伸

值 域 :R

自左向右看图象逐渐下降

在(0,+∞)上是：减函数

提问思考：通过以上两个函数你能说出底数与函数图象的关系吗？

先由学生讨论、交流，教师引导总结。

（5）、由上述表格可知，对数函数的性质如下：

（1）a>1时函数图像是上升趋势，在定义域内是增函数；

（2）0<a<1时函数图像是下降趋势，在定义域内是减函数；

（3）函数图像经过（1,0）

3、对数函数性质归纳总结：

（设计意图：让学生思考问题,能联想到之前学习的对数,根据对数的定义得到答案，从而培养学生的观察分析及总结能力。） 

三、例题分析

1、例：比较下列各组中两个值的大小:

(1) log23  , log23.5 

(2) log0.71.6 ,  logo.71.8 

分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成。

解：

（1）取对数函数y=log2x,因为 2>1, 所以它是增函数 ，

又因为3<3.5

所以log23<log23.5

（2）取对数函数y=log0.7x,因为 0.7<1 ,  所以它是减函数 ，

又因为 1.6<1.8

所以log0.71.6 >log0.71.8

（设计意图：目的在于让学生运用对数函数的性质解决一些简单的问题,以巩固他们对对数函数性质的掌握和理解。）

2、归纳总结比较两个相同底数的对数值的大小时步骤：

（１）、观察底数是大于1还是小于1；（ a>1时为增函数，0<a<1时为减函数）

（２）、比较真数值的大小；

（３）、根据单调性得出结果。

（设计意图：目的在于培养学生分类与整合的思想。）

四、课堂练习

1、比较大小:

(1)  log35  和  log38   

(2)  log0.55   和  log0.50.6

（学生黑板进行练习）

2、你能口答吗？

变一变还能口答吗？

（设计意图：目的是让学生学以致用）

五、课堂小结

1、对数函数的定义，

2、对数函数的图象和性质，

3、性质的应用（比较对数值大小）。.

六、作业

1、必做题：74页 第8题

2、思考题：对数函数y=log2x与指数函数y=2x之间存在着什么关系？

（提示：从图象和性质来分析）

（设计意图：华罗庚说:“学数学而不练,犹如入宝山而空返，”因此把习题8作为作业题,同时设置思考题,这使学生在学习新知识的基础上,复习旧知识,并结合预习,解决问题。目的是让学生学以致用,注重新旧知识的联系与应用。）

七、板书设计

2.2.2对数函数及其性质

一、定义

二、图像和性质

例题：

练习：

布置作业：

1、必做题

2、思考题

（设计意图：这样的板书简明清楚,重点突出,加深学生对定义、图象和性质的理解和掌握,便于记忆,有利于提高教学效果。）

八、教学反思

2.2.2　对数函数及其性质

2.2.2　对数函数及其性质

一、问题引入

我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2x表示。

如果知道分裂后细胞个数为y，求分裂次数x，就可以在上式中解得x得到：x=log2y，这是一个以y为自变量，以x为因变量的函数，即该式中x是y的函数。

如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就可以写为y=log2x。

（设计意图：引出新课--对数函数）

二、讲授新课

1、对数函数的定义

形如y=logax(a>0,a≠1)的函数叫对数函数，其中x为自变量，函数定义域是(0,+¥)。

注：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

② 对数函数对底数的限制：

下面我们来探讨一下对数函数的性质。

通常我们研究函数的性质时要借助于一件工具，这个工具是什么？

学生回答：图像。

由于对数函数对底数的限制： ，我们分别再a＞1和0＜a＜1中取一个特殊的对数函数来研究对数函数性质。

2、对数函数性质

由对数函数定义，知： 和 都是对数函数，下面在同一坐标系中画出它们的图象来研究对数函数的性质：

（1）、回顾描点法作图的基本步骤：

①、列表（根据给定的自变量分别 计算出因变量的值）

②、描点（根据列表中的坐标分别在坐标系中标出其对应点）

③、连线（将所描的点用平滑的曲线 连接起来）

（2）、作图

提问思考：通过函数的图象，你能说出两个函数的图象有什么特征及关系？

关系：图像关于x轴对称。

那么它们各自具有什么特点呢？

（3）、观察函数y=log2x 的图象填写下表

图像特征

数学语言表述

图象位于y轴右方

定义域 : ( 0,+∞)

图象向上，向下无限延伸

值 域 :R

自左向右看图象逐渐上升

在(0,+∞)上是：增函数

(4)、 观察函数y=log x 的图象填写下表

图像特征

数学语言表述

图象位于y轴右方

定义域 : ( 0,+∞)

图象向上，向下无限延伸

值 域 :R

自左向右看图象逐渐下降

在(0,+∞)上是：减函数

提问思考：通过以上两个函数你能说出底数与函数图象的关系吗？

先由学生讨论、交流，教师引导总结。

（5）、由上述表格可知，对数函数的性质如下：

（1）a>1时函数图像是上升趋势，在定义域内是增函数；

（2）0<a<1时函数图像是下降趋势，在定义域内是减函数；

（3）函数图像经过（1,0）

3、对数函数性质归纳总结：

（设计意图：让学生思考问题,能联想到之前学习的对数,根据对数的定义得到答案，从而培养学生的观察分析及总结能力。） 

三、例题分析

1、例：比较下列各组中两个值的大小:

(1) log23  , log23.5 

(2) log0.71.6 ,  logo.71.8 

分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成。

解：

（1）取对数函数y=log2x,因为 2>1, 所以它是增函数 ，

又因为3<3.5

所以log23<log23.5

（2）取对数函数y=log0.7x,因为 0.7<1 ,  所以它是减函数 ，

又因为 1.6<1.8

所以log0.71.6 >log0.71.8

（设计意图：目的在于让学生运用对数函数的性质解决一些简单的问题,以巩固他们对对数函数性质的掌握和理解。）

2、归纳总结比较两个相同底数的对数值的大小时步骤：

（１）、观察底数是大于1还是小于1；（ a>1时为增函数，0<a<1时为减函数）

（２）、比较真数值的大小；

（３）、根据单调性得出结果。

（设计意图：目的在于培养学生分类与整合的思想。）

四、课堂练习

1、比较大小:

(1)  log35  和  log38   

(2)  log0.55   和  log0.50.6

（学生黑板进行练习）

2、你能口答吗？

变一变还能口答吗？

（设计意图：目的是让学生学以致用）

五、课堂小结

1、对数函数的定义，

2、对数函数的图象和性质，

3、性质的应用（比较对数值大小）。.

六、作业

1、必做题：74页 第8题

2、思考题：对数函数y=log2x与指数函数y=2x之间存在着什么关系？

（提示：从图象和性质来分析）

（设计意图：华罗庚说:“学数学而不练,犹如入宝山而空返，”因此把习题8作为作业题,同时设置思考题,这使学生在学习新知识的基础上,复习旧知识,并结合预习,解决问题。目的是让学生学以致用,注重新旧知识的联系与应用。）

七、板书设计

2.2.2对数函数及其性质

一、定义

二、图像和性质

例题：

练习：

布置作业：

1、必做题

2、思考题

（设计意图：这样的板书简明清楚,重点突出,加深学生对定义、图象和性质的理解和掌握,便于记忆,有利于提高教学效果。）

八、教学反思

• 优点:

  教学思路清晰，教学目标明确。教学过程详细。

• 缺点:

  个别符号需要更正。

• 优点:

  赞

• 缺点:

  无