2.2.2 对数函数及其性质教案3

2.2.2　对数函数及其性质 高中数学       人教A版2003课标版

本节内容是必修1第二章基本初等函数(Ⅰ) 2.2.2节对数函数及其性质第一课时．主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质．对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处．当然与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高．学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高．对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解．为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用．

（一）知识与技能

1、理解对数函数的定义；掌握对数函数的图象和性质及其简单应用。

2、通过具体实例，直观感受对数函数模型所刻画的数量关系；通过具体的函数图像的画法以及类比法逐步认识对数函数的特征；

（二）过程与方法

1、学导法：通过实例创设问题情境，引导学生对对数函数解析式的理解；引导学生类比指数函数的研究思路，从图像特征分析对数函数的性质。

2、师生共同讨论法：指在调动学生参与的积极性，突出学生主体地位，通过教师必要指导，调动学生思维的积极性；

（三）情感态度与价值观

1、渗透由特殊到一般的思想，培养学生探索研究数学问题的素养，渗透数形结合、分类讨论的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力、数形结合的能力。　　      

2、通过学习对数函数与指数函数的图像特征和性质，让学生欣赏它们各具特点的位置关系，感悟数学世界的奇异美，培养学生的美学意识。

3、通过本节内容学习，培养学生不断探索发现新知的精神，渗透事物的相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

教学重点

1、对数函数的定义、图象和性质

2、对数函数性质的初步应用

教学难点

底数a对图象的影响及对数函数性质的探究

创设情境，引入课题→复习引入，形成概念→尝试画图、形成感知→理性认识、发现性质→深化认识，应用性质→反思总结、提升自我

1972年，马王堆考古发现震惊世界．专家在发掘古长沙国丞相夫人辛追遗尸时，发现其形体完整，全身润泽，皮肤仍然有弹性，关节还可以活动，骨质比现在60岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸．大家知道，世界发现的不腐之尸，一般在干燥的环境风干而成，而辛追夫人却是在湿润的环境中保存了2200多年。那么，考古学家怎么计算出辛追“沉睡”了2200年呢？其实，这就是用我们今天要研究的对数函数来计算出来的。引入课题——2.2.2对数函数及其性质

复习指数函数的概念、（）

据资料显示：生物体死亡年后体内碳14含量，要估算死亡年数，通过对数式与指数式的互化可得，不难发现，对每个碳14含量的取值，通过对应关系，都有唯一确定的生物死亡年数与之对应，从而是的函数．

教师：引导学生归纳函数：的特征，抽象出对数函数的一般形式，然后给出对数函数的定义：

一般地，我们把函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．

教师：提出探究1：（1）在对数函数的定义中，为什么要限定＞0且≠1？

（2）为什么对数函数的定义域是（0，+∞）？

（3）对数函数解析式的结构特征是什么？

学生：小组讨论后回答

学生：练习1：判断下列函数关系式中哪些是对数函数？（抽问）

， ，

【设计意图】复习旧知导入新知是一个不可或缺的环节，通过回顾旧知识，使知识得到联系，只有从学生已所学的指数函数出发，才能让学生在脑中形成对数函数的概念。学生只有弄清了知识的来源，才会“顺其自然”地接受知识，这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点。

教师：指数函数研究中体现了一个函数研究的基本内容和研究方法，类比指数函数的研究方法，对数函数我们也来研究其图象和性质．首先怎样研究对数函数 的图象？

提出探究2：用描点法在同一平面直角坐标系上画 、 、 、 的图象。（抽一名学生板演）

学生：发现了思考的方向，回忆、类比后解答、作图。（画几个具体对数函数的图象，有特殊到一般的思想方法得到对数函数的图象）

教师：几何画板展示： 、 、 、 图象形成的动态过程。

让学生尝试用几何画板作对数函数图象。

【设计意图】学生动手画图，形成感知。学生合作探究，交流成果，再脑中初步建立对数函数图象的模型。学生只有经历了知识的形成过程才能做好的接受新知识的准备，如此一来便水到渠成。师生互动的形式更增加了课堂气氛，使得知识在快乐中得到吸收。

教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函数的性质，提高我们对对

数函数的理性认识。

提出探究3：

（1）函数 与 的图象有何关系？ 与 呢？

（2）函数 与 的图象有何共同特征？相应的代数表示是什么？ 与 呢？

（3）函数 的图象有何特征？性质有哪些？ 呢？

学生：小组讨论后，代表发言。

函数 与 的图象关于 轴对称。

函数 与 的图象特征：图象位于 轴右侧，与 轴的交点是（1,0），图象向上、下无限延伸，从左向右看图象逐渐下降。代数表示是：定义域为 ，值域是R，图象过定点 ，函数在 上是减函数。

函数 与 的图象特征：图象位于 轴右侧，与 轴的交点是（1,0），图象向上、下无限延伸，从左向右看图象逐渐上升。代数表示是：定义域为 ，值域是R，图象过定点 ，函数在 上是增函数。

教师：引导学生归纳对数函数的性质，并板书：

图象

性质

（1）定义域

（2）值域R

（3）过点 ，即当 时，

（4）（在 上是增函数

（4）在 上是减函数

（5）当0<x<1时，y<0

      当x>1时，  y>0

（5）当0<x<1时，y>0

当x>1时，  y<0

（6）在区间（0,1）上满足

“底大图高”

（6）在区间（0,1）上满足

“底大图高”

【设计意图】让学生们自觉地类比指数函数研究方法，寻求知识的内在联系，自然而然地运用数形结合与类比推理的数学思想．作为教师的任务，一方面让学生建立起建构性的数学思维方式，另一方面应为学生创设开放的、活动的环境，以开发学生蕴藏着的丰富智慧．

例1：已知函数f(x)为对数函数，且图象过点(4, 2)， ，求：

（1）f(1)，f(8)的值。

（2） 的定义域和过定点的坐标。（抽一名学生板演）

例2.　比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log23.4，log28.5；      (2)loga5.1，loga5.9(a>0，a≠1)．

    (3)log1.10.7，log1.20.7      (4)log3，log5；

（学生独立做后，小组讨论确定答案、小结比较两个对数大小的方法）

小结：比较两个对数大小的方法：

（1）若同底数，则可由函数的单调性直接进行判断（若底数不确定应注意分类讨论）。

（2）若同真数，则利用“底大图高”作函数图象判断。

（3）若底数、真数都不相同，则找中间量0、 、 等。

【设计意图】巩固所学新知，体现探究成果的应用，渗透数形结合思想、分类讨论思想。

教师：提问：（1）你能归纳出这节课的学习内容吗？

（2）你能谈谈这节课的收获和体会吗？

学生：小组讨论，合作交流，由学生代表结合多媒体课件总结表达。

【设计意图】首先学生在教学反思中，整理知识，进一步巩固和提高对数函数及其性质。适时地和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更好地学习、记忆和应用。

2.2.2　对数函数及其性质

2.2.2　对数函数及其性质

1972年，马王堆考古发现震惊世界．专家在发掘古长沙国丞相夫人辛追遗尸时，发现其形体完整，全身润泽，皮肤仍然有弹性，关节还可以活动，骨质比现在60岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸．大家知道，世界发现的不腐之尸，一般在干燥的环境风干而成，而辛追夫人却是在湿润的环境中保存了2200多年。那么，考古学家怎么计算出辛追“沉睡”了2200年呢？其实，这就是用我们今天要研究的对数函数来计算出来的。引入课题——2.2.2对数函数及其性质

复习指数函数的概念、（）

据资料显示：生物体死亡年后体内碳14含量，要估算死亡年数，通过对数式与指数式的互化可得，不难发现，对每个碳14含量的取值，通过对应关系，都有唯一确定的生物死亡年数与之对应，从而是的函数．

教师：引导学生归纳函数：的特征，抽象出对数函数的一般形式，然后给出对数函数的定义：

一般地，我们把函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．

教师：提出探究1：（1）在对数函数的定义中，为什么要限定＞0且≠1？

（2）为什么对数函数的定义域是（0，+∞）？

（3）对数函数解析式的结构特征是什么？

学生：小组讨论后回答

学生：练习1：判断下列函数关系式中哪些是对数函数？（抽问）

， ，

【设计意图】复习旧知导入新知是一个不可或缺的环节，通过回顾旧知识，使知识得到联系，只有从学生已所学的指数函数出发，才能让学生在脑中形成对数函数的概念。学生只有弄清了知识的来源，才会“顺其自然”地接受知识，这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点。

教师：指数函数研究中体现了一个函数研究的基本内容和研究方法，类比指数函数的研究方法，对数函数我们也来研究其图象和性质．首先怎样研究对数函数 的图象？

提出探究2：用描点法在同一平面直角坐标系上画 、 、 、 的图象。（抽一名学生板演）

学生：发现了思考的方向，回忆、类比后解答、作图。（画几个具体对数函数的图象，有特殊到一般的思想方法得到对数函数的图象）

教师：几何画板展示： 、 、 、 图象形成的动态过程。

让学生尝试用几何画板作对数函数图象。

【设计意图】学生动手画图，形成感知。学生合作探究，交流成果，再脑中初步建立对数函数图象的模型。学生只有经历了知识的形成过程才能做好的接受新知识的准备，如此一来便水到渠成。师生互动的形式更增加了课堂气氛，使得知识在快乐中得到吸收。

教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函数的性质，提高我们对对

数函数的理性认识。

提出探究3：

（1）函数 与 的图象有何关系？ 与 呢？

（2）函数 与 的图象有何共同特征？相应的代数表示是什么？ 与 呢？

（3）函数 的图象有何特征？性质有哪些？ 呢？

学生：小组讨论后，代表发言。

函数 与 的图象关于 轴对称。

函数 与 的图象特征：图象位于 轴右侧，与 轴的交点是（1,0），图象向上、下无限延伸，从左向右看图象逐渐下降。代数表示是：定义域为 ，值域是R，图象过定点 ，函数在 上是减函数。

函数 与 的图象特征：图象位于 轴右侧，与 轴的交点是（1,0），图象向上、下无限延伸，从左向右看图象逐渐上升。代数表示是：定义域为 ，值域是R，图象过定点 ，函数在 上是增函数。

教师：引导学生归纳对数函数的性质，并板书：

图象

性质

（1）定义域

（2）值域R

（3）过点 ，即当 时，

（4）（在 上是增函数

（4）在 上是减函数

（5）当0<x<1时，y<0

      当x>1时，  y>0

（5）当0<x<1时，y>0

当x>1时，  y<0

（6）在区间（0,1）上满足

“底大图高”

（6）在区间（0,1）上满足

“底大图高”

【设计意图】让学生们自觉地类比指数函数研究方法，寻求知识的内在联系，自然而然地运用数形结合与类比推理的数学思想．作为教师的任务，一方面让学生建立起建构性的数学思维方式，另一方面应为学生创设开放的、活动的环境，以开发学生蕴藏着的丰富智慧．

例1：已知函数f(x)为对数函数，且图象过点(4, 2)， ，求：

（1）f(1)，f(8)的值。

（2） 的定义域和过定点的坐标。（抽一名学生板演）

例2.　比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log23.4，log28.5；      (2)loga5.1，loga5.9(a>0，a≠1)．

    (3)log1.10.7，log1.20.7      (4)log3，log5；

（学生独立做后，小组讨论确定答案、小结比较两个对数大小的方法）

小结：比较两个对数大小的方法：

（1）若同底数，则可由函数的单调性直接进行判断（若底数不确定应注意分类讨论）。

（2）若同真数，则利用“底大图高”作函数图象判断。

（3）若底数、真数都不相同，则找中间量0、 、 等。

【设计意图】巩固所学新知，体现探究成果的应用，渗透数形结合思想、分类讨论思想。

教师：提问：（1）你能归纳出这节课的学习内容吗？

（2）你能谈谈这节课的收获和体会吗？

学生：小组讨论，合作交流，由学生代表结合多媒体课件总结表达。

【设计意图】首先学生在教学反思中，整理知识，进一步巩固和提高对数函数及其性质。适时地和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更好地学习、记忆和应用。