2.2.2 对数函数及其性质教学设计模板

2.2.2　对数函数及其性质 高中数学       人教A版2003课标版

(1) 理解对数函数的概念、掌握对数函数的图象和性质.
(2) 培养学生自主学习、综合归纳、数形结合的能力.

(3) 培养学生用类比方法探索研究数学问题的素养.
(4) 培养学生对待知识的科学态度、勇于探索和创新的精神.
(5) 在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流.

本节是在指数函数的图像和性质，对数的定义和运算性质已学习的基础上来学习的，而指数函数与对数函数具有相似的性质，类比指数函数的图像和性质的研究方法，学生便于展开研究和学习，所以本节课学生便于理解和学习。

[重点]对数函数的概念、图象和性质；在教学中只有突出这个重点，才能使教材脉络分明，才能有利于学生联系旧知识，学习新知识.

[难点]底数a对对数函数的图象和性质的影响.

教学过程设计                   

教学流程：背景材料→引出课题 →函数图象→ 函数性质→问题解决→归纳小结.

（一）熟悉背景、引入课题.

如图所示材料：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 ……，

如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即 ；(板书课题)

1.引导学生观察这个函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

    注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如： ，  都不是对数函数．2 对数函数对底数的限制： ，且 ．

2．根据对数函数定义填空；

例1 （1）函数 y=logax2的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)

      (2) 函数y=loga(4-x) 的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)                

(3)y=loga(9-x2) 的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)

说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止，以避免挖深、拓展、引入复合函数的概念。

（二）尝试画图、形成感知.

 1．确定探究问题

教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？

学生1：对数函数的图象和性质.

教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？

学生2：先画图象，再根据图象得出性质.

教师：画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类？

学生3：按 和 分类讨论

教师：观察图象主要看哪几个特征？

学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图.

教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象：

步骤一：（1）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

（2）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

步骤二：观察对数函数 、 与 、 的图象特征 ，看看它们有那些异同点。

步骤三：利用计算机，选取底数 ，且 的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有哪些共同特征？

步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象.

步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较.

2．学生探究成果

  （1）如图较为熟练地用描点法画出下列对数函数 、 、 、 的图象.

（2）如图学生选取底数 =1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10，并推荐几位代表上台演示‘几何画板’，得到相应对数函数的图象。由于学生自己动手，加上‘几何画板’的强大作图功能，学生非常清楚地看到了底数 是如何影响函数 ，且 图象的变化。

（3）有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验,学生很明确y = loga x  （a>1）、y = loga x (0<a<1) 的图象代表对数函数的两种情形。

y = loga x  （a>1）                   y = loga  x  (0<a<1)

（4）学生相互补充，自主发现了图象的下列特征：①图象都在y轴右侧，向y轴正负方向无限延伸；②都过（1、0）点；③当a>1时，图象沿x轴正向逐步上升；当0<a<1时，图象沿x轴正向逐步下降；④图象关于原点和y轴不对称，并且能从图象的形状、位置、升降、定点等角度指出指数函数与对数函数的图象区别；如图:

3．拓展探究：

（1）对数函数  与  、  与  的图象有怎样的对称关系？

（2）对数函数y = loga x （a>1），当a值增大，图象的上升“程度”怎样？

说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充学生对对数函数图象感性认识就比较全面。

（三）理性认识、发现性质.

1．确定探究问题.

   教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函数的性质，提高我们对对数函数的理性认识。同学们，通常研究函数的性质有哪些途径？

学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。

教师：现在，请同学们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图象特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质

2．学生探究成果.

      在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格：

函     数

y = loga x  （a>1）

y = loga x  (0<a<1)

图    像

定义域

R+

R+

值  域

R

R

单调性

在（0，+  ）上是增函数

在（0，+  ）上是减函数

过定点

（1，0）即x=1，y=0

（1，0）即x=1，y=0

取值范围

0<x<1时，y<0

  x>1时，y>0

0<x<1时，y>0

  x>1时，y<0

（四）探究问题、变式训练.

  例2：比较下列各组数中两个值的大小：

(1) log 23.4 , log 28.5       （2）log 0.31.8 , log 0.32.7

      独立思考：1.构造怎样的对数函数模型？2.运用怎样的函数性质？

小组交流：（1） 是增函数 （2）y=log0.3x 是减函数            

变式训练：1. 比较下列各题中两个值的大小:

⑴ log106       log108  　　 ⑵ log0.56        log0.54
         ⑶ log0.10.5        log0.10.6   ⑷ log1.50.6       log1.50.4

2．已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：

         (1) log 3 m < log 3 n       (2) log 0.3 m > log 0.3 n

         (3) log a m < loga n  (0<a<1)  (4) log a m > log a n  (a>1)

（五）归纳小结、巩固新知.

1．议一议：（1）怎样的函数称为对数函数？

（2）对数函数的图象形状与底数有什么样的关系？

（3）对数函数有怎样的性质？

2．看一看：对数函数的图象特征和相关性质。

对数函数的图象特征

对数函数的相关性质

函数图象都在y轴右侧

函数的定义域为（0，＋∞）

图象关于原点和y轴不对称

非奇非偶函数

向y轴正负方向无限延伸

函数的值域为R

函数图象都过定点（1，0）

自左向右看，

图象逐渐上升

自左向右看，

图象逐渐下降

增函数

减函数

第一象限的图象纵坐标都大于0

第一象限的图象纵坐标都大于0

第二象限的图象纵坐标都小于0

第二象限的图象纵坐标都小于0

（六）布置作业。

（七）教学反思。

函数内容是学生学习上的一个难点，本节课的教学设计能通过实例，渗透数学方法和思想，与指数函数的类比学习，注重学生探究学习的过程。能够根据教学内容、学生的认知规律和教学设计的情意原则、过程原则进行设计，突出教师的指导和学生自主探究、合作交流的学习理念，使学生对概念的产生、图象的形成过程有了较深入的理解。通过对对数函数的图象和性质的研究，对底数a的分类讨论，以达到突破难点的目的。通过例题的分析和讲解、学生的练习，使函数的图象和性质得到初步应用。活动八补充的思考题是让层度较好的同学去完成，如果课堂时间不允许，可将此部份内容留给学生课后去完成。

2.2.2　对数函数及其性质

2.2.2　对数函数及其性质

教学过程设计                   

教学流程：背景材料→引出课题 →函数图象→ 函数性质→问题解决→归纳小结.

（一）熟悉背景、引入课题.

如图所示材料：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 ……，

如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即 ；(板书课题)

1.引导学生观察这个函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

    注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如： ，  都不是对数函数．2 对数函数对底数的限制： ，且 ．

2．根据对数函数定义填空；

例1 （1）函数 y=logax2的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)

      (2) 函数y=loga(4-x) 的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)                

(3)y=loga(9-x2) 的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)

说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止，以避免挖深、拓展、引入复合函数的概念。

（二）尝试画图、形成感知.

 1．确定探究问题

教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？

学生1：对数函数的图象和性质.

教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？

学生2：先画图象，再根据图象得出性质.

教师：画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类？

学生3：按 和 分类讨论

教师：观察图象主要看哪几个特征？

学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图.

教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象：

步骤一：（1）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

（2）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

步骤二：观察对数函数 、 与 、 的图象特征 ，看看它们有那些异同点。

步骤三：利用计算机，选取底数 ，且 的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有哪些共同特征？

步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象.

步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较.

2．学生探究成果

  （1）如图较为熟练地用描点法画出下列对数函数 、 、 、 的图象.

（2）如图学生选取底数 =1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10，并推荐几位代表上台演示‘几何画板’，得到相应对数函数的图象。由于学生自己动手，加上‘几何画板’的强大作图功能，学生非常清楚地看到了底数 是如何影响函数 ，且 图象的变化。

（3）有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验,学生很明确y = loga x  （a>1）、y = loga x (0<a<1) 的图象代表对数函数的两种情形。

y = loga x  （a>1）                   y = loga  x  (0<a<1)

（4）学生相互补充，自主发现了图象的下列特征：①图象都在y轴右侧，向y轴正负方向无限延伸；②都过（1、0）点；③当a>1时，图象沿x轴正向逐步上升；当0<a<1时，图象沿x轴正向逐步下降；④图象关于原点和y轴不对称，并且能从图象的形状、位置、升降、定点等角度指出指数函数与对数函数的图象区别；如图:

3．拓展探究：

（1）对数函数  与  、  与  的图象有怎样的对称关系？

（2）对数函数y = loga x （a>1），当a值增大，图象的上升“程度”怎样？

说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充学生对对数函数图象感性认识就比较全面。

（三）理性认识、发现性质.

1．确定探究问题.

   教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函数的性质，提高我们对对数函数的理性认识。同学们，通常研究函数的性质有哪些途径？

学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。

教师：现在，请同学们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图象特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质

2．学生探究成果.

      在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格：

函     数

y = loga x  （a>1）

y = loga x  (0<a<1)

图    像

定义域

R+

R+

值  域

R

R

单调性

在（0，+  ）上是增函数

在（0，+  ）上是减函数

过定点

（1，0）即x=1，y=0

（1，0）即x=1，y=0

取值范围

0<x<1时，y<0

  x>1时，y>0

0<x<1时，y>0

  x>1时，y<0

（四）探究问题、变式训练.

  例2：比较下列各组数中两个值的大小：

(1) log 23.4 , log 28.5       （2）log 0.31.8 , log 0.32.7

      独立思考：1.构造怎样的对数函数模型？2.运用怎样的函数性质？

小组交流：（1） 是增函数 （2）y=log0.3x 是减函数            

变式训练：1. 比较下列各题中两个值的大小:

⑴ log106       log108  　　 ⑵ log0.56        log0.54
         ⑶ log0.10.5        log0.10.6   ⑷ log1.50.6       log1.50.4

2．已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：

         (1) log 3 m < log 3 n       (2) log 0.3 m > log 0.3 n

         (3) log a m < loga n  (0<a<1)  (4) log a m > log a n  (a>1)

（五）归纳小结、巩固新知.

1．议一议：（1）怎样的函数称为对数函数？

（2）对数函数的图象形状与底数有什么样的关系？

（3）对数函数有怎样的性质？

2．看一看：对数函数的图象特征和相关性质。

对数函数的图象特征

对数函数的相关性质

函数图象都在y轴右侧

函数的定义域为（0，＋∞）

图象关于原点和y轴不对称

非奇非偶函数

向y轴正负方向无限延伸

函数的值域为R

函数图象都过定点（1，0）

自左向右看，

图象逐渐上升

自左向右看，

图象逐渐下降

增函数

减函数

第一象限的图象纵坐标都大于0

第一象限的图象纵坐标都大于0

第二象限的图象纵坐标都小于0

第二象限的图象纵坐标都小于0

（六）布置作业。

（七）教学反思。

函数内容是学生学习上的一个难点，本节课的教学设计能通过实例，渗透数学方法和思想，与指数函数的类比学习，注重学生探究学习的过程。能够根据教学内容、学生的认知规律和教学设计的情意原则、过程原则进行设计，突出教师的指导和学生自主探究、合作交流的学习理念，使学生对概念的产生、图象的形成过程有了较深入的理解。通过对对数函数的图象和性质的研究，对底数a的分类讨论，以达到突破难点的目的。通过例题的分析和讲解、学生的练习，使函数的图象和性质得到初步应用。活动八补充的思考题是让层度较好的同学去完成，如果课堂时间不允许，可将此部份内容留给学生课后去完成。