2.3.1 幂函数教学设计(教案)

2.3.1　幂函数 高中数学       人教A版2003课标版

教学目标：

知识与技能：

1.通过实例认识并给幂函数下定义，体会幂函数与指数函数的区别；

2.通过五个具体幂函数认识幂函数的图象和一些性质，并能进行简单的应用． 

过程与方法：

能够类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．

情感、态度价值观：

1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法；

2.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.

通过前面的学习，大部分学生已经掌握了指数函数和对数函数的基本内容和研究函数的基本方法,但对函数掌握仍有畏难情绪，希望在本节课中，通过教师的适当引导，降低问题的难度，让每一个学生都能够积极、主动的参与，成为课堂的主体，从而轻松的完成学习任务. 由于幂函数五种形式比较复杂，学生在对图象共性的归纳与概括方面可能遇到困难．本节课是幂函数的第一课时，只要求学生认识幂函数概念，会作这五个具体幂函数的图象和了解幂函数的一些性质会简单应用即可.

教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的概念和一些性质．

教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质．

一、创设情景:

前面我们学习了函数定义，研究了函数的基本性质，并且研究了指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.

我们知道对于N＝ab，如果a一定，N随b的变化而变化，我们建立了指数函数y＝ax；如果a一定，b随N的变化而变化，我们建立了对数函数y＝logax.设想：如果b一定，N随a的变化而变化，是不是也应该可以确定一个函数呢？

请大家看如下几个具体问题：

1.如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；

2.如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；

3.如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V＝a3，这里V是a的函数；

4.如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝ ，这里a是S的函数；

5.如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝t－1 km/s，这里v是t的函数．

请将以上五个具体问题表示成y 关于x的函数.

（板书： ）

思考：

1．以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？

2．这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？

二、探究新知：

1、幂函数的概念

幂函数：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数（power fun_ction），其中 是自变量， 是常数.请同学们举出一个具体的幂函数．

课堂练习：1．指出下列函数中的幂函数.

2.已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则f(4)的值等于 (　　)

A．16                B．                 C．2              D.

2、幂函数与指数函数有什么区别？

结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：

幂函数——底数是自变量、指数是常数.

指数函数——指数是自变量、底数是常数.

3、几个常见幂函数的图象和性质

（1）请同学们在同一坐标系内画出幂函数 、 、 、 、 的图象.（ 引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性）

（2）合作探究：观察函数 、 、 、 、 的图象，将发现的结论填入课本P78中的表格内.

定义域

值域

奇偶性

单调性

公共点

（3）合作探究：

根据上表内容并结合图象，你能从这五个具体的函数图象中，发现什么规律？

1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

2） 是奇函数， 是偶函数；

3）在区间（0，+∞）上函数 是增函数， 是减函数；

4）在第一象限中，函数 的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．

三、例题讲解：

例1、比较下列两个幂值的大小：

课堂练习：

3.比较下列两个代数式值的大小：

4.设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为  (　　)

A．1,3               B．－1,1              C．－1,3          D．－1,1,3

思考与讨论:

利用图形计算器或计算机探索一般幂函数 的图象随 的变化规律．

四、课堂小结，深化所学：

今天我们学习了哪些内容？你有哪些收获和经验？

1．幂函数的概念及其指数函数表达式的区别；

2．常见幂函数的图象和幂函数的性质；

3．幂值的大小比较方法.

五、课后作业：

1．课本P79习题2.3  第2、3题；

2．P82复习题A组第10题．

2.3.1　幂函数

2.3.1　幂函数

一、创设情景:

前面我们学习了函数定义，研究了函数的基本性质，并且研究了指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.

我们知道对于N＝ab，如果a一定，N随b的变化而变化，我们建立了指数函数y＝ax；如果a一定，b随N的变化而变化，我们建立了对数函数y＝logax.设想：如果b一定，N随a的变化而变化，是不是也应该可以确定一个函数呢？

请大家看如下几个具体问题：

1.如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；

2.如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；

3.如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V＝a3，这里V是a的函数；

4.如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝ ，这里a是S的函数；

5.如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝t－1 km/s，这里v是t的函数．

请将以上五个具体问题表示成y 关于x的函数.

（板书： ）

思考：

1．以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？

2．这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？

二、探究新知：

1、幂函数的概念

幂函数：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数（power fun_ction），其中 是自变量， 是常数.请同学们举出一个具体的幂函数．

课堂练习：1．指出下列函数中的幂函数.

2.已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则f(4)的值等于 (　　)

A．16                B．                 C．2              D.

2、幂函数与指数函数有什么区别？

结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：

幂函数——底数是自变量、指数是常数.

指数函数——指数是自变量、底数是常数.

3、几个常见幂函数的图象和性质

（1）请同学们在同一坐标系内画出幂函数 、 、 、 、 的图象.（ 引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性）

（2）合作探究：观察函数 、 、 、 、 的图象，将发现的结论填入课本P78中的表格内.

定义域

值域

奇偶性

单调性

公共点

（3）合作探究：

根据上表内容并结合图象，你能从这五个具体的函数图象中，发现什么规律？

1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

2） 是奇函数， 是偶函数；

3）在区间（0，+∞）上函数 是增函数， 是减函数；

4）在第一象限中，函数 的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．

三、例题讲解：

例1、比较下列两个幂值的大小：

课堂练习：

3.比较下列两个代数式值的大小：

4.设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为  (　　)

A．1,3               B．－1,1              C．－1,3          D．－1,1,3

思考与讨论:

利用图形计算器或计算机探索一般幂函数 的图象随 的变化规律．

四、课堂小结，深化所学：

今天我们学习了哪些内容？你有哪些收获和经验？

1．幂函数的概念及其指数函数表达式的区别；

2．常见幂函数的图象和幂函数的性质；

3．幂值的大小比较方法.

五、课后作业：

1．课本P79习题2.3  第2、3题；

2．P82复习题A组第10题．