1.3.1 单调性与最大（小）值教案设计

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

掌握利用导数判断函数单调性的方法；

掌握函数极值的概念，求函数极值方法。

教学重点：

利用导数判断函数单调性；求函数的极值。

教学难点：

利用导数判断函数单调性；求函数的极值。

教学过程：

一 引入：

以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)<f(x2)与的大小，在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.

二 新课讲授

 1 函数单调性

   我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数 的图像可以看到：在区间（2， ）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即 >0时，函数y=f(x) 在区间（2， ）内为增函数；在区间（ ，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即 0时，函数y=f(x) 在区间（ ，2）内为减函数.

定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内 >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内 <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。

例1 确定函数 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

y

例2 确定函数 的单调区间。

 2 极大值与极小值

观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。

一般地，设函数y=f(x)在 及其附近有定义，如果 的值比 附近所有各点的函数值都大，我们说f( )是函数y=f(x)的一个极大值；如果 的值比 附近所有各点的函数值都小，我们说f( )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：

（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值点， 是极小值点，而 > 。

（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有 。但反过来不一定。如函数 ，在 处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设 使 ，那么 在什么情况下是的极值点呢？

如上左图所示，若 是 的极大值点，则 两侧附近点的函数值必须小于 。因此， 的左侧附近 只能是增函数，即 。 的右侧附近 只能是减函数，即 ，同理，如上右图所示，若 是极小值点，则在 的左侧附近 只能是减函数，即 ，在 的右侧附近 只能是增函数，即 ，从而我们得出结论：若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值点， 是极值，并且如果 在 两侧满足“左正右负”，则 是 的极大值点， 是极大值；如果 在 两侧满足“左负右正”，则 是 的极小值点， 是极小值。

例3 求函数 的极值。

三 小结

1求极值常按如下步骤：

① 确定函数的定义域；

② 求导数；

③ 求方程 =0的根，这些根也称为可能极值点；

④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

教学过程：

一 引入：

以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)<f(x2)与的大小，在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.

二 新课讲授

 1 函数单调性

   我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数 的图像可以看到：在区间（2， ）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即 >0时，函数y=f(x) 在区间（2， ）内为增函数；在区间（ ，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即 0时，函数y=f(x) 在区间（ ，2）内为减函数.

定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内 >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内 <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。

例1 确定函数 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

y

例2 确定函数 的单调区间。

 2 极大值与极小值

观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。

一般地，设函数y=f(x)在 及其附近有定义，如果 的值比 附近所有各点的函数值都大，我们说f( )是函数y=f(x)的一个极大值；如果 的值比 附近所有各点的函数值都小，我们说f( )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：

（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值点， 是极小值点，而 > 。

（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有 。但反过来不一定。如函数 ，在 处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设 使 ，那么 在什么情况下是的极值点呢？

如上左图所示，若 是 的极大值点，则 两侧附近点的函数值必须小于 。因此， 的左侧附近 只能是增函数，即 。 的右侧附近 只能是减函数，即 ，同理，如上右图所示，若 是极小值点，则在 的左侧附近 只能是减函数，即 ，在 的右侧附近 只能是增函数，即 ，从而我们得出结论：若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值点， 是极值，并且如果 在 两侧满足“左正右负”，则 是 的极大值点， 是极大值；如果 在 两侧满足“左负右正”，则 是 的极小值点， 是极小值。

例3 求函数 的极值。

三 小结

1求极值常按如下步骤：

① 确定函数的定义域；

② 求导数；

③ 求方程 =0的根，这些根也称为可能极值点；

④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)