1.3.1 单调性与最大（小）值第二课时教学实录

日期:2015-12-25 17:23 阅读:

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1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学人教A版2003课标版

1新设计 2学情分析 3重点难点 4教学过程 4.1 第一学时 教学活动 活动1【导入】函数的单调性

【课前导学】

（I）复习回顾

1．函数单调性的概念；

2．函数单调性的判定．

（II）问题情境

通过观察二次函数和的最高点和最低点引出函数最值的概念．

活动2【活动】一．建构数学

1．函数最大值与最小值的含义

一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（1）对于任意的，都有；

（2）存在，使得．

那么，我们称是函数的最大值（maximum value）.

思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值（minimum value）的定义吗？

2．二次函数在给定区间上的最值

对二次函数来说，若给定区间是，则当时，函数有最小值是，当时，函数有最大值是；若给定区间是，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值．

活动3【讲授】二．应用数学：

例1 求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．

【思路分析】先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值．

【变式】若区间为呢？

例2 已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-1)<f(x2-1),求x的取值范围．

解：由f(x-1)<f(x2-1)及f(x)的定义域．增减性，可得到不等式组：

解1)令x=1,f(y)=f(1)+f(y),∴f(1)=0

∵f(x)是R+上的减函数

例4 如果二次函数f(x)=x -(a-1)x+5 在区间上是单调增函数，求f(2)的取值范围．

解：f(x)是开口向上的抛物线且f(x) 在区间上是单调增函数，

f(2)=4-2(a-1)+5=11-2a

例5 已知函数y=f(x)在R上是增函数，求证：若y=g(x)在(a,b)上是增函数，则函数y=f[g(x)]在(a,b)上也是增函数．

证明：设u=g(x),任取a<x <x <b,

u=g(x)在(a,b)上是增函数,∴u <u ，

又y=f(x)在R上是增函数,∴f(u )<f(u )，

即f[g(x )]<f[g(x )]．

所以函数y=f[g(x)]在(a,b)上也是增函数．

【解后反思】研究复合函数的单调性应首先弄清所给函数是由哪些基本函数复合而成,然后根据“同增异减”法则作出判断．

内层函数u=g(x)	外层函数y=f(u)	复合函数y=f[g(x)]
增	增	增
增	减	减
减	增	减
减	减	增

例6 已知f(x)=x +x (x∈R) ．

1)判断f(x)在R上的单调性，并证明；

2)求证:满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个．

解1)设x <x ,f(x )-f(x )=(x -x )+(x -x )

=(x -x )(x +x x +x +1)

，所以f(x)是增函数．

2)假设有两个x =a，x =a且x ≠x ，

因为f(x)是增函数,所以f(x )≠f(x )，

这与f(x )=f(a)=f(x )矛盾．

所以满足f(x)=a的实数x至多只有一个．

【解后反思】“至多、至少”类、否定类命题常用反证法证明！

活动4【练习】三．理解数学：

1．函数y=f(x)在R上单调递增，且f(m )>f(1-m),则实数m的取值范围是．

2．函数y=3x -ax+5在[-1,+∞)上是增函数，则a的取值范围是_(-∞,-6] ．

3．函数的最大值为　　　　　.

4．求函数在下列各区间上的最值：

（1）（2）[1，4] （3）（4）（5）

活动5【测试】【课后提升】

1．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与的大小关系是　　　　小于等于　　．

2．判断函数f(x)= -x在定义域内单调性 活动6【作业】作业

1．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y) ．

（1）求f(0)．f(1)的值；

（2）若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．

2．已知二次函数在上有最大值4，求实数的值．

1.3.1　单调性与最大（小）值

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