1.3.1 单调性与最大（小）值教学设计第二课时

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

(1)使学生理解函数单调性的概念，并能掌握判断和证明某些函数的单调性的方法；、

(2)通过单调性概念教学，培养学生的抽象概括能力，通过例题讲解，培养学生的逻辑思维能力； 

(3)理解函数的最大（小）值及其几何意义；

(4)学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

《函数的单调性与最大(小)值》既是函数概念的延续 和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．

重点：形成增（减）函数的形式化定义；函数的最大（小）值及其几何意义．

难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性;利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

知识与技能:使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．   

过程与方法:启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力．

情感态度与价值观:通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识；通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的思想教育．

函数单调性的概念和判断

利用函数单调性的定义或者函数的图象判断函数的单调性.

1.已知函数f(x)=2x+1，计算下列各值，并观察x的变化有何规律?相应的f(x)的变化有何规律?

                                          f(-3)=  f(-2)=   f(-1)=   f(0)=  f(1)=   f(2)=

     思考:仅仅是对这几组数有这个规律,还是对其它的数也有这个规律？

     发现：函数值随着自变量的增大而增大

     思考:如何定义增函数？

     增函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁，x₂ ，当 x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂) ，那么就说函数f(x) 在区间D上是单调递增函数。

2.类比:已知函数f(x)=-2x+1，计算下列各值，并观察x的变化有何规律?相应的f(x)的变化有何规律?

                                           f(-3)=  f(-2)=   f(-1)=   f(0)=  f(1)=   f(2)=

      思考:仅仅是对这几组数有这个规律,还是对其它的数也有这个规律？

      发现：函数值随着自变量x的增大而减小

      思考:如何定义减函数？

      减函数的定义：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x_1，x₂ ,当x₁<x₂ 时，都有f(x₁)>f(x₂) ，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。

     注:(1)x_1，x₂ 三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定x₁<x₂ ；

         (2)相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。

      思考:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x₁、x₂的值,若当x₁>x₂时,都有f(x₁)<f(x₂) ,则函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？

3.单调性与单调区间：若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

   几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

1.已知函数f(x)=2x+1，计算下列各值，并观察x的变化有何规律?相应的f(x)的变化有何规律?

                                          f(-3)=  f(-2)=   f(-1)=   f(0)=  f(1)=   f(2)=

     思考:仅仅是对这几组数有这个规律,还是对其它的数也有这个规律？

     发现：函数值随着自变量的增大而增大

     思考:如何定义增函数？

     增函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁，x₂ ，当 x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂) ，那么就说函数f(x) 在区间D上是单调递增函数。

2.类比:已知函数f(x)=-2x+1，计算下列各值，并观察x的变化有何规律?相应的f(x)的变化有何规律?

                                           f(-3)=  f(-2)=   f(-1)=   f(0)=  f(1)=   f(2)=

      思考:仅仅是对这几组数有这个规律,还是对其它的数也有这个规律？

      发现：函数值随着自变量x的增大而减小

      思考:如何定义减函数？

      减函数的定义：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x_1，x₂ ,当x₁<x₂ 时，都有f(x₁)>f(x₂) ，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。

     注:(1)x_1，x₂ 三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定x₁<x₂ ；

         (2)相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。

      思考:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x₁、x₂的值,若当x₁>x₂时,都有f(x₁)<f(x₂) ,则函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？

3.单调性与单调区间：若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

   几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

例1：分析本节课本上的例题1：定义在[－5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数。

例2：分析下列函数的单调性

    （1）y= |x|              （2）y=1x  (x≠ 0)

例3：证明函数f(x)=3x+2 在R上是增函数。

分析：1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？

           2：如何用定义法判定函数单调性？

           3：用定义判定函数单调性的关键是什么？

总结定义法证明函数单调性的步骤：

    (1)取值:设任意x_1,x₂ 属于给定区间，且x₁<x₂ ；

    (2)作差变形:f(x₁)-f(x₂) 变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；

    (3)定号:确定f(x₁)-f(x₂)的正负号；

    (4)下结论:由定义得出函数的单调性。

思考题：在上面证明中，你能理解x₁,x₂的任意性的意义吗？

解：有了“任意性”在区间内不管取哪两个值，其证明过程都是一样的。

证明函数1x  在（0，+∞）上为减函数。

1、函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质.

2、判断函数单调性的方法：

  （1）利用图象： 在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的，减函数图象是下降的.

  （2）利用定义： 用定义证明函数单调性的一般步骤：

                             任意取值→作差变形→判断符号→ 得出结论.

(1)使学生理解函数最大（小）值及其几何意义；

(2)使学生掌握函数最值与函数单调性的关系；

(3)使学生掌握一些单调函数在给定区间上的最值的求法； 

(4)培养学生数形结合、辩证思维的能力； 

(5)养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯

函数最值的含义及其几何意义

单调函数最值的求法

1.画出并观察下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：

         （1）f(x)=-2x+3 ,x∈ [0,3]       （2）f(x)=-x²-2x+1

    思考：(1)说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

              (2)指出图象的最高点或最低点，你是如何理解函数图象最高点的？

 2.最大值定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

       （1）对于任意的x∈I，都有f(x) ≤M；

       （2）存在x₀∈ I,使得f(x₀)=M.

    那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）

3.最小值：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

      （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；

      （2）存在x₀∈I,使得f(x₀)=M.

   那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimum value）

注意：（1）.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x₀∈I，使得f (x₀) = M；

           （2）函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f (x)≥M）．

          （3）.最大值和最小值统称为最值。

 1.画出并观察下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：

         （1）f(x)=-2x+3 ,x∈ [0,3]       （2）f(x)=-x²-2x+1

    思考：(1)说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

              (2)指出图象的最高点或最低点，你是如何理解函数图象最高点的？

 2.最大值定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

       （1）对于任意的x∈I，都有f(x) ≤M；

       （2）存在x₀∈ I,使得f(x₀)=M.

    那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）

3.最小值：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

      （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；

      （2）存在x₀∈I,使得f(x₀)=M.

   那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimum value）

注意：（1）.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x₀∈I，使得f (x₀) = M；

           （2）函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f (x)≥M）．

          （3）.最大值和最小值统称为最值。

      例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h米与时间t秒之间的关系为h(t )=-4.9t²+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1米）？

      活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)=-4.9t²+14.7t+18取得最大值；“这时距地面的高度是多少（精确到1 m）”就是函数h(t)=-4.9t²+14.7t+18的最大值；转化为求函数h(t)=-4.9t²+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值.

     点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.

     注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.

     例2 已知函数f(x)=2x−1   (x∈ ［2,6］),求函数的最大值和最小值。

     活动：先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=2x−1   的图象，只取在区间［2，6］上的部分.观察可得函数的图象是上升的.

     注意：判断函数的最大(小)值的方法 

            1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 

            2. 利用图象求函数的最大(小)值 

            3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 

      如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ； 

      如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)

例3写出函数 y=3x²+2x+1的单调区间，并求出最值。

例4求下列函数的最小值

      (1)f(x)=x²−2x+2x  (0<x≤ 14  )

      (2)f(x)=x²-2ax+2   x∈ [-1，1]

1.函数最值的含义

2.单调函数最值的求法

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

知识与技能:使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．   

过程与方法:启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力．

情感态度与价值观:通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识；通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的思想教育．

函数单调性的概念和判断

利用函数单调性的定义或者函数的图象判断函数的单调性.

1.已知函数f(x)=2x+1，计算下列各值，并观察x的变化有何规律?相应的f(x)的变化有何规律?

                                          f(-3)=  f(-2)=   f(-1)=   f(0)=  f(1)=   f(2)=

     思考:仅仅是对这几组数有这个规律,还是对其它的数也有这个规律？

     发现：函数值随着自变量的增大而增大

     思考:如何定义增函数？

     增函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁，x₂ ，当 x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂) ，那么就说函数f(x) 在区间D上是单调递增函数。

2.类比:已知函数f(x)=-2x+1，计算下列各值，并观察x的变化有何规律?相应的f(x)的变化有何规律?

                                           f(-3)=  f(-2)=   f(-1)=   f(0)=  f(1)=   f(2)=

      思考:仅仅是对这几组数有这个规律,还是对其它的数也有这个规律？

      发现：函数值随着自变量x的增大而减小

      思考:如何定义减函数？

      减函数的定义：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x_1，x₂ ,当x₁<x₂ 时，都有f(x₁)>f(x₂) ，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。

     注:(1)x_1，x₂ 三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定x₁<x₂ ；

         (2)相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。

      思考:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x₁、x₂的值,若当x₁>x₂时,都有f(x₁)<f(x₂) ,则函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？

3.单调性与单调区间：若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

   几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

1.已知函数f(x)=2x+1，计算下列各值，并观察x的变化有何规律?相应的f(x)的变化有何规律?

                                          f(-3)=  f(-2)=   f(-1)=   f(0)=  f(1)=   f(2)=

     思考:仅仅是对这几组数有这个规律,还是对其它的数也有这个规律？

     发现：函数值随着自变量的增大而增大

     思考:如何定义增函数？

     增函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁，x₂ ，当 x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂) ，那么就说函数f(x) 在区间D上是单调递增函数。

2.类比:已知函数f(x)=-2x+1，计算下列各值，并观察x的变化有何规律?相应的f(x)的变化有何规律?

                                           f(-3)=  f(-2)=   f(-1)=   f(0)=  f(1)=   f(2)=

      思考:仅仅是对这几组数有这个规律,还是对其它的数也有这个规律？

      发现：函数值随着自变量x的增大而减小

      思考:如何定义减函数？

      减函数的定义：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x_1，x₂ ,当x₁<x₂ 时，都有f(x₁)>f(x₂) ，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。

     注:(1)x_1，x₂ 三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定x₁<x₂ ；

         (2)相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。

      思考:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x₁、x₂的值,若当x₁>x₂时,都有f(x₁)<f(x₂) ,则函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？

3.单调性与单调区间：若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

   几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

例1：分析本节课本上的例题1：定义在[－5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数。

例2：分析下列函数的单调性

    （1）y= |x|              （2）y=1x  (x≠ 0)

例3：证明函数f(x)=3x+2 在R上是增函数。

分析：1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？

           2：如何用定义法判定函数单调性？

           3：用定义判定函数单调性的关键是什么？

总结定义法证明函数单调性的步骤：

    (1)取值:设任意x_1,x₂ 属于给定区间，且x₁<x₂ ；

    (2)作差变形:f(x₁)-f(x₂) 变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；

    (3)定号:确定f(x₁)-f(x₂)的正负号；

    (4)下结论:由定义得出函数的单调性。

思考题：在上面证明中，你能理解x₁,x₂的任意性的意义吗？

解：有了“任意性”在区间内不管取哪两个值，其证明过程都是一样的。

证明函数1x  在（0，+∞）上为减函数。

1、函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质.

2、判断函数单调性的方法：

  （1）利用图象： 在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的，减函数图象是下降的.

  （2）利用定义： 用定义证明函数单调性的一般步骤：

                             任意取值→作差变形→判断符号→ 得出结论.