1.3.1 单调性与最大（小）值第二课时教学实录

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

知识与技能：从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法步骤。

过程与方法：通过观察函数图象的变化趋势——上升或下降，初步体会函数单调性，然后数形结合，让学生尝试归纳函数单调性的定义，并能利用图像及定义解决单调性的证明。

情感、态度与价值观：在对函数单调性的学习过程中，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，增强学生由现象猜想结论的能力。

（1）知识基础

高一学生已学习了函数的概念等知识，并且接触了一些特殊的单调函数。

（2）认知水平与能力

高一学生已初步具有数形结合思维能力，能在教师的引导下解决问题。

（3）任教班级学生特点

学生基础较差、思维不是很活跃，不能较好地应用数形结合解决问题，归纳转化的能力还有待进一步提高，观察讨论能力有待加强。

重点：函数单调性的概念、判断。

难点：根据定义证明函数的单调性。

1.德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：

时间间隔     t

刚记忆完毕

20分钟后

60分钟后

8-9

小时后

1天后

2天后

6天后

一个月后

记忆量y

(百分比)

100

58.2

44.2

35.8

33.7

27.8

25.4

21.1

1

2

3

t

y

o

20

40

60

80

100

以上数据表明，记忆量y是时间        

间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这         

些数据描绘出了著名的“艾宾浩          

斯遗忘曲线”,如图.

思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y

有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待

刚学过的知识?

思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，

我们如何用数学观点进行解释？

一、创设情境，引入新课

1.德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：

时间间隔     t

刚记忆完毕

20分钟后

60分钟后

8-9

小时后

1天后

2天后

6天后

一个月后

记忆量y

(百分比)

100

58.2

44.2

35.8

33.7

27.8

25.4

21.1

1

2

3

t

y

o

20

40

60

80

100

以上数据表明，记忆量y是时间        

间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这         

些数据描绘出了著名的“艾宾浩          

斯遗忘曲线”,如图.

思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y

有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待

刚学过的知识?

思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，

我们如何用数学观点进行解释？

1.考察下列两个函数:

（1）   ；           (2)

y

x

o

x

y

o

思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？

思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？

思考3:如图为函数 在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当 时 ，f(x1) 与        f(x2) 的大小关系如何？

x

y

o

x1

x2

思考4:我们把具有上述特点的函数f(x)称为增函数，那么怎样定义“函数 在区间D上是增函数”？

 如果对于定义域上某个区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增数；

2. 考察下列两个函数:

（1）   ；           (2)  

x

y

o

x

o

y

思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何                 共同特征？

思考2:我们把具有上述特点的函数称为减函数，那么怎样定义“函数 在区间D上是减函数”？

x

y

o

x1

x2

如果对于定义域上某个区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是减函数。

思考3:对于函数 定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值，若当    x1 >x2     时，都有  f(x1) <f(x2) ,则函数 在区间D上是增函数还是减函数？   

思考4：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数  f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数 的

单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？函数     的单调区间如何？

例1 如图是定义在闭区间[-5，6]上的函数的图象，根据图象说出函数 的单调区间，以及在每一单调区间上，函函数还是减函数.

-5

-3

1

3

6

o

x

y

【例2】物理学中的玻意耳定律 （ 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积 减小时，压强 将增大。试用函数的单调性证明之。

利用定义确定或证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性

1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2；                       

2.作差:f(x1)－f(x2)；                                       3.变形:通常是因式分解和配方;                  

4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负;                      

5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.

教科书第39页习题1.3 A组第1、2题

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：

时间间隔     t

刚记忆完毕

20分钟后

60分钟后

8-9

小时后

1天后

2天后

6天后

一个月后

记忆量y

(百分比)

100

58.2

44.2

35.8

33.7

27.8

25.4

21.1

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t

y

o

20

40

60

80

100

以上数据表明，记忆量y是时间        

间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这         

些数据描绘出了著名的“艾宾浩          

斯遗忘曲线”,如图.

思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y

有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待

刚学过的知识?

思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，

我们如何用数学观点进行解释？

一、创设情境，引入新课

1.德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：

时间间隔     t

刚记忆完毕

20分钟后

60分钟后

8-9

小时后

1天后

2天后

6天后

一个月后

记忆量y

(百分比)

100

58.2

44.2

35.8

33.7

27.8

25.4

21.1

1

2

3

t

y

o

20

40

60

80

100

以上数据表明，记忆量y是时间        

间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这         

些数据描绘出了著名的“艾宾浩          

斯遗忘曲线”,如图.

思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y

有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待

刚学过的知识?

思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，

我们如何用数学观点进行解释？

1.考察下列两个函数:

（1）   ；           (2)

y

x

o

x

y

o

思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？

思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？

思考3:如图为函数 在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当 时 ，f(x1) 与        f(x2) 的大小关系如何？

x

y

o

x1

x2

思考4:我们把具有上述特点的函数f(x)称为增函数，那么怎样定义“函数 在区间D上是增函数”？

 如果对于定义域上某个区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增数；

2. 考察下列两个函数:

（1）   ；           (2)  

x

y

o

x

o

y

思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何                 共同特征？

思考2:我们把具有上述特点的函数称为减函数，那么怎样定义“函数 在区间D上是减函数”？

x

y

o

x1

x2

如果对于定义域上某个区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是减函数。

思考3:对于函数 定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值，若当    x1 >x2     时，都有  f(x1) <f(x2) ,则函数 在区间D上是增函数还是减函数？   

思考4：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数  f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数 的

单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？函数     的单调区间如何？

例1 如图是定义在闭区间[-5，6]上的函数的图象，根据图象说出函数 的单调区间，以及在每一单调区间上，函函数还是减函数.

-5

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1

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o

x

y

【例2】物理学中的玻意耳定律 （ 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积 减小时，压强 将增大。试用函数的单调性证明之。

利用定义确定或证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性

1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2；                       

2.作差:f(x1)－f(x2)；                                       3.变形:通常是因式分解和配方;                  

4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负;                      

5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.

教科书第39页习题1.3 A组第1、2题