1.2.1 函数的概念名师教学设计2

1.2.1　函数的概念 高中数学       人教A版2003课标版

1、知识与技能：

    能用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．了解构成函数的要素

2、情感.态度和价值观

(1)通过学习函数概念，培养学生观察问题，提出问题的探究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力，发展数学应用意识.

(2)在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律；由函数所揭示的因果关系，培养学生的辨证思想.

学生参差不齐，基础薄弱，抽象思维一般，所以在讲函数概念时需要积极引导，将抽象函数具体化，让学生从不同角度理解函数概念。

重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；

难点：符号“y=f(x)”的含义，函数三要素的理解；

（一）创设情景，揭示课题：

1.复习回顾：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？

设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.

初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等

初中已学习过函数的概念，函数的概念从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系. 本节将进一步学习函数及其构成要素.

2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

提问：你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间t的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h的变化范围是什么？

炮弹飞行时间t的变化范围是数集 ，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集 .

从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系h=130t-5t²,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应，满足函数定义，应为函数。发现解析式可以用来刻画函数。

对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（﹡），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.

发现解析式可以用来刻画函数。

（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

提出问题： 观察分析图中曲线，时间t的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.

根据图中曲线可知，时间t的变化范围是数集 ，臭氧层空洞面积s的变化范围是数集 .

引导学生看图启发，从图中明显得知，对于数集A中的每一个时刻t都对应t时刻时曲线在该点的纵坐标。即在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积s与之对应，满足函数定义，也应为函数。发现图像也可以来刻画函数。

对于数集A中的任意一个时间t，按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.

（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题

提出问题：恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.

根据上表，可知时间t的变化范围是数集 ，恩格尔系数y的变化范围是数集 .

学生探讨交流发现，对于表格中的任意一个时间t都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，即在数集A中的任意一个时间t在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，满足函数定义，应为函数。发现表格也可以用来刻画函数。

教师及时提问：这三个实例的不同点和共同点是什么？

对于数集A中的任意一个时间t，根据表1，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数y和它对应.

（二）．问题探讨，归纳概括

1.以上三个实例有什么不同点和共同点？

活动：让学生分小组讨论交流，请小组代表汇报讨论结果.

归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.

其共同点是：①都有两个非空数集A，B；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应. 记作  

引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，

2.你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？

活动：让学生分组讨论交流，讨论归纳出：

    函数的概念:

一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数，记作

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域.

显然，值域是集合B的子集.

引导学生深刻体会定义的要点和所满足的条件

强调：①函数首先是两个数集之间建立的对应. 函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.

②对于x的每一个值，按照某种确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应，这种对应应为数与数之间的一一对应或多一对应

③认真理解ｙ﹦ｆ（ｘ）的含义：f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，ｙ﹦ｆ（ｘ）是一个整体，绝对不能理解为f与x的乘积.在不同的函数中f的具体含义不同，由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x),F(x)等表示．

思考：这个函数的定义与以往的函数定义有何区别和联系

引导学生思考，提高分析问题解决问题的能力

这两种定义实质上是一致的，即它们的定义域和值域的意义完全相同，对应关系本质也一样，只不过叙述的出发点不同，初中给出的定义是从运动变化的观点出发，其中对应关系是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数y对应起来；高中给出的定义是从集合对应的观点出发，其中的对应关系是将A集合中的任一元素与B集合中的唯一确定的元素对应起来，这样定义逃脱了物理运动的束缚，更加完美。

教师再及时引导，既然函数是一个整体，那构成函数定义有几个要素分别是什么？问题清晰，学生马上给出解答。

④函数的三要素：定义域，值域和对应法则

对应法则 、定义域A、值域

  （三）新知演练 及时反馈

1．A,已知 = +3x+1  求:(1)f(2)；  (2) 的值域

总结：数 :定义域R

值域：当 时， ；当 时，

B,探讨反比例函数的定义域，值域。

2. 思考辨析：

(1) (x R)是函数吗？

(2) 是函数吗？

(3) 是函数吗？

3．练习反馈

下列图像中不能作为函数y=f(x)图像的是（ B ）

x

y

O

x

y

O

x

y

O

A

B

C

D

4.学生作答P19  1

（四）、提炼总结 分享收获

1. 本节课探讨了用集合和对应的语言描述函数的概念，并引进了函数符号y=f(x).

2. 突出了函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.

3．明确了构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

（五）、布置作业

课本P24 习题1.2   1、3、4

1.2.1　函数的概念

1.2.1　函数的概念

（一）创设情景，揭示课题：

1.复习回顾：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？

设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.

初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等

初中已学习过函数的概念，函数的概念从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系. 本节将进一步学习函数及其构成要素.

2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

提问：你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间t的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h的变化范围是什么？

炮弹飞行时间t的变化范围是数集 ，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集 .

从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系h=130t-5t²,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应，满足函数定义，应为函数。发现解析式可以用来刻画函数。

对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（﹡），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.

发现解析式可以用来刻画函数。

（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

提出问题： 观察分析图中曲线，时间t的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.

根据图中曲线可知，时间t的变化范围是数集 ，臭氧层空洞面积s的变化范围是数集 .

引导学生看图启发，从图中明显得知，对于数集A中的每一个时刻t都对应t时刻时曲线在该点的纵坐标。即在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积s与之对应，满足函数定义，也应为函数。发现图像也可以来刻画函数。

对于数集A中的任意一个时间t，按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.

（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题

提出问题：恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.

根据上表，可知时间t的变化范围是数集 ，恩格尔系数y的变化范围是数集 .

学生探讨交流发现，对于表格中的任意一个时间t都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，即在数集A中的任意一个时间t在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，满足函数定义，应为函数。发现表格也可以用来刻画函数。

教师及时提问：这三个实例的不同点和共同点是什么？

对于数集A中的任意一个时间t，根据表1，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数y和它对应.

（二）．问题探讨，归纳概括

1.以上三个实例有什么不同点和共同点？

活动：让学生分小组讨论交流，请小组代表汇报讨论结果.

归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.

其共同点是：①都有两个非空数集A，B；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应. 记作  

引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，

2.你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？

活动：让学生分组讨论交流，讨论归纳出：

    函数的概念:

一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数，记作

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域.

显然，值域是集合B的子集.

引导学生深刻体会定义的要点和所满足的条件

强调：①函数首先是两个数集之间建立的对应. 函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.

②对于x的每一个值，按照某种确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应，这种对应应为数与数之间的一一对应或多一对应

③认真理解ｙ﹦ｆ（ｘ）的含义：f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，ｙ﹦ｆ（ｘ）是一个整体，绝对不能理解为f与x的乘积.在不同的函数中f的具体含义不同，由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x),F(x)等表示．

思考：这个函数的定义与以往的函数定义有何区别和联系

引导学生思考，提高分析问题解决问题的能力

这两种定义实质上是一致的，即它们的定义域和值域的意义完全相同，对应关系本质也一样，只不过叙述的出发点不同，初中给出的定义是从运动变化的观点出发，其中对应关系是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数y对应起来；高中给出的定义是从集合对应的观点出发，其中的对应关系是将A集合中的任一元素与B集合中的唯一确定的元素对应起来，这样定义逃脱了物理运动的束缚，更加完美。

教师再及时引导，既然函数是一个整体，那构成函数定义有几个要素分别是什么？问题清晰，学生马上给出解答。

④函数的三要素：定义域，值域和对应法则

对应法则 、定义域A、值域

  （三）新知演练 及时反馈

1．A,已知 = +3x+1  求:(1)f(2)；  (2) 的值域

总结：数 :定义域R

值域：当 时， ；当 时，

B,探讨反比例函数的定义域，值域。

2. 思考辨析：

(1) (x R)是函数吗？

(2) 是函数吗？

(3) 是函数吗？

3．练习反馈

下列图像中不能作为函数y=f(x)图像的是（ B ）

x

y

O

x

y

O

x

y

O

A

B

C

D

4.学生作答P19  1

（四）、提炼总结 分享收获

1. 本节课探讨了用集合和对应的语言描述函数的概念，并引进了函数符号y=f(x).

2. 突出了函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.

3．明确了构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

（五）、布置作业

课本P24 习题1.2   1、3、4

• 优点:

  通过回顾初中所学函数概念和试举生活中两个变量的对应关系，而总结用集合描述函数概念的过程，使学生容易接受和理解，并安排学生探讨活动和理解思辨，使学生对函数能更充分地理解和认识。设计得好。

• 缺点:

  练习稍少了点