1.3.1 单调性与最大（小）值第一课时导学案

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

（一）知识目标： 
1．知识目标：理解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法；了解函数单调区间的概念，并能根据函数图象说出函数的单调区间。
2．能力目标：通过证明函数的单调性的学习，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会数学的归纳转化的思想方法，增加学生的知识联系，增强学生对知识的主动构建的能力。
3．情感目标：让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会成功的喜悦，以此激发求知欲望。领会用运动变化的观点去观察分析事物的方法。通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的思想教育。
（二）过程与方法
培养学生严密的逻辑思维能力以及用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质，通过函数的单调性的学习，掌握自变量和因变量的关系。通过多媒体手段激发学生学习兴趣，培养学生发现问题、分析问题和解题的逻辑推理能力。

        高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。从学生的认知结构来看，他们只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性，发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中注意加强. 

教学重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。明确单调性是一个局部概念.
教学难点：领会函数单调性的实质与应用，明确单调性是一个局部的概念

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

 1.随x的增大，y的值有什么变化？

2. 能否看出函数的最大、最小值？

3 函数图象是否具有某种对称性？

画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1.函数单调性定义

(1)．增函数

       一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

       如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数）．

探索思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）

注意：

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．或f(x1)>f(x2)  分别是增函数和减函数

(2)．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

       (3)．判断函数单调性的方法步骤

              利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

              1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；

              2 作差f(x1)－f(x2)；

3 变形（通常是因式分解和配方）；

4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．

解：（略）

（学生活动）巩固练习：课本P38练习第1、2题

例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．

解：（略）

（学生活动）巩固练习：

1 课本P38练习第3题；

       2 证明函数 在（1，+∞）上为增函数．

思考：画出反比例函数 的图象．

       1 这个函数的定义域是什么？

       2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

书面作业：课本P45 习题1．3（A组） 第1- 5题．
提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，

1 求f(0)、f(1)的值；

2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

 1.随x的增大，y的值有什么变化？

2. 能否看出函数的最大、最小值？

3 函数图象是否具有某种对称性？

画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1.函数单调性定义

(1)．增函数

       一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

       如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数）．

探索思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）

注意：

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．或f(x1)>f(x2)  分别是增函数和减函数

(2)．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

       (3)．判断函数单调性的方法步骤

              利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

              1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；

              2 作差f(x1)－f(x2)；

3 变形（通常是因式分解和配方）；

4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．

解：（略）

（学生活动）巩固练习：课本P38练习第1、2题

例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．

解：（略）

（学生活动）巩固练习：

1 课本P38练习第3题；

       2 证明函数 在（1，+∞）上为增函数．

思考：画出反比例函数 的图象．

       1 这个函数的定义域是什么？

       2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

书面作业：课本P45 习题1．3（A组） 第1- 5题．
提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，

1 求f(0)、f(1)的值；

2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．

• 优点:

  探究合理，讲授自然进行，行。

• 缺点:

  归纳小结先让学生小结，教师再补充更好。