1.2.1 函数的概念PPT专用课堂实录内容

1.2.1　函数的概念 高中数学       人教A版2003课标版

1.会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；通过学习函数概念，培养学生观察问题，提出问题的探究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生用函数模型表述和解决现实世界中蕴含的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.

2.掌握构成函数的三要素，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性，激发学生学习的积极性.

【教学重点】正确理解函数的概念，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.

【教学难点】函数概念及符号y=f(x)的理解.

【教学方法】诱思教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观感知→观察分析→归纳类比→抽象概括，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力.

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      北京时间2007年10月24日18时05分，万众瞩目的“嫦娥一号”探月卫星成功发射，在“嫦娥一号”飞行期间，我们时刻关注着“嫦娥一号”离我们的距离随时间是如何变化的，数学上用函数来描述这种运动变化中的数量关系.

在初中已学习过函数的概念，函数的概念从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系. 本节将进一步学习函数及其构成要素.

1.实例分析

（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：

h=130t-5t2.         （﹡）

提问：你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间t的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h的变化范围是什么？

炮弹飞行时间t的变化范围是数集 ，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集 .

从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（﹡），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.

（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况

（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.

提出问题： 观察分析图中曲线，时间t的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.

    根据图中曲线可知，时间t的变化范围是数集 ，臭氧层空洞面积s的变化范围是数集 .

对于数集A中的任意一个时间t，按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.

（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.

提出问题：恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.

根据上表，可知时间t的变化范围是数集 ，恩格尔系数y的变化范围是数集 .  并且，对于数集A中的任意一个时间t，根据表1，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数y和它对应.

2．问题探讨

以上三个实例有什么不同点和共同点？

活动：让学生分小组讨论交流，请小组代表汇报讨论结果.

归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.

其共同点是：①都有两个非空数集A，B；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应. 记作  f: A→ B

3.归纳概括

引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，

你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？

活动：让学生分组讨论交流，讨论归纳出：

    (1)函数的概念:

一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈ A

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合

{f(x)|x∈ A}叫做函数的值域.

显然，值域是集合B的子集.

   (2)函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.

   (3)函数的构成要素：定义域、对应关系、值域.

强调：①值域由定义域和对应关系唯一确定；

②f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积.在不同的函数中f的具体含义不同，由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x),F(x)等表示．

1. 提出问题：

一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？

并用函数的概念来描述这些函数.

    设计意图：通过集合与对应的语言来刻画初中已学函数，使学生加深理解函数的本质及构成函数的基本要素.

2. 思考辨析：

方法引导：如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？

可依据定义，依据定义中的哪几个要点？要注意函数概念中的哪些关键词？

由学生总结得到：(1)理解函数的定义应注意：

①符号“f:A→B”表示从A到B的一个函数；

②函数是非空数集A到非空数集B上的一种对应；

③集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性.

(2)判断函数的标准可以简化成：两个非空数集A，B，一个对应关系.

提出问题：在三个实例中，按照一定的对应关系，能看作从B到A 的函数吗？

你能举出函数的实例吗？

设计意图：使学生更深刻理解函数的概念，培养学生的数学应用意识.

3．练习反馈

下列图像中不能作为函数y=f(x)图像的是（ B ）

​

1. 本节课探讨了用集合和对应的语言描述函数的概念，并引进了函数符号y=f(x).

2. 突出了函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.

3．明确了构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

布置作业

1. 举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、对应关系和值域.

2．课本P24 习题1.2   1、3、4

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1.2.1　函数的概念

1.2.1　函数的概念

      北京时间2007年10月24日18时05分，万众瞩目的“嫦娥一号”探月卫星成功发射，在“嫦娥一号”飞行期间，我们时刻关注着“嫦娥一号”离我们的距离随时间是如何变化的，数学上用函数来描述这种运动变化中的数量关系.

在初中已学习过函数的概念，函数的概念从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系. 本节将进一步学习函数及其构成要素.

1.实例分析

（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：

h=130t-5t2.         （﹡）

提问：你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间t的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h的变化范围是什么？

炮弹飞行时间t的变化范围是数集 ，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集 .

从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（﹡），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.

（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况

（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.

提出问题： 观察分析图中曲线，时间t的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.

    根据图中曲线可知，时间t的变化范围是数集 ，臭氧层空洞面积s的变化范围是数集 .

对于数集A中的任意一个时间t，按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.

（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.

提出问题：恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.

根据上表，可知时间t的变化范围是数集 ，恩格尔系数y的变化范围是数集 .  并且，对于数集A中的任意一个时间t，根据表1，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数y和它对应.

2．问题探讨

以上三个实例有什么不同点和共同点？

活动：让学生分小组讨论交流，请小组代表汇报讨论结果.

归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.

其共同点是：①都有两个非空数集A，B；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应. 记作  f: A→ B

3.归纳概括

引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，

你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？

活动：让学生分组讨论交流，讨论归纳出：

    (1)函数的概念:

一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈ A

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合

{f(x)|x∈ A}叫做函数的值域.

显然，值域是集合B的子集.

   (2)函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.

   (3)函数的构成要素：定义域、对应关系、值域.

强调：①值域由定义域和对应关系唯一确定；

②f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积.在不同的函数中f的具体含义不同，由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x),F(x)等表示．

1. 提出问题：

一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？

并用函数的概念来描述这些函数.

    设计意图：通过集合与对应的语言来刻画初中已学函数，使学生加深理解函数的本质及构成函数的基本要素.

2. 思考辨析：

方法引导：如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？

可依据定义，依据定义中的哪几个要点？要注意函数概念中的哪些关键词？

由学生总结得到：(1)理解函数的定义应注意：

①符号“f:A→B”表示从A到B的一个函数；

②函数是非空数集A到非空数集B上的一种对应；

③集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性.

(2)判断函数的标准可以简化成：两个非空数集A，B，一个对应关系.

提出问题：在三个实例中，按照一定的对应关系，能看作从B到A 的函数吗？

你能举出函数的实例吗？

设计意图：使学生更深刻理解函数的概念，培养学生的数学应用意识.

3．练习反馈

下列图像中不能作为函数y=f(x)图像的是（ B ）

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1. 本节课探讨了用集合和对应的语言描述函数的概念，并引进了函数符号y=f(x).

2. 突出了函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.

3．明确了构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

布置作业

1. 举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、对应关系和值域.

2．课本P24 习题1.2   1、3、4

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