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共1课时
1.2.1 函数的概念 高中数学 人教A版2003课标版 1教学目标 2学情分析 3重点难点 4教学过程 4.1 第一学时 教学活动 活动1【导入】函数的概念教学方法 讲授法和发现教学法相结合 教学工具 常规教学工具、计算机和投影仪 教 学 过 程 教 学 环 节 多媒体展示内容 教师教学 学生活动 和学习 活动与教学目 的 知 识 回 顾 初中函数的概念： 在一个 变化过程 中有两个变量 x 和 y ，如果对于 x 的 每一个值 ， y 都有 唯一的值 与对应 . 那么就说 y 是 x 的函数， 其中 x 叫做自变 量 . 对每一个 x,y 都有唯一的值与之对应 ” 的对应规律是什么？ x,y 的变化范围是什么？ 师： 引导学生回顾 初中函数的定义， 并分析定义中不 完善的地方。 生： 在老 师的提示 下回顾初 中函数的 定义。 复 习 初 中 已 函 数的定义，并剖 析 初 中 函 数 的 概念，指出概念 中 描 述 模 糊 不 清的地方，说明 进 一 步 学 习 函 数 概 念 的 必 要 性，构建学生学 习 高 中 函 数 概 念的心理基础。 情 境 引 入 示例 1 ：一枚炮弹发射后，经过 26s 落到地面击中目标 . 炮弹的射高 为 845m ，且炮弹距地面的高度 h ( 单位： m) 随时间 t ( 单位： s) 变化 的规律是 h = 130 t – 5 t 2 . （ * ） 目标 发射点 845m 高度 h 是为时间 t 的函数 h A = {t | 0 ≤ t ≤ 26} C = {h | 0 ≤ h ≤ 845} 对于任意 t ∈ A ，依（ * ），有唯一 h ∈ C 与 t 对应 示例 2 ： 设时间为 t ，气温为 T ( ℃ ) ，自动测温仪测得某地某日从 凌晨 0 点到半夜 24 点的温度曲线如下图 . 温度 T 是为时间 t 的函数 0 6 12 18 24 5 10 15 25 20 ℃ A = {t| 0 ≤ t ≤ 24} C = {T | 0 ≤ T ≤ 25} 对于任意 t ∈ A ，依以上图像，有唯一 T ∈ C 与 t 对应 示例 3 ：据北京人民政府网站公布， 2003 年 5 月 1 日至 5 日北京 已确诊的 SARS 病例 N 累计如下表： 1897 1803 1741 1636 1553 累计病例 (N) 5 4 3 2 1 日期 (t) 累计病例 N 是日期 t 的函数 ， 2, 3, 4, 5 } C={1553, 1636, 1741, 1803, 1897} 对于任意 t ∈ A ，依以上表格，有唯一 N ∈ C 与 t 对应 师： 引导学生分析 三个函数例子， 找 出每个函数中自 变量与函数值的 取值范围， 用集合 表示出来， 并分析 出自变量与函数 值的对应规律。 生 ：跟着 老师的引 导分析三 个函数示 例 通 过 丰 富 的 实 例 让 学 生 感 知 函 数 是 描 述 客 观 世 界 变 化 现 象 的 基 本 规 律 的数学模型，体 会 函 数 的 应 用 价值。从而在心 理 上 产 生 学 习 新知的需求。在 老师的引导下， 学 生 说 出 每 个 函 数 的 对 应 规 律 和 两 个 变 量 的取值范围，为 后 面 从 集 合 与 对 应 的 角 度 归 纳 出 函 数 的 定 义做铺垫。 抽 象 归 纳 示例 1 ： h = 130 t – 5 t 2 . 示例 2: 示例 3: 提示 ：如果统一用 x 表示自变量，其变化范围记为集合 A ，用 y 表示函数值，其变化范围记为集合 C ，是否可以从集 合与对应的角度来描述以上三个函数？ 0 6 12 18 24 5 10 20 ℃ 15 25 1897 1803 1741 1636 1553 累计病例 (N) 5 4 3 2 1 日期 (t) 师： 引导学生从 集合与对应的角 度描述以上三个 函数的本质。 生 ：思考 老师提出 的问题。 老 师 引 导 学 生 对 以 上 三 个 示 例抽象归纳，从 具体到抽象，从 特殊到一般，培 养 学 生 抽 象 概 括能力。 通 过 教 师 的 引 导，学生自己从 集 合 与 对 应 的 示例 1 ： h = 130 t – 5 t 2 . 示例 2: 示例 3: A 、 C 为非空数集，对于集合 A 中的任一元素 x ，在集合 C 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 A = {x | 0 ≤ x ≤ 24} C = {y | 0 ≤ y ≤ 25} A = {x | 0 ≤ x ≤ 26} C = {y | 0 ≤ y ≤ 845} 1803 1741 1636 1553 病例 (N) 5 4 3 2 1 日期 (t) A={ 1 ， 2, 3, 4, 5 } C={1553,1636,1741,1803,1897} 0 6 12 18 24 5 10 15 20 25 师： 补充完善学生归 纳出的结论。 生： 跟着 老师的提 示，回答 问题。 角 度 构 建 出 函 数的概念，体现 了 教 师 是 学 生 学习的组织者、 引导者、促进者 和合作者，学生 是 活 动 的 主 体 的 现 代 教 学 理 念。 概 念 形 成 设 A 、 B 是 非空的数集 ，如果按照某种确定的 对应关系 f ，使对于 集合 A 中的 任意 一个数 x ，在集合 B 中都有 唯一确定 的数 f ( x ) 和它 对应，那么就称 f ： A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 (fun_ction) ， 记作 y = f ( x ) ， x ∈ A . 其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域 (domain) ； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 { f ( x ) | x ∈ A } 叫 做函数的 值域 (range). 显然， 值域是集合 B 的子集 . 函数的定义： “ y = f ( x ) ” 是函数符号，可以用任意 的字母表示，如 y = g ( x ) 函数符号 “ y = f ( x ) ” 中的 f ( x ) 表示与 x 对应 的函数值，而不是 f 乘 x ， f(a) 表示 x=a 所对 应的函数值 （板书）例 1 ：已知函数 f(x)= 2x+1 ， g(x)=x 2 +x. （ 1 ）求 f(2),f(a) 的值 ; （ 2 ）求 f(a-1)+g(a) 的值 师： 给出课本上函 数的定义语言， 并 强调定义中应注 意的地方。 生 ：跟着 老师的引 导，理解 函数概念 的要点。 呈 现 本 节 课 重 点，并用不同颜 色标出关键词， 便 于 学 生 理 解 概念，把握概念 的关键部分。这 里 用 板 书 主 要 是 让 — 函 数 的 概 念 呈 现 的 时 间较长，突出本 节 课 的 教 学 重 点，例题的讲解 让 学 生 理 解 函 数符号 y=f(x) ， 突破教学难点。 示例 1 ： h = 130 t – 5 t 2 . 示例 2: 示例 3: 1803 1741 1636 1553 病例 (N) 5 4 3 2 1 日期 (t) 定义域 ： A={ 1 ， 2, 3, 4, 5 } 值域： C={1553,1636,1741,1803,1897} 0 6 12 18 24 5 10 15 20 25 定义域： A = {x | 0 ≤ x ≤ 26} 值域： C = {y | 0 ≤ y ≤ 845} 定义域： A = {x | 0 ≤ x ≤ 24} 值域： C = {y | 0 ≤ y ≤ 25} 以上函数的对应法则 是用什么来给定的？ 师： 引导学生用新 的定义去解释以 上三个函数示例。 生 ：积极 思考老师 提出的问 题。 概 念 理 解 示例 1 ： h = 130 t – 5 t 2 . 示例 2: 示例 3: 1803 1741 1636 1553 病例 (N) 5 4 3 2 1 日期 (t) 0 6 12 18 24 5 10 15 20 25 对应法则 f ：解析式 h = 130 t – 5 t 2 . 对应法则 f ：图像 对应法则 f ：表格 函数的对应法则可以是解析式，图像，表格 师： 引导学生归纳 出函数的三要素。 生 ：跟着 老师的的 引导，进 一步理解 函数的概 念。 让 学 生 再 次 观 察实例，并说出 实例中的值域， 定义域、对应法 则。并自己归纳 出 函 数 的 三 要 素。培养学生反 思问题、总结归 纳 的 习 惯 和 运 用 数 学 语 言 抽 象发现的能力。 函数三要素 定义域 对应法则 值域 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致， 而与表示自变量和函数值的字母无关。 师： 说明三要素之 间的关系， 并得出 判断两个函数相 等的一般方法。 生： 积极 回答老师 提出的问 题。 课 堂 小 结 函数的概念 高中（集合与对应） 初中（运动变化） x y y 是 x 的函数 x f(x) y=f(x) x ∈ A 深化 数学符号化 函数三要素 定义域，值域，对应法则 函数是描述事物运动变化规律的数学模型 对应规律是什么？ x,y 的 变化范围是什么？ f ： A → B 师： 回顾本节课主 要内容。 生 ：在老 师的引导 下，回顾 本节课内 容 帮 助 学 生 理 顺 本节课的内容。 以 便 同 学 更 好 的 掌 握 本 节 课 所学内容。 作 业 布 置 1 ．书面作业：课本第 24 页习题 A 组 1 ． 2 ． 3 ． 4 ． 5 ． 2. 思考初中所学的三种基本函数（即一次函数，二次函数， 反比例函 数）的三要素分别是什么？ 3 ．观察生活中运动与变化的事物，学会用函数的观点来解释它们。 课后作业： 师： 布置课后作业 及思考题。 生 ：课后 完成作业 作 业 分 为 三 种 形式，体现作业 的 巩 固 性 和 发 展性原则。也为 了 适 应 不 同 程 度 同 学 的 学 习 需要。 本节课的特色： 本节课从学生原有的数学认知结构（初中函数的定义）出发提出问题，让学生意识 到初中函数的概念不完善的地方， 再通过丰富的实例让学生感知函数是描述客观世界变化现 象的基本规律的数学模型， 从而在心理上产生学习新知的需求， 在学生内心充满求知渴望时 开始本节课的学习，达到最佳课堂效果。 本节课将初中函数定义和高中函数定义做了对比讲解，让学生清楚高中函数定义是 对初中函数定义的深化， 了解初中函数的局限， 突出高中函数的优势， 从而使学生更好的从 集合和对应的角度理解函数的定义，实现本节课的教学目标。 整个教学过程以问题为载体，紧紧围绕函数概念的本质引导学生分析、探究、归纳， 概括出用集合与对应的观点描述函数的定义和深化对函数概念的理解， 让学生经历了函数概 念形成的四个阶段：感知认识阶段、分析本质属性阶段、概括形成定义阶段、应用与强化阶 段，有效地实现了学生对函数概念和本质的意义建构。
1.2.1 函数的概念 课时设计 课堂实录1.2.1 函数的概念 1第一学时 教学活动 活动1【导入】函数的概念教学方法 讲授法和发现教学法相结合 教学工具 常规教学工具、计算机和投影仪 教 学 过 程 教 学 环 节 多媒体展示内容 教师教学 学生活动 和学习 活动与教学目 的 知 识 回 顾 初中函数的概念： 在一个 变化过程 中有两个变量 x 和 y ，如果对于 x 的 每一个值 ， y 都有 唯一的值 与对应 . 那么就说 y 是 x 的函数， 其中 x 叫做自变 量 . 对每一个 x,y 都有唯一的值与之对应 ” 的对应规律是什么？ x,y 的变化范围是什么？ 师： 引导学生回顾 初中函数的定义， 并分析定义中不 完善的地方。 生： 在老 师的提示 下回顾初 中函数的 定义。 复 习 初 中 已 函 数的定义，并剖 析 初 中 函 数 的 概念，指出概念 中 描 述 模 糊 不 清的地方，说明 进 一 步 学 习 函 数 概 念 的 必 要 性，构建学生学 习 高 中 函 数 概 念的心理基础。 情 境 引 入 示例 1 ：一枚炮弹发射后，经过 26s 落到地面击中目标 . 炮弹的射高 为 845m ，且炮弹距地面的高度 h ( 单位： m) 随时间 t ( 单位： s) 变化 的规律是 h = 130 t – 5 t 2 . （ * ） 目标 发射点 845m 高度 h 是为时间 t 的函数 h A = {t | 0 ≤ t ≤ 26} C = {h | 0 ≤ h ≤ 845} 对于任意 t ∈ A ，依（ * ），有唯一 h ∈ C 与 t 对应 示例 2 ： 设时间为 t ，气温为 T ( ℃ ) ，自动测温仪测得某地某日从 凌晨 0 点到半夜 24 点的温度曲线如下图 . 温度 T 是为时间 t 的函数 0 6 12 18 24 5 10 15 25 20 ℃ A = {t| 0 ≤ t ≤ 24} C = {T | 0 ≤ T ≤ 25} 对于任意 t ∈ A ，依以上图像，有唯一 T ∈ C 与 t 对应 示例 3 ：据北京人民政府网站公布， 2003 年 5 月 1 日至 5 日北京 已确诊的 SARS 病例 N 累计如下表： 1897 1803 1741 1636 1553 累计病例 (N) 5 4 3 2 1 日期 (t) 累计病例 N 是日期 t 的函数 ， 2, 3, 4, 5 } C={1553, 1636, 1741, 1803, 1897} 对于任意 t ∈ A ，依以上表格，有唯一 N ∈ C 与 t 对应 师： 引导学生分析 三个函数例子， 找 出每个函数中自 变量与函数值的 取值范围， 用集合 表示出来， 并分析 出自变量与函数 值的对应规律。 生 ：跟着 老师的引 导分析三 个函数示 例 通 过 丰 富 的 实 例 让 学 生 感 知 函 数 是 描 述 客 观 世 界 变 化 现 象 的 基 本 规 律 的数学模型，体 会 函 数 的 应 用 价值。从而在心 理 上 产 生 学 习 新知的需求。在 老师的引导下， 学 生 说 出 每 个 函 数 的 对 应 规 律 和 两 个 变 量 的取值范围，为 后 面 从 集 合 与 对 应 的 角 度 归 纳 出 函 数 的 定 义做铺垫。 抽 象 归 纳 示例 1 ： h = 130 t – 5 t 2 . 示例 2: 示例 3: 提示 ：如果统一用 x 表示自变量，其变化范围记为集合 A ，用 y 表示函数值，其变化范围记为集合 C ，是否可以从集 合与对应的角度来描述以上三个函数？ 0 6 12 18 24 5 10 20 ℃ 15 25 1897 1803 1741 1636 1553 累计病例 (N) 5 4 3 2 1 日期 (t) 师： 引导学生从 集合与对应的角 度描述以上三个 函数的本质。 生 ：思考 老师提出 的问题。 老 师 引 导 学 生 对 以 上 三 个 示 例抽象归纳，从 具体到抽象，从 特殊到一般，培 养 学 生 抽 象 概 括能力。 通 过 教 师 的 引 导，学生自己从 集 合 与 对 应 的 示例 1 ： h = 130 t – 5 t 2 . 示例 2: 示例 3: A 、 C 为非空数集，对于集合 A 中的任一元素 x ，在集合 C 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 A = {x | 0 ≤ x ≤ 24} C = {y | 0 ≤ y ≤ 25} A = {x | 0 ≤ x ≤ 26} C = {y | 0 ≤ y ≤ 845} 1803 1741 1636 1553 病例 (N) 5 4 3 2 1 日期 (t) A={ 1 ， 2, 3, 4, 5 } C={1553,1636,1741,1803,1897} 0 6 12 18 24 5 10 15 20 25 师： 补充完善学生归 纳出的结论。 生： 跟着 老师的提 示，回答 问题。 角 度 构 建 出 函 数的概念，体现 了 教 师 是 学 生 学习的组织者、 引导者、促进者 和合作者，学生 是 活 动 的 主 体 的 现 代 教 学 理 念。 概 念 形 成 设 A 、 B 是 非空的数集 ，如果按照某种确定的 对应关系 f ，使对于 集合 A 中的 任意 一个数 x ，在集合 B 中都有 唯一确定 的数 f ( x ) 和它 对应，那么就称 f ： A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 (fun_ction) ， 记作 y = f ( x ) ， x ∈ A . 其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域 (domain) ； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 { f ( x ) | x ∈ A } 叫 做函数的 值域 (range). 显然， 值域是集合 B 的子集 . 函数的定义： “ y = f ( x ) ” 是函数符号，可以用任意 的字母表示，如 y = g ( x ) 函数符号 “ y = f ( x ) ” 中的 f ( x ) 表示与 x 对应 的函数值，而不是 f 乘 x ， f(a) 表示 x=a 所对 应的函数值 （板书）例 1 ：已知函数 f(x)= 2x+1 ， g(x)=x 2 +x. （ 1 ）求 f(2),f(a) 的值 ; （ 2 ）求 f(a-1)+g(a) 的值 师： 给出课本上函 数的定义语言， 并 强调定义中应注 意的地方。 生 ：跟着 老师的引 导，理解 函数概念 的要点。 呈 现 本 节 课 重 点，并用不同颜 色标出关键词， 便 于 学 生 理 解 概念，把握概念 的关键部分。这 里 用 板 书 主 要 是 让 — 函 数 的 概 念 呈 现 的 时 间较长，突出本 节 课 的 教 学 重 点，例题的讲解 让 学 生 理 解 函 数符号 y=f(x) ， 突破教学难点。 示例 1 ： h = 130 t – 5 t 2 . 示例 2: 示例 3: 1803 1741 1636 1553 病例 (N) 5 4 3 2 1 日期 (t) 定义域 ： A={ 1 ， 2, 3, 4, 5 } 值域： C={1553,1636,1741,1803,1897} 0 6 12 18 24 5 10 15 20 25 定义域： A = {x | 0 ≤ x ≤ 26} 值域： C = {y | 0 ≤ y ≤ 845} 定义域： A = {x | 0 ≤ x ≤ 24} 值域： C = {y | 0 ≤ y ≤ 25} 以上函数的对应法则 是用什么来给定的？ 师： 引导学生用新 的定义去解释以 上三个函数示例。 生 ：积极 思考老师 提出的问 题。 概 念 理 解 示例 1 ： h = 130 t – 5 t 2 . 示例 2: 示例 3: 1803 1741 1636 1553 病例 (N) 5 4 3 2 1 日期 (t) 0 6 12 18 24 5 10 15 20 25 对应法则 f ：解析式 h = 130 t – 5 t 2 . 对应法则 f ：图像 对应法则 f ：表格 函数的对应法则可以是解析式，图像，表格 师： 引导学生归纳 出函数的三要素。 生 ：跟着 老师的的 引导，进 一步理解 函数的概 念。 让 学 生 再 次 观 察实例，并说出 实例中的值域， 定义域、对应法 则。并自己归纳 出 函 数 的 三 要 素。培养学生反 思问题、总结归 纳 的 习 惯 和 运 用 数 学 语 言 抽 象发现的能力。 函数三要素 定义域 对应法则 值域 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致， 而与表示自变量和函数值的字母无关。 师： 说明三要素之 间的关系， 并得出 判断两个函数相 等的一般方法。 生： 积极 回答老师 提出的问 题。 课 堂 小 结 函数的概念 高中（集合与对应） 初中（运动变化） x y y 是 x 的函数 x f(x) y=f(x) x ∈ A 深化 数学符号化 函数三要素 定义域，值域，对应法则 函数是描述事物运动变化规律的数学模型 对应规律是什么？ x,y 的 变化范围是什么？ f ： A → B 师： 回顾本节课主 要内容。 生 ：在老 师的引导 下，回顾 本节课内 容 帮 助 学 生 理 顺 本节课的内容。 以 便 同 学 更 好 的 掌 握 本 节 课 所学内容。 作 业 布 置 1 ．书面作业：课本第 24 页习题 A 组 1 ． 2 ． 3 ． 4 ． 5 ． 2. 思考初中所学的三种基本函数（即一次函数，二次函数， 反比例函 数）的三要素分别是什么？ 3 ．观察生活中运动与变化的事物，学会用函数的观点来解释它们。 课后作业： 师： 布置课后作业 及思考题。 生 ：课后 完成作业 作 业 分 为 三 种 形式，体现作业 的 巩 固 性 和 发 展性原则。也为 了 适 应 不 同 程 度 同 学 的 学 习 需要。 本节课的特色： 本节课从学生原有的数学认知结构（初中函数的定义）出发提出问题，让学生意识 到初中函数的概念不完善的地方， 再通过丰富的实例让学生感知函数是描述客观世界变化现 象的基本规律的数学模型， 从而在心理上产生学习新知的需求， 在学生内心充满求知渴望时 开始本节课的学习，达到最佳课堂效果。 本节课将初中函数定义和高中函数定义做了对比讲解，让学生清楚高中函数定义是 对初中函数定义的深化， 了解初中函数的局限， 突出高中函数的优势， 从而使学生更好的从 集合和对应的角度理解函数的定义，实现本节课的教学目标。 整个教学过程以问题为载体，紧紧围绕函数概念的本质引导学生分析、探究、归纳， 概括出用集合与对应的观点描述函数的定义和深化对函数概念的理解， 让学生经历了函数概 念形成的四个阶段：感知认识阶段、分析本质属性阶段、概括形成定义阶段、应用与强化阶 段，有效地实现了学生对函数概念和本质的意义建构。
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