1.3.1 单调性与最大（小）值课堂实录【2】

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．

教学重点：函数的单调性及其几何意义．

教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

1 随x的增大，y的值有什么变化？

2 能否看出函数的最大、最小值？

y

x

1

-1

1

-1

3 函数图象是否具有某种对称性？

（一）函数单调性定义

1．增函数

       一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

       如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing fun_ction）．

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）

注意：

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．

2．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

       3．判断函数单调性的方法步骤

              利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

              1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；

              2 作差f(x1)－f(x2)；

3 变形（通常是因式分解和配方）；

4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

二）典型例题

例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．

解：（略）

巩固练习：课本P38练习第1、2题

例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．

解：（略）

巩固练习：

1 课本P38练习第3题；

       2 证明函数 在（1，+∞）上为增函数．

例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．

解：（略）

思考：画出反比例函数 的图象．

       1 这个函数的定义域是什么？

       2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

书面作业：课本P45 习题1．3（A组） 第1- 5题．
提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，

1 求f(0)、f(1)的值；

2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

1 随x的增大，y的值有什么变化？

2 能否看出函数的最大、最小值？

y

x

1

-1

1

-1

3 函数图象是否具有某种对称性？

（一）函数单调性定义

1．增函数

       一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

       如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing fun_ction）．

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）

注意：

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．

2．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

       3．判断函数单调性的方法步骤

              利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

              1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；

              2 作差f(x1)－f(x2)；

3 变形（通常是因式分解和配方）；

4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

二）典型例题

例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．

解：（略）

巩固练习：课本P38练习第1、2题

例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．

解：（略）

巩固练习：

1 课本P38练习第3题；

       2 证明函数 在（1，+∞）上为增函数．

例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．

解：（略）

思考：画出反比例函数 的图象．

       1 这个函数的定义域是什么？

       2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

书面作业：课本P45 习题1．3（A组） 第1- 5题．
提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，

1 求f(0)、f(1)的值；

2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．