1.2.1 函数的概念名师教学视频（文字实录）

1.2.1　函数的概念 高中数学       人教A版2003课标版

（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函 数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的要素；

（3）会求一些简单函数的定义域和值域；

（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；

高一学生通过初中数学教材的学习，已经掌握了基于“变量说”的函数概念。与高中用“集合的对应”来定义函数不同，初中的概念侧重于两个变量的依赖关系，还未引进集合的概念，也不提对应关系。“变量的依赖关系”形象生动，以此定义函数符合学生在初中时的认知能力，但其描述性的语言失去了数学的严谨性，也限制了函数的应用，所以在高中有进一步研究函数概念的必要。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识。

重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；

难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；

（一）创设情景，揭示课题

1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

2、阅 读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

（2）南极臭 氧空洞面积与时间的变化关系问题；

（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题.

3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。

4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．

（一）函数的有关概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数 集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．

记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：

(1)“y=f(x) ” 是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

(2) 函数符号“y =f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数 值，是一个数，而不是f乘以x；

(3) 两个函数相同必须是它们的定义域和对应关系分别完全相同；

(4)有时给出的函数没有明确说明定义域,这时它的定义域就是自变量的允许取值范围。

2.函数的三要素：

  定义域、对应关系和值域

3．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；       （3）区间 的数轴表示．

（1）满足不等式a≤x≤b  的实数的x集合叫做闭区间，表示为 ；

（2）满足不等式 a<x<b 的实数的x集合叫做开区间，表示为 ；

（3）满足不等式a≤x<b  的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为 ；

（4）满足不等式a<x≤b  的实数的x集合叫做也叫半开半闭 区间，表示为 ；

说明：

        实数集R也可以用区间表示为（-∞ ，+∞ ），“∞ ”读作“无穷大”，“-∞ ”读作“负无穷大”，“+∞ ”读作“正无穷大 ”，还可以把满足x≥a , x>a, x≤b , x<b 的   实数x的集合分别表示为[a,+∞ )、

（a,+∞ ）、(-∞ ,b]、(-∞  ,b)。

（二）例题讲解

例1. （1） 一次函数y=ax+b(a≠0)定义域是               ,值域是              。

（2）二次函数y=ax² +bx+c (a≠0)的定义域是                ，值域是              

（当a＞0时,值域为:[ 4ac−b²4a ,+∞ )      , 当a＜0时,值域为:  (−∞ ,4ac−b²4a ]                   

例2. 某山海拔7500m, 海平面温度为25°C,气温是高度的函数, 而且高度每升高100m, 气温下降0.6°C.请你用解析表达式表示出气温T随高度x 变化的函数,并指出其定义域和值域。

例3.已知函数ƒ (x)=√x+3+1x+2  ，求函数的定义域。

小结几类函数的定义域：

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .

（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .

（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.

（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子 构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）

    （5）满足实际问题有意义.

例4.下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）y=(√x)² （2）y=³√x³ （3）y=√x² (4)y=x²x  ​

分析：

1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；

2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

1.课本练习1

2.下列各组中的两个函数是否是同一函数？

（1）ƒ (x)=(x−1)⁰ ,g(x)=1    (2)ƒ (x)=x² ,g(x)=(x+1)² 

  (3)ƒ (x)=∣x∣,g(x)=√x² 

3.求下列函数的定义域：

（1)ƒ (x)=√1−x+√x+3      (2)ƒ (x)=11+1x   (3)ƒ (x)=√x²+4x−2  

习题A组1，2

1.2.1　函数的概念

1.2.1　函数的概念

（一）创设情景，揭示课题

1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

2、阅 读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

（2）南极臭 氧空洞面积与时间的变化关系问题；

（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题.

3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。

4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．

（一）函数的有关概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数 集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．

记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：

(1)“y=f(x) ” 是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

(2) 函数符号“y =f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数 值，是一个数，而不是f乘以x；

(3) 两个函数相同必须是它们的定义域和对应关系分别完全相同；

(4)有时给出的函数没有明确说明定义域,这时它的定义域就是自变量的允许取值范围。

2.函数的三要素：

  定义域、对应关系和值域

3．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；       （3）区间 的数轴表示．

（1）满足不等式a≤x≤b  的实数的x集合叫做闭区间，表示为 ；

（2）满足不等式 a<x<b 的实数的x集合叫做开区间，表示为 ；

（3）满足不等式a≤x<b  的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为 ；

（4）满足不等式a<x≤b  的实数的x集合叫做也叫半开半闭 区间，表示为 ；

说明：

        实数集R也可以用区间表示为（-∞ ，+∞ ），“∞ ”读作“无穷大”，“-∞ ”读作“负无穷大”，“+∞ ”读作“正无穷大 ”，还可以把满足x≥a , x>a, x≤b , x<b 的   实数x的集合分别表示为[a,+∞ )、

（a,+∞ ）、(-∞ ,b]、(-∞  ,b)。

（二）例题讲解

例1. （1） 一次函数y=ax+b(a≠0)定义域是               ,值域是              。

（2）二次函数y=ax² +bx+c (a≠0)的定义域是                ，值域是              

（当a＞0时,值域为:[ 4ac−b²4a ,+∞ )      , 当a＜0时,值域为:  (−∞ ,4ac−b²4a ]                   

例2. 某山海拔7500m, 海平面温度为25°C,气温是高度的函数, 而且高度每升高100m, 气温下降0.6°C.请你用解析表达式表示出气温T随高度x 变化的函数,并指出其定义域和值域。

例3.已知函数ƒ (x)=√x+3+1x+2  ，求函数的定义域。

小结几类函数的定义域：

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .

（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .

（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.

（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子 构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）

    （5）满足实际问题有意义.

例4.下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）y=(√x)² （2）y=³√x³ （3）y=√x² (4)y=x²x  ​

分析：

1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；

2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

1.课本练习1

2.下列各组中的两个函数是否是同一函数？

（1）ƒ (x)=(x−1)⁰ ,g(x)=1    (2)ƒ (x)=x² ,g(x)=(x+1)² 

  (3)ƒ (x)=∣x∣,g(x)=√x² 

3.求下列函数的定义域：

（1)ƒ (x)=√1−x+√x+3      (2)ƒ (x)=11+1x   (3)ƒ (x)=√x²+4x−2  

习题A组1，2