1.2.1 函数的概念教案1

1.2.1　函数的概念 高中数学       人教A版2003课标版

【知识目标】

         理解函数的概念，会用函数的定义判断函数，会求一些最基本的函数的定义域、值域．

【能力目标】

         通过对实际问题的分析、抽象与概括以及函数概念的形成，培养学生抽象、概括能力以及观察问题、提出问题等方面的能力．

【情感目标】

        通过对函数概念形成的学习过程，培养学生思考、探究、发现等方面的数学素养．

【有利因素】

       一方面，学生在初中已经学习了变量观点下函数的定义，并具体研究了几类最简单的函数，对函数已经有了一定的感性认识；另一方面，在本章学生又学习了集合，这些都为学习函数的现代定义打下了基础．

 【有利因素】

       学生在初中所学的函数，是把函数当成变量之间的依赖关系，较为肤浅，而本节课是要从两个集合之间的对应来描绘函数概念，比较抽象，因此对学生的抽象、分析、概括的能力要求比较高，故学生学起来会有一定的难度．

【重点】使学生在已有认识的基础上，学会用集合与对应的语言刻画函数的概念.

【难点】理解函数的概念及符号y=f(x)．

初中时所学函数的概念是什么？

       设在某变化过程中有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地也就确定了一个y值，那么称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．

     （设计意图：通过知识回顾，一方面让学生熟悉初中时函数的概念，另一方面为下面的实例剖析及新课的导入做铺垫．）

实例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h=130t-5t2．    （﹡）

【思考】炮弹飞行时间t的变化范围是什么？炮弹距地面的高度h的变化范围是什么？试用集合进行表示．    

【答案】A＝{t|0≤t≤26}→B＝{h|0≤h≤845}     

【发现】对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（﹡），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.

实例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.（图见教材或课件）

【思考】根据曲线分析，时间t的变化范围是什么？臭氧层空洞面积S的变化范围是什么？试用集合表示．    

【答案】A＝{t|1979≤t≤2001}；B＝{ S |0≤S≤26}

【发现】对于数集A中的任意一个时间t，按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.

实例3：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．

表1   “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况（表格见教材或课件）

【思考】用t表示时间，r表示恩格尔系数，那么t和r的变化范围分别是什么？      

【答案】A={1991，1992，…，2001}，

              B={53.8，52.9，50.1，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9，39.2，37.9}

【活动】请仿照实例1、实例2描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.由学生小组交流讨论，请学生代表回答。

【发现】对于数集A中的任意一个时间t，根据表1，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数r和它对应.

【探究】分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么共同点？

【活动】由学生小组交流讨论，请学生代表回答讨论结果.

【发现】共同点：①都有两个非空数集A，B；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应. 记作 ．

【思考】集合间的这种对应关系是函数吗？

（设计意图：通过对共同点的总结，导出函数的现代定义，也可以让学生更容易地接受这个定义形式．）

由上述三个实例的共同点导出函数的现代定义．

       函数的概念：一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数（fun_ction），记作y=f(x) ．

       其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

      （教师与学生一起对概念中的“非空、数集、任意、唯一”等关键词进行探究，通过师生间的互动，加强学生对函数概念的理解．）

【思考1】谈一下你对函数概念的理解？

【活动】由学生小组交流讨论，由学生代表回答．

【发现】两个非空数集间的一种确定的对应关系.（即函数的本质）

              强调关键词：非空、任意、唯一

【思考2】为什么“值域是集合B的子集”？

【探究】函数由几个部分所组成？如果给定函数的定义域和其对应关系，那么函数的值域确定吗？

【活动】由学生小组交流讨论，由学生代表回答．

【发现】函数的构成三要素：定义域、对应关系、值域；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定，故函数三要素可以说成是两要素．

      （设计意图：除了是对函数概念的进一步探究，也是为下节课例1求函数的定义域，例2研究函数的相等，以及再后面映射的三要素的学习埋下伏笔．）

       一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？并用函数的概念来描述这些函数.（学生回答，课件演示）

     （设计意图：通过集合与对应的语言来刻画初中已学函数，使学生加深理解函数的本质及构成函数的基本要素．）

（注：具体练习题见课件，本栏目数学符号无法显示）

1．辨析：

(1) 是函数吗？          （是）

(2) 是函数吗？          （不是）

(3) (x R)是函数吗？                （是）

      （在学生回答过答案后，追问学生为什么是，为什么不是？通过学生的解释加深学生对函数概念的理解．再进一步，设置思考题）

【思考】如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？（可依据定义）依据定义中的哪几个要点？你能举出函数的例子吗？

      （与学生共同探究例子是否合适，体现师生互动．）

2．下列图中可表示函数y=f(x)的图象有A、C

为什么？

     （设计意图：通过“形”的形式进一步加深学生对函数概念的理解，培养学生数形结合思想的逐步形成．）

1．本节课探讨了用集合和对应的语言描述函数的概念，并引进了函数符号y=f(x)．

2．突出了函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．

3．明确了构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域．

   （由学生完成，可以培养学生的归纳、总结能力．）

1．举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、对应关系和值域．

2．阅读P26，函数概念的发展历程．（或网络搜索：函数概念的由来．）

     （设计意图：是想让学生体会到函数在生活中的广泛存在，进而加深学生对学习函数的兴趣及对函数重要性的认识．网络搜索的设置，是想逐步培养学生利用网络学习的习惯．）

        本节课主要采用探究式教学方法，通过学生的自主、合作、探究，通过师生间的互动、学生间的互动，使得学习过程成为学生心灵愉悦的主动的认知过程，再通过习题的演练，巩固、加深这种认知．

1.2.1　函数的概念

1.2.1　函数的概念

初中时所学函数的概念是什么？

       设在某变化过程中有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地也就确定了一个y值，那么称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．

     （设计意图：通过知识回顾，一方面让学生熟悉初中时函数的概念，另一方面为下面的实例剖析及新课的导入做铺垫．）

实例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h=130t-5t2．    （﹡）

【思考】炮弹飞行时间t的变化范围是什么？炮弹距地面的高度h的变化范围是什么？试用集合进行表示．    

【答案】A＝{t|0≤t≤26}→B＝{h|0≤h≤845}     

【发现】对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（﹡），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.

实例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.（图见教材或课件）

【思考】根据曲线分析，时间t的变化范围是什么？臭氧层空洞面积S的变化范围是什么？试用集合表示．    

【答案】A＝{t|1979≤t≤2001}；B＝{ S |0≤S≤26}

【发现】对于数集A中的任意一个时间t，按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.

实例3：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．

表1   “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况（表格见教材或课件）

【思考】用t表示时间，r表示恩格尔系数，那么t和r的变化范围分别是什么？      

【答案】A={1991，1992，…，2001}，

              B={53.8，52.9，50.1，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9，39.2，37.9}

【活动】请仿照实例1、实例2描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.由学生小组交流讨论，请学生代表回答。

【发现】对于数集A中的任意一个时间t，根据表1，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数r和它对应.

【探究】分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么共同点？

【活动】由学生小组交流讨论，请学生代表回答讨论结果.

【发现】共同点：①都有两个非空数集A，B；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应. 记作 ．

【思考】集合间的这种对应关系是函数吗？

（设计意图：通过对共同点的总结，导出函数的现代定义，也可以让学生更容易地接受这个定义形式．）

由上述三个实例的共同点导出函数的现代定义．

       函数的概念：一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数（fun_ction），记作y=f(x) ．

       其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

      （教师与学生一起对概念中的“非空、数集、任意、唯一”等关键词进行探究，通过师生间的互动，加强学生对函数概念的理解．）

【思考1】谈一下你对函数概念的理解？

【活动】由学生小组交流讨论，由学生代表回答．

【发现】两个非空数集间的一种确定的对应关系.（即函数的本质）

              强调关键词：非空、任意、唯一

【思考2】为什么“值域是集合B的子集”？

【探究】函数由几个部分所组成？如果给定函数的定义域和其对应关系，那么函数的值域确定吗？

【活动】由学生小组交流讨论，由学生代表回答．

【发现】函数的构成三要素：定义域、对应关系、值域；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定，故函数三要素可以说成是两要素．

      （设计意图：除了是对函数概念的进一步探究，也是为下节课例1求函数的定义域，例2研究函数的相等，以及再后面映射的三要素的学习埋下伏笔．）

       一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？并用函数的概念来描述这些函数.（学生回答，课件演示）

     （设计意图：通过集合与对应的语言来刻画初中已学函数，使学生加深理解函数的本质及构成函数的基本要素．）

（注：具体练习题见课件，本栏目数学符号无法显示）

1．辨析：

(1) 是函数吗？          （是）

(2) 是函数吗？          （不是）

(3) (x R)是函数吗？                （是）

      （在学生回答过答案后，追问学生为什么是，为什么不是？通过学生的解释加深学生对函数概念的理解．再进一步，设置思考题）

【思考】如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？（可依据定义）依据定义中的哪几个要点？你能举出函数的例子吗？

      （与学生共同探究例子是否合适，体现师生互动．）

2．下列图中可表示函数y=f(x)的图象有A、C

为什么？

     （设计意图：通过“形”的形式进一步加深学生对函数概念的理解，培养学生数形结合思想的逐步形成．）

1．本节课探讨了用集合和对应的语言描述函数的概念，并引进了函数符号y=f(x)．

2．突出了函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．

3．明确了构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域．

   （由学生完成，可以培养学生的归纳、总结能力．）

1．举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、对应关系和值域．

2．阅读P26，函数概念的发展历程．（或网络搜索：函数概念的由来．）

     （设计意图：是想让学生体会到函数在生活中的广泛存在，进而加深学生对学习函数的兴趣及对函数重要性的认识．网络搜索的设置，是想逐步培养学生利用网络学习的习惯．）

        本节课主要采用探究式教学方法，通过学生的自主、合作、探究，通过师生间的互动、学生间的互动，使得学习过程成为学生心灵愉悦的主动的认知过程，再通过习题的演练，巩固、加深这种认知．

• 优点:

  在本节课的教学过程中，胡老师把学生作为活动、学习的主体，引导学生积极思考、大胆探究，通过学生的自主、合作，化解课题重难点，从而达到完成教学目标之目的．在教学过程中，胡老师最大限度地调动学生的积极性，给学生充分的时间和空间进行思考、讨论，让学生做课堂的主人，充分发表自己的意见．

• 缺点:

  本节课非常成功，希望能够再接再厉，再出佳课！