1.3.1 单调性与最大（小）值教学设计实例

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

1、知识与技能目标

（1）理解函数单调性的概念。（2）掌握判断函数单调性的方法。

（3）会用定义证明一些简单函数在某个区间上的单调性。

  2、过程与方法目标

(1)从“成语→图象”交叉学科问题出发，引导学生自主探索函数单调性概念，通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力。

(2)通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

（3）通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

3、情感态度与价值观

（1）让学生体念数学科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好数学思维品质。

（2）让学生体会到数学不仅来源于生活中，还与交叉学科有着紧密联系，培养学生综合运用，从多角度思考，特别是交叉学科去认识，从而感悟数学的趣味。

      首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．

       其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.

       最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.

1）问题情景

问题1 同学们呀，我们知道函数是描述事物变化规律的一个模型，那么老师问大家：你能举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语呢？

   老师预案：蒸蒸日上、每况愈下、波澜起伏等。

问题2 请学生根据上述成语分别给出一个函数，并且在直角坐标系中绘制出相应的函数图象。

设计意图：创设“成语→图象”的问题情境，让学生用生活语言描述它们对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做使教学情境富有情趣，可激发学生的学习热情。

2）温故知新

问题1 从左至右观察学生绘制的函数图象（如图1，实际教学中可以根据学生回答再定），指出图象变化的趋势。

预案：        图象见几何画板。

观察得到：随着x值的增大，函数的图象有的呈逐渐上升的趋势，有的呈逐渐下降的趋势，有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一个区间呈逐渐下降的趋势。

问题2 “图象呈逐渐上升趋势”这句话初中时如何描述的呢？

学生能够回忆初中对函数单调性的描述定义：

                                 （1）

                                （2）

 函数的这种性质称为函数的单调性，

具有（1）性质的称为增函数，具有（2）性质的称为减函数。

设计意图：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的学习。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述性定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。

以初中最基本的三个函数入手，引导学生利用初中学过的的描述性定义，给出图像上升或者下降趋势的自然语言。一方面可以让学生感受从图像直观到自然语言的转化，另一方面为下一个符号化语言建构概念作铺垫。

3）建构概念

问题3 如何用数学符号化语言来准确地表述增函数呢？

第一步：将两个“增大”符号化，

第二步：再将“随”符号化，

第三步：再将隐含语言“任意”符号化。

   能否通过个别数值来说明单调性呢？例如，函数 ，取 =-1,2,3,4，、、、，相应地y=1,4,9,16，、、、。能不能说函数值y随x的增大而增大？

   对应区间I上有有限个或无限个自变量满足 且 ，都不能反映“函数值y随x的增大而增大”的本质。必须强调 的任意性，才能准确表述单调递增的特征。

第四步：再含语言“区间”符号化。

在“任意”的同时，还有“不任意”因为单调性描绘的是函数的局部性质，它与区间密不可分，强调定义中 。

于是得出增函数的定义：

一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ,如果对于区间 内任意两个 、 ，当 时，都有 ，那么就说 在区间 上是单调增函数， 称为 的单调增区间。

问题4 如何定义单调减函数呢？

减函数定义：一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ,如果对于区间 内任意两个 、 ，当 时，都有 ，那么就说 在区间 上是单调减函数， 称为 的单调减区间。

如果函数 在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数 在这个区间上具有单调性，这个区间就叫做函数 的单调区间。

设计意图：问题3的解决设计成逐层递进的四步，这样可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗略到严密的，让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。

问题4 要求学生结合图象和单调增函数的定义，通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，从而让学生掌握“类比”方法。在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的。

第二阶段：从不同角度深入理解函数单调性的概念。

（1）回到引入问题，深入理解。    

函数 的单调增区间是 函数 的单调增区间是

函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 。

（2）构成反例，加深对概念的理解

一个函数在定义域的若干区间内具有相同的单调性，能否说在定义域上具有相同的单调性呢？让学生们做下面例子

例1作函数 的图象，并写出它的单调区间。

解：图象如图所示， 和 是两个单调减区间。

提问：能不能说在定义域上是单调减函数呢？

引导讨论，从图像观察或区特殊值代入验证否定结论（如取 ）。

结论：(1)单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应的区间就谈不上单调性，即单调性具有局部性质。如请判断 在 的单调性。

（2）函数在定义域内的两个区间A,B上都是单调增函数（减函数），一般不能认为函数在A B上是单调增函数（减函数）

设计意图：在这里面我没有直接给出单调区间不能合并的问题，而是通过一个反例，让学生自己在探究的过程中发现这个问题，这样更有利于帮助学生理解单调区间不能合并的这个问题。

学生对一个概念的认识不可能一次完成，教师要善于从多个角度，通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵和外延。在学习如何证明一个函数单调性之前，先于学生一起探讨怎样才能否定一个函数的单调性对帮助学生理解单调性概念尤为重要。可以加深学生对“任意”两字的理解。

第三阶段：学会用函数单调性的定义判断并证明函数的单调性。

例2、试判断函数  在区间（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。

1．难点突破

分析：问1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？

        2：如何用定义法判定函数单调性？

        3：用定义判定函数单调性的关键是什么？（提示如何比较3和2的大小，从而引入作差法）

2．详细板书

在上面分析的基础上，我对证明过程进行规范、完整的板书，引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学生养成良好的学习习惯.

证明：函数  在（0，＋∞）上是增函数

设  是(0,＋∞)上的任意两个值,且 ，

则

又 ，故 ，

则 ，即：

因此，函数  在（0，＋∞）上是增函数。

3．归纳步骤

在板书的基础上，我引导学生归纳利用定义证明函数单调性的方法和步骤.通过对证明过程的分析，使学生明确每一步的必要性和目的，特别是第二步，让学生明确变形的方法以及变形的程度，帮助学生掌握方法，提高学生的推理论证能力。

判断函数单调性的主要方法：观察法——画出函数图象来观察；定义法——严格按照定义进行验证；

    （2）概括出定义证明函数单调性的一般步骤：

1、取值:设任意 属于给定区间，且 ；

2、作差变形: 变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；

3、定号:确定 的正负号；

4、下结论:由定义得出函数的单调性。

设计意图：单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，通过本例，要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事。同时通过本例，一方面让学生初步掌握利用函数单调性的概念证明函数在某个区间上是增减函数的方法和步骤，另一方面，培养学生归纳总结的能力，提高学生的推理论证能力。

   为了巩固用定义证明函数单调性的方法，强化解题步骤，形成并提高解题能力，我设计了课堂练习：

证明：函数 在 上是增函数．

归纳小结，提高认识

1．学习小结

我要求学生从知识层面和方法层面上总结这堂课的主要内容，必要时我加以补充。

在知识层面上，引导学生回顾函数单调性定义的探究过程，使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义.

在方法层面上，首先引导学生回顾判断，证明函数单调性的方法和步骤；然后引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等，重点强调用符号语言来刻画图形语言,用定量分析来解释定性结果；同时对学习过程作必要的反思,为后续的学习做好铺垫.

在布置书面作业的同时，为了尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，我设计了探究作业供学有余力的同学课后完成.

(1) 研究函数 的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

目的是使学生体会到利用函数的单调性可以简化函数图象的绘制过程，体会由数到形的研究方法和引入单调性定义的必要性，加深对数形结合的认识．

(2) 证明：函数 在 上是增函数的充要条件是对任意的 ，且 有 ．

目的是加深学生对定义的理解，为以后学习作一些准备。 

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

1）问题情景

问题1 同学们呀，我们知道函数是描述事物变化规律的一个模型，那么老师问大家：你能举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语呢？

   老师预案：蒸蒸日上、每况愈下、波澜起伏等。

问题2 请学生根据上述成语分别给出一个函数，并且在直角坐标系中绘制出相应的函数图象。

设计意图：创设“成语→图象”的问题情境，让学生用生活语言描述它们对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做使教学情境富有情趣，可激发学生的学习热情。

2）温故知新

问题1 从左至右观察学生绘制的函数图象（如图1，实际教学中可以根据学生回答再定），指出图象变化的趋势。

预案：        图象见几何画板。

观察得到：随着x值的增大，函数的图象有的呈逐渐上升的趋势，有的呈逐渐下降的趋势，有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一个区间呈逐渐下降的趋势。

问题2 “图象呈逐渐上升趋势”这句话初中时如何描述的呢？

学生能够回忆初中对函数单调性的描述定义：

                                 （1）

                                （2）

 函数的这种性质称为函数的单调性，

具有（1）性质的称为增函数，具有（2）性质的称为减函数。

设计意图：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的学习。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述性定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。

以初中最基本的三个函数入手，引导学生利用初中学过的的描述性定义，给出图像上升或者下降趋势的自然语言。一方面可以让学生感受从图像直观到自然语言的转化，另一方面为下一个符号化语言建构概念作铺垫。

3）建构概念

问题3 如何用数学符号化语言来准确地表述增函数呢？

第一步：将两个“增大”符号化，

第二步：再将“随”符号化，

第三步：再将隐含语言“任意”符号化。

   能否通过个别数值来说明单调性呢？例如，函数 ，取 =-1,2,3,4，、、、，相应地y=1,4,9,16，、、、。能不能说函数值y随x的增大而增大？

   对应区间I上有有限个或无限个自变量满足 且 ，都不能反映“函数值y随x的增大而增大”的本质。必须强调 的任意性，才能准确表述单调递增的特征。

第四步：再含语言“区间”符号化。

在“任意”的同时，还有“不任意”因为单调性描绘的是函数的局部性质，它与区间密不可分，强调定义中 。

于是得出增函数的定义：

一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ,如果对于区间 内任意两个 、 ，当 时，都有 ，那么就说 在区间 上是单调增函数， 称为 的单调增区间。

问题4 如何定义单调减函数呢？

减函数定义：一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ,如果对于区间 内任意两个 、 ，当 时，都有 ，那么就说 在区间 上是单调减函数， 称为 的单调减区间。

如果函数 在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数 在这个区间上具有单调性，这个区间就叫做函数 的单调区间。

设计意图：问题3的解决设计成逐层递进的四步，这样可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗略到严密的，让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。

问题4 要求学生结合图象和单调增函数的定义，通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，从而让学生掌握“类比”方法。在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的。

第二阶段：从不同角度深入理解函数单调性的概念。

（1）回到引入问题，深入理解。    

函数 的单调增区间是 函数 的单调增区间是

函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 。

（2）构成反例，加深对概念的理解

一个函数在定义域的若干区间内具有相同的单调性，能否说在定义域上具有相同的单调性呢？让学生们做下面例子

例1作函数 的图象，并写出它的单调区间。

解：图象如图所示， 和 是两个单调减区间。

提问：能不能说在定义域上是单调减函数呢？

引导讨论，从图像观察或区特殊值代入验证否定结论（如取 ）。

结论：(1)单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应的区间就谈不上单调性，即单调性具有局部性质。如请判断 在 的单调性。

（2）函数在定义域内的两个区间A,B上都是单调增函数（减函数），一般不能认为函数在A B上是单调增函数（减函数）

设计意图：在这里面我没有直接给出单调区间不能合并的问题，而是通过一个反例，让学生自己在探究的过程中发现这个问题，这样更有利于帮助学生理解单调区间不能合并的这个问题。

学生对一个概念的认识不可能一次完成，教师要善于从多个角度，通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵和外延。在学习如何证明一个函数单调性之前，先于学生一起探讨怎样才能否定一个函数的单调性对帮助学生理解单调性概念尤为重要。可以加深学生对“任意”两字的理解。

第三阶段：学会用函数单调性的定义判断并证明函数的单调性。

例2、试判断函数  在区间（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。

1．难点突破

分析：问1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？

        2：如何用定义法判定函数单调性？

        3：用定义判定函数单调性的关键是什么？（提示如何比较3和2的大小，从而引入作差法）

2．详细板书

在上面分析的基础上，我对证明过程进行规范、完整的板书，引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学生养成良好的学习习惯.

证明：函数  在（0，＋∞）上是增函数

设  是(0,＋∞)上的任意两个值,且 ，

则

又 ，故 ，

则 ，即：

因此，函数  在（0，＋∞）上是增函数。

3．归纳步骤

在板书的基础上，我引导学生归纳利用定义证明函数单调性的方法和步骤.通过对证明过程的分析，使学生明确每一步的必要性和目的，特别是第二步，让学生明确变形的方法以及变形的程度，帮助学生掌握方法，提高学生的推理论证能力。

判断函数单调性的主要方法：观察法——画出函数图象来观察；定义法——严格按照定义进行验证；

    （2）概括出定义证明函数单调性的一般步骤：

1、取值:设任意 属于给定区间，且 ；

2、作差变形: 变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；

3、定号:确定 的正负号；

4、下结论:由定义得出函数的单调性。

设计意图：单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，通过本例，要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事。同时通过本例，一方面让学生初步掌握利用函数单调性的概念证明函数在某个区间上是增减函数的方法和步骤，另一方面，培养学生归纳总结的能力，提高学生的推理论证能力。

   为了巩固用定义证明函数单调性的方法，强化解题步骤，形成并提高解题能力，我设计了课堂练习：

证明：函数 在 上是增函数．

归纳小结，提高认识

1．学习小结

我要求学生从知识层面和方法层面上总结这堂课的主要内容，必要时我加以补充。

在知识层面上，引导学生回顾函数单调性定义的探究过程，使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义.

在方法层面上，首先引导学生回顾判断，证明函数单调性的方法和步骤；然后引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等，重点强调用符号语言来刻画图形语言,用定量分析来解释定性结果；同时对学习过程作必要的反思,为后续的学习做好铺垫.

在布置书面作业的同时，为了尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，我设计了探究作业供学有余力的同学课后完成.

(1) 研究函数 的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

目的是使学生体会到利用函数的单调性可以简化函数图象的绘制过程，体会由数到形的研究方法和引入单调性定义的必要性，加深对数形结合的认识．

(2) 证明：函数 在 上是增函数的充要条件是对任意的 ，且 有 ．

目的是加深学生对定义的理解，为以后学习作一些准备。