1.3.1 单调性与最大（小）值教案和课堂实录

1.3.1　单调性与最大（小… 高中数学       人教A版2003课标版

       本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第一章《集合与函数概念》1.3《函数的基本性质》中第1.3.1节《单调性与最大（小）值》的第一课时，本节教学内容为函数的单调性．函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质．函数单调性的概念是研究具体函数单调性的理论依据，在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有重要应用，因而函数单调性概念是中学数学中最重要的概念之一．

       在研究单调性过程中，经历观察图象，描述函数图象特征；结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；用数学符号语言定义函数性质的过程．体现了对函数研究的一般方法．加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．

       在对函数单调性的探究过程中，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力；让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

       学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是描述事物运动变化规律的数学模型，并且学习了一次函数、二次函数及反比例函数，能熟练的利用描点法画出这些函数的图象.进入高中以后又进一步学习了函数概念，认识到函数是两个非空数集间的一种对应．知道函数有三种表示方法，充分认识到一个函数中自变量与函数值的对应关系，可以利用图象表示函数中函数值随自变量 的变化而变化的规律和性质.

      “图象是上升的，函数是单调递增的；图象是下降的，函数是单调递减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征，学生并不感到困难.困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性特征抽象出来，用数学的符号语言描述.即把某区间上“ 随着 的增大而增大”这一特征用该区间上“任意的 ，都有 ”进行刻画.其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的 ．

        教学中，通过一次函数、二次函数等具体的函数图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，即“ 随着 的增大而增大”，初步提出单调递增的说法，通过图表观察，提出猜想，经历讨论、交流、验证使学生克服思维障碍，经历从直观到抽象、具体到一般的形成知识的过程．

（一）知识与技能

   1. 能从形与数两方面理解函数单调性的概念.

   2. 掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）.

（二）过程与方法

   1. 通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，感知从具体到抽象，从特殊到一般，从   感性到理性的认知过程．

   2. 通过对函数单调性定义的探究，感悟数形结合的思想方法，提高推理论证能力．

（三）情感态度与价值观

   在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境.

教学重点：形成增（减）函数形式化定义.

 教学难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述，用定义证明函数单调性.

      为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上我主要采取了以下的策略：

     （1）创设生活情境，找准切入点．函数是描述事物运动变化规律的模型，生活中很多运动变化的现象都值得去关注，让学生通过观察天津市某天气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识，并为概念的引入提供了必要性．让学生带着问题（什么是函数的单调性？怎样判定函数的单调性？）进入新课．

     （2）探索概念阶段，紧扣主线．在函数ƒ (x)=x² 图象上“谱好”函数单调性教学的“三步曲”．

       ①以学生熟悉的函数ƒ (x)=x²  为例，让学生从图象上获得“上升”“下降”的整体认识，初步认识函数单调性．

       ②通过观察函数ƒ (x)=x²  的x,y  对应值表格提出猜想，通过几何画板软件加以验证，用数学语言“ y 随着x  的增大而增大” 来描述 “函数ƒ (x)=x²  的图象在y  轴右侧是上升的”，进一步认识函数单调性．

       ③通过观察、猜想、分析、验证、证明的过程，从而用数学符号语言定描述函数ƒ (x)=x²  在 (0,+∞) ​的单调性.最后通过类比，用数学符号语言定义一般函数的单调性．

     （3）注重思想方法的培养．从函数 ƒ (x)=x² 图象的观察出发，经历从直观到抽象，从图形语言到数学符号语言，进而理解增函数、减函数、单调区间概念的过程中，感悟数形结合思想、特殊到一般思想．掌握通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这一研究函数性质的常用方法．

     （4）注重数学应用意识的培养．在整个教学过程中，通过温度曲线创设情境，找准切入点，进入新课．在练习1（1）中，利用温度曲线构造反例，帮助学生理解函数单调性中的“任意性”．在归纳反思中，利用温度曲线说明学习函数单调性知识具有实际意义．

我们知道，函数是研究事物运动变化规律的模型，生活中就有许多运动变化的现象是我们经常关注的，如某日天津市24小时的温度曲线．

问题1：观察图形，你能得到什么信息？

师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充． 

【设计意图】通过学生熟悉的实际问题引入课题．为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．学生通过观察天津市某天气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识．

问题2：观察函数ƒ (x)=x  ƒ (x)=x² 的图象随自变量x 的增大，是如何变化的？

学生获取函数ƒ (x)=x² 的图象升降特点后，教师以函数ƒ (x)=x² 为例，初步认识函数单调性：

函数ƒ (x)=x² 的图象在y 轴左侧随着自变量 x 增大而下降，我们说函数ƒ (x)=x² 在区间 (−∞,0)上是减函数；在y 轴右侧随着自变量x 增大上而升，就说函数ƒ (x)=x²  在区间 (0,+∞) 是增函数．

师生活动：教师引导，学生观察图象从左至右的变化情况，并回答问题．

【设计意图】体会函数ƒ (x)=x  的图象是上升的，函数ƒ (x)=x²  的图象在 y 轴左侧是下降的，在 y 轴右侧是上升的．以函数 ƒ (x)=x² ​的图象为例，通过函数的图象直观感知函数的单调性，初步认识函数单调性定义．

问题3：

①函数 ƒ (x)=x² 的图象在 y 轴右侧是上升的，如何用数学语言来描述这种“上升”？

②观察表格， 轴右侧自变量值与对应的函数值的变化规律是怎样的？

教师提出问题①后，组织学生填写表格，观察图表

师生活动：学生观察函数ƒ (x)=x²  图象在y  轴右侧是上升的，提出函数 ƒ (x)=x² 在区间 上y  随x  的增大而增大，在教师的帮助下，借助几何画板软件加以验证．

【设计意图】观察函数 ƒ (x)=x² 的图象，用“在y  随x  的增大而增大”描述“图象在 轴右侧是上升的”，进一步认识函数的单调性，从图形的刻画过渡到数量关系，即从图形语言的表述过渡到数学语言的表述． 

问题4：如何用数学符号语言描述函数ƒ (x)=x²  在 y 随x  的增大而增大？

师生活动：学生在教师的引导下，总结：

函数ƒ (x)=x²  ，在区间(0,+∞) 上任取值x₁,x₂ ，当 x₁<x₂ 时，都有ƒ (x₁)<ƒ (x₂)  ．就能说明函数ƒ (x)=x² 在区间(0,+∞)  上y  随x 的增大而增大；函数 ƒ (x)=x² 是增函数.

引导学生观察图象，进行验证，并通过作差比较，对函数 ƒ (x)=x² 在区间(0,+∞)  上

当 x₁<x₂ 时，都有ƒ (x₁)<ƒ (x₂)  ，给予证明．

经历上述观察、猜想、分析、验证、证明的过程，得到结论：

   函数ƒ (x)=x²  定义域为R，在(0,+∞)  上任意的 x₁,x₂ 的值，当x₁<x₂  时，都有ƒ (x₁)<ƒ (x₂)  ．我们就说函数 ƒ (x)=x² 在区间(0,+∞)  上是增函数.

【设计意图】结合图、表，学生在教师的引导，结合其初中的认知基础，学生在教师的引导下，用数学符号语言“函数ƒ (x)=x² ，在区间(0,+∞)  上任取两个x₁,x₂  ，当 x₁<x₂ 时，有ƒ (x₁)<ƒ (x₂)  ”来描述“y  随着x  的增大而增大”，学生经历从直观到抽象，从图形语言到数学符号语言，进而理解增函数、减函数、单调区间概念的过程．

问题5：对于一般的函数y=ƒ (x)  定义域为I ，在区间D 上，我们应当如何给增函数下定义？

引导学生给增函数下定义：

一般地，设函数 y=ƒ (x) 的定义域为 ：

如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值x₁,x₂  ，当 x₁<x₂ 时，都有ƒ (x₁)<ƒ (x₂)  ，那么就说函数在区间 D 上是增函数．

师生活动：学生思考、发言，教师补充、板书． 

【设计意图】体现了对函数研究的一般方法：由特殊到一般的思想方法．

问题6：类比增函数的定义，对于一般的函数y=ƒ (x) ​，我们应当如何给减函数下定义？

教师引导学生通过类比、观察、验证、交流后，得出减函数定义

师生活动：小组讨论，代表发言交流． 

【设计意图】得出减函数定义，培养学生的类比能力．

练习1：判断下列说法是否正确，说明理由：

（1）某地0点温度高于1点半的温度，1点半的温度高于5点的温度，则该地0点至5点温度一直在下降.

（2）对于区间 

[0,+∞] 上的任意 x 有ƒ (x)<ƒ (0)  ，则函数y=ƒ (x) 在区间 [0,+∞] 上单调递增．若不正确，请画图说明理由.

师生活动：学生回答练习（1）后教师通过本节课开始的“某日天津24小时的温度曲线”作为反例进行说明，练习（2）学生通过作图展示说明．

【设计意图】通过辨析，学生进一步体验到定义中的两个自变量应该“任意”选取．

例1：下图是定义在区间[-5,+5] 上的函数 y=ƒ (x) ，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

师生活动：学生观察图象，独立完成，教师解答学生在解决问题过程中出现的问题．如：

①单调区间是定义域的子集；

②本题中，如果用并集符号，不符合单调性定义；

③本题中，区端点处有意义，那么区间开闭都可以．

【设计意图】学生能够通过函数图象说出函数的单调区间，加深对函数单调性概念的理解．

例2：物理学中的玻意耳定律p=kv   ( k 为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积v  减小时，压强 p 将增大．试用函数的单调性证明之．

师生活动：帮助学生分析例2，引导学生将物理问题转化为数学问题，解题过程由学生思考陈述，教师板书证明过程，师生共同总结用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤．

【设计意图】利用单调性证明物理学中的玻意耳定律，学生感受到函数单调性的初步应用；教师引导下，学生熟悉用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤．

探究二：反比例函数y=1x   的单调性

问题7：

①画出反比例函数 y=1x  的图象，并说出函数的定义域 是什么？

②它在定义域上的单调性是怎样的？

③证明你的结论．

师生活动：学生讨论，代表发言，提出猜想，证明猜想．

【设计意图】学生体会：通过数形结合思想的运用，观察图象，先对函数是否具有某种性质进行猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，是研究函数性质的一种常用方法．

问题8：通过本节课学习，你有哪些收获？

师生活动：学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法．

【设计意图】使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法．

1．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数．

    2．证明函数ƒ (x)=−2x+1  在R ​ 上是减函数．

（1）基础达标：

 ①教材中练习的第1、2题；

②求证：函数 ƒ (x)=x² 在区间 (−∞,0) 上是减函数．

（3）思考探究：函数y=ƒ (x)  定义域内的某个区间D上任意两个自变量x₁,x₂  的值，当x₁<x₂  时，都有ƒ (x₁)−ƒ (x₂)x₁−x₂ <0  ，则函数在区间D上是               ．（填“增函数”或“减函数”）

1.3.1　单调性与最大（小）值

1.3.1　单调性与最大（小）值

我们知道，函数是研究事物运动变化规律的模型，生活中就有许多运动变化的现象是我们经常关注的，如某日天津市24小时的温度曲线．

问题1：观察图形，你能得到什么信息？

师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充． 

【设计意图】通过学生熟悉的实际问题引入课题．为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．学生通过观察天津市某天气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识．

问题2：观察函数ƒ (x)=x  ƒ (x)=x² 的图象随自变量x 的增大，是如何变化的？

学生获取函数ƒ (x)=x² 的图象升降特点后，教师以函数ƒ (x)=x² 为例，初步认识函数单调性：

函数ƒ (x)=x² 的图象在y 轴左侧随着自变量 x 增大而下降，我们说函数ƒ (x)=x² 在区间 (−∞,0)上是减函数；在y 轴右侧随着自变量x 增大上而升，就说函数ƒ (x)=x²  在区间 (0,+∞) 是增函数．

师生活动：教师引导，学生观察图象从左至右的变化情况，并回答问题．

【设计意图】体会函数ƒ (x)=x  的图象是上升的，函数ƒ (x)=x²  的图象在 y 轴左侧是下降的，在 y 轴右侧是上升的．以函数 ƒ (x)=x² ​的图象为例，通过函数的图象直观感知函数的单调性，初步认识函数单调性定义．

问题3：

①函数 ƒ (x)=x² 的图象在 y 轴右侧是上升的，如何用数学语言来描述这种“上升”？

②观察表格， 轴右侧自变量值与对应的函数值的变化规律是怎样的？

教师提出问题①后，组织学生填写表格，观察图表

师生活动：学生观察函数ƒ (x)=x²  图象在y  轴右侧是上升的，提出函数 ƒ (x)=x² 在区间 上y  随x  的增大而增大，在教师的帮助下，借助几何画板软件加以验证．

【设计意图】观察函数 ƒ (x)=x² 的图象，用“在y  随x  的增大而增大”描述“图象在 轴右侧是上升的”，进一步认识函数的单调性，从图形的刻画过渡到数量关系，即从图形语言的表述过渡到数学语言的表述． 

问题4：如何用数学符号语言描述函数ƒ (x)=x²  在 y 随x  的增大而增大？

师生活动：学生在教师的引导下，总结：

函数ƒ (x)=x²  ，在区间(0,+∞) 上任取值x₁,x₂ ，当 x₁<x₂ 时，都有ƒ (x₁)<ƒ (x₂)  ．就能说明函数ƒ (x)=x² 在区间(0,+∞)  上y  随x 的增大而增大；函数 ƒ (x)=x² 是增函数.

引导学生观察图象，进行验证，并通过作差比较，对函数 ƒ (x)=x² 在区间(0,+∞)  上

当 x₁<x₂ 时，都有ƒ (x₁)<ƒ (x₂)  ，给予证明．

经历上述观察、猜想、分析、验证、证明的过程，得到结论：

   函数ƒ (x)=x²  定义域为R，在(0,+∞)  上任意的 x₁,x₂ 的值，当x₁<x₂  时，都有ƒ (x₁)<ƒ (x₂)  ．我们就说函数 ƒ (x)=x² 在区间(0,+∞)  上是增函数.

【设计意图】结合图、表，学生在教师的引导，结合其初中的认知基础，学生在教师的引导下，用数学符号语言“函数ƒ (x)=x² ，在区间(0,+∞)  上任取两个x₁,x₂  ，当 x₁<x₂ 时，有ƒ (x₁)<ƒ (x₂)  ”来描述“y  随着x  的增大而增大”，学生经历从直观到抽象，从图形语言到数学符号语言，进而理解增函数、减函数、单调区间概念的过程．

问题5：对于一般的函数y=ƒ (x)  定义域为I ，在区间D 上，我们应当如何给增函数下定义？

引导学生给增函数下定义：

一般地，设函数 y=ƒ (x) 的定义域为 ：

如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值x₁,x₂  ，当 x₁<x₂ 时，都有ƒ (x₁)<ƒ (x₂)  ，那么就说函数在区间 D 上是增函数．

师生活动：学生思考、发言，教师补充、板书． 

【设计意图】体现了对函数研究的一般方法：由特殊到一般的思想方法．

问题6：类比增函数的定义，对于一般的函数y=ƒ (x) ​，我们应当如何给减函数下定义？

教师引导学生通过类比、观察、验证、交流后，得出减函数定义

师生活动：小组讨论，代表发言交流． 

【设计意图】得出减函数定义，培养学生的类比能力．

练习1：判断下列说法是否正确，说明理由：

（1）某地0点温度高于1点半的温度，1点半的温度高于5点的温度，则该地0点至5点温度一直在下降.

（2）对于区间 

[0,+∞] 上的任意 x 有ƒ (x)<ƒ (0)  ，则函数y=ƒ (x) 在区间 [0,+∞] 上单调递增．若不正确，请画图说明理由.

师生活动：学生回答练习（1）后教师通过本节课开始的“某日天津24小时的温度曲线”作为反例进行说明，练习（2）学生通过作图展示说明．

【设计意图】通过辨析，学生进一步体验到定义中的两个自变量应该“任意”选取．

例1：下图是定义在区间[-5,+5] 上的函数 y=ƒ (x) ，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

师生活动：学生观察图象，独立完成，教师解答学生在解决问题过程中出现的问题．如：

①单调区间是定义域的子集；

②本题中，如果用并集符号，不符合单调性定义；

③本题中，区端点处有意义，那么区间开闭都可以．

【设计意图】学生能够通过函数图象说出函数的单调区间，加深对函数单调性概念的理解．

例2：物理学中的玻意耳定律p=kv   ( k 为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积v  减小时，压强 p 将增大．试用函数的单调性证明之．

师生活动：帮助学生分析例2，引导学生将物理问题转化为数学问题，解题过程由学生思考陈述，教师板书证明过程，师生共同总结用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤．

【设计意图】利用单调性证明物理学中的玻意耳定律，学生感受到函数单调性的初步应用；教师引导下，学生熟悉用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤．

探究二：反比例函数y=1x   的单调性

问题7：

①画出反比例函数 y=1x  的图象，并说出函数的定义域 是什么？

②它在定义域上的单调性是怎样的？

③证明你的结论．

师生活动：学生讨论，代表发言，提出猜想，证明猜想．

【设计意图】学生体会：通过数形结合思想的运用，观察图象，先对函数是否具有某种性质进行猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，是研究函数性质的一种常用方法．

问题8：通过本节课学习，你有哪些收获？

师生活动：学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法．

【设计意图】使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法．

1．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数．

    2．证明函数ƒ (x)=−2x+1  在R ​ 上是减函数．

（1）基础达标：

 ①教材中练习的第1、2题；

②求证：函数 ƒ (x)=x² 在区间 (−∞,0) 上是减函数．

（3）思考探究：函数y=ƒ (x)  定义域内的某个区间D上任意两个自变量x₁,x₂  的值，当x₁<x₂  时，都有ƒ (x₁)−ƒ (x₂)x₁−x₂ <0  ，则函数在区间D上是               ．（填“增函数”或“减函数”）