27.1 图形的相似教学活动设计方案

地区： 甘肃省 - 甘　南 - 迭部县

学校：迭部县旺藏乡九年制学校

27.1　图形的相似 初中数学       人教2011课标版

1知识与 技能

    (1).  掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似。

    (2).  能根据相似比进行计算，训练学生判断能力及对数学定义的运用能力。

2 过程与方法

    (1). 领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性。

    (2). 经过本节的学习，培养学生通过类比得到新知识的能力，掌握相似三角形

       的定义及表示法，会运用相似比解决相似三角形的边长问题。

3 情感态度与价值观

     (1). 经历相似多边形有关概念的类比，渗透类比的数学思想，并领会特殊与

一般的关系。

     (2). 深化对相似三角形定义的理解和认识.发展学生的想象能力，应用能力,建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度

在七年级的学习中,学生通过观察、测量、画图 、拼摆 等数学活动, 体会了全等三角形中“对应关系”的重要作用。上一节课“相似多边形”的学习，使学生在探索相似形本质特征的过程中，发展了有条理地思考与表达,归纳，反思，交流等能力。

第一环节  情景引入   归纳定义

活动内容：回顾与思考(教师展示课件并设问，学生观察类比、自主探索归纳相似三角形的定义)

1.上节课我们学习了相似多边形的定义及记法, 请同学们观察下列图形，并指出哪些图形相似？相似图形的对应边、对应角有什 么关系？

2.请问相似三角形是相似多边形吗？请同学们回忆一下什么叫相似多边形？

3.那么由“相似多边形的定义”你能得出“相似三角形的定义”吗？

4.相似三角形的定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形（similar trangles）

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF

注意：表示两个三角形相似时，要向表示全等

三角形那样把对应顶点写在对应的位置上。

活动目的：通过对旧知识的回顾、经历与相似多边形有关概念的类比，培养学生通过类比探索得到新知识的能力，进而掌握相似三角形的定义及表示法。

活动实际效果：学生的学习热情非常高，轻而易举就归纳出相似三角形的定义，且较好地掌握了相似三角形的表示法。

第二环节：运用定义   解决问题

活动内容：想一想  议一议  例1  例2

1.想一想(展示课件，教师引导、学生自主探索并归纳出相似三角形的性质）

如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？

对应边呢？

解：∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F.

是对应角

   AB与DE  AC与DF  BC与EF

是对应边

   ∠A=∠D、∠B=∠E 、∠C=∠F.

= .=

相似三角形性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2.议一议（展示课件，让学生动手画一画、量一量、算一算，并小组讨论，选代表说明理由）

（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？

（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？

（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个 等边三角形呢？为什么？

解：（1）两个全等三角形一定相似.

因为两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以两个全等三角形一定相似.

（2）两个直角三角形不一定相似.

   如图，虽然都是直角三角形，

但也只能确定有一对角即直角相等，

其他的两对角可能相等，也可能不相等，

对应边也不一定成比例，所以它们不一定相似.

两个等腰直角三角形一定相似

.    如图, 在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∠C=∠F=90°，则∠A=∠B=∠D=∠E=45°，所以有

∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.

再设△ABC中AC=b，△DEF中DF=a，则

AC=BC=b，AB= b

DF=EF=a，DE= a

   = = =1    

所以两个等腰直角三角形一定相似.

（3）如图,两个等腰三角形不一定相似.

    如图：因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等，

但另一边不固定，因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，因此不用再去讨论对应角满足什么条件，就可以确定这两个等腰三角形不一定相似

   如图：两个等边三角形一定相似.

   因为等边三角形的各边都相等，各角都等于60度，

因此这两个等边三角形一定有对应角 相等、

对应边成比例，所以它们一定相似

.   例1  例2（展示课件，教师引导分析、学生自主探索，培养学生应用知识解决问题的能力）

3.如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m，在这个草坪的图纸上，这条边长5 cm，其他两边的长都是3.5 cm，求该草坪其他两边的实际长度.                           

解：草坪的形状与其图纸上相应的形状相似，

它们的相似比是2000∶5=400∶1

如果设其他两边的实际长度都是x cm，

那么 =

则 x=3.5×400=1400（cm）=14（m）

所以，草坪其他两边的实际长度都是14 m .

4.如图,已知△ABC∽△ADE, AE=50 cm,  EC=30 cm,  BC=70 cm,  ∠BAC=45°,

∠ACB=400，求

  （1）∠AED和∠ADE的度数。

    （2）DE的长.

解：（1）因为△ABC∽△ADE.

所以由相似三角形对应角相等，得

∠AED=∠ACB=40°

在△ADE中，

∠AED+∠ADE+∠A=180°

即40°+∠ADE+45°=180°,

所以∠ADE=180°－40°－45°=95°.

（2）因为△ABC∽△ADE，所以由相似三角形对 应边成比例，得

=    即 =

所以   DE= =43.75(cm)

                                                                                                                                                                            活动目的：让学生动手画一画、量一量、算一算得出两个三角形之间的是否相似？有什么关系？进而考察学生的自主学习情况（包括独立思考能力）和小组间的互助情况。

活动实际效果：学生普遍对教材的内容能够较好地掌握，但对知识的延伸和拓展，由于教材缺乏相关内容，学生的思维无法独立产生飞跃，所以需要教师备课时先做好延伸的准备，即备好相关的内容。这样，教学时学生就犹如享受知识的大餐，使之心理上产生愉悦，进而较好地掌握知识。

第三环节  加深理解   探索规律

活动内容：想一想 合作探究 巩固练习 （展示课件，教师引导、学生合作探究，寻找解决问题的规律）

   1.想一想

在例2的条件下，图4-16中有哪些线段成比例？

解：成比例线段有 =

  △ABC∽△ADE

  = =      =

  =     即 =

图中有互相平行的线段，即DE∥BC.因为△ABC∽△ADE，所以∠ADE=∠B.由平行线的判定方法知DE∥BC.

2.合作探究

1. 在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x，y，m，n的值.

                                  （第1题）

解：在（1）中

    ABO∽ CDO

  =

   x=32

在（2）中，由两三角形相似可知：对应角相等，对应边成比例.所以，

n=55，m=80, y=

2.等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形A′B′C′相似，相似比为3∶1，已知斜边AB=5 cm，(1) 求 △A′B′C′斜边A′B′的长， (2) 求△A′B′C′斜边A′B′上的高。

解：(1) 如图所示，因为△ABC∽△A′B′C′，

A′且相似比为3∶1.                                            

所以  =  .   即 =               

A′B′= （cm）                             D                                                 

(2) C′D′= A′B′= （cm）     

    3.巩固练习:  略

活动目的：加深对相似三角形概念和性质的理解，发展学生的应用能力,建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。

活动实际效果：大部分学生普遍掌握较好，只是个别学生思维能力和计算能力较慢，没有时间等待他们探索出给论，这样他们对这节课所学的内容理解不透彻，应用新知解决问题能力也较差，今后要注意给每一个学生留有足够的时间和空间，使不同的学生有不同的发展。

27.1　图形的相似

27.1　图形的相似

第一环节  情景引入   归纳定义

活动内容：回顾与思考(教师展示课件并设问，学生观察类比、自主探索归纳相似三角形的定义)

1.上节课我们学习了相似多边形的定义及记法, 请同学们观察下列图形，并指出哪些图形相似？相似图形的对应边、对应角有什 么关系？

2.请问相似三角形是相似多边形吗？请同学们回忆一下什么叫相似多边形？

3.那么由“相似多边形的定义”你能得出“相似三角形的定义”吗？

4.相似三角形的定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形（similar trangles）

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF

注意：表示两个三角形相似时，要向表示全等

三角形那样把对应顶点写在对应的位置上。

活动目的：通过对旧知识的回顾、经历与相似多边形有关概念的类比，培养学生通过类比探索得到新知识的能力，进而掌握相似三角形的定义及表示法。

活动实际效果：学生的学习热情非常高，轻而易举就归纳出相似三角形的定义，且较好地掌握了相似三角形的表示法。

第二环节：运用定义   解决问题

活动内容：想一想  议一议  例1  例2

1.想一想(展示课件，教师引导、学生自主探索并归纳出相似三角形的性质）

如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？

对应边呢？

解：∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F.

是对应角

   AB与DE  AC与DF  BC与EF

是对应边

   ∠A=∠D、∠B=∠E 、∠C=∠F.

= .=

相似三角形性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2.议一议（展示课件，让学生动手画一画、量一量、算一算，并小组讨论，选代表说明理由）

（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？

（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？

（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个 等边三角形呢？为什么？

解：（1）两个全等三角形一定相似.

因为两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以两个全等三角形一定相似.

（2）两个直角三角形不一定相似.

   如图，虽然都是直角三角形，

但也只能确定有一对角即直角相等，

其他的两对角可能相等，也可能不相等，

对应边也不一定成比例，所以它们不一定相似.

两个等腰直角三角形一定相似

.    如图, 在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∠C=∠F=90°，则∠A=∠B=∠D=∠E=45°，所以有

∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.

再设△ABC中AC=b，△DEF中DF=a，则

AC=BC=b，AB= b

DF=EF=a，DE= a

   = = =1    

所以两个等腰直角三角形一定相似.

（3）如图,两个等腰三角形不一定相似.

    如图：因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等，

但另一边不固定，因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，因此不用再去讨论对应角满足什么条件，就可以确定这两个等腰三角形不一定相似

   如图：两个等边三角形一定相似.

   因为等边三角形的各边都相等，各角都等于60度，

因此这两个等边三角形一定有对应角 相等、

对应边成比例，所以它们一定相似

.   例1  例2（展示课件，教师引导分析、学生自主探索，培养学生应用知识解决问题的能力）

3.如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m，在这个草坪的图纸上，这条边长5 cm，其他两边的长都是3.5 cm，求该草坪其他两边的实际长度.                           

解：草坪的形状与其图纸上相应的形状相似，

它们的相似比是2000∶5=400∶1

如果设其他两边的实际长度都是x cm，

那么 =

则 x=3.5×400=1400（cm）=14（m）

所以，草坪其他两边的实际长度都是14 m .

4.如图,已知△ABC∽△ADE, AE=50 cm,  EC=30 cm,  BC=70 cm,  ∠BAC=45°,

∠ACB=400，求

  （1）∠AED和∠ADE的度数。

    （2）DE的长.

解：（1）因为△ABC∽△ADE.

所以由相似三角形对应角相等，得

∠AED=∠ACB=40°

在△ADE中，

∠AED+∠ADE+∠A=180°

即40°+∠ADE+45°=180°,

所以∠ADE=180°－40°－45°=95°.

（2）因为△ABC∽△ADE，所以由相似三角形对 应边成比例，得

=    即 =

所以   DE= =43.75(cm)

                                                                                                                                                                            活动目的：让学生动手画一画、量一量、算一算得出两个三角形之间的是否相似？有什么关系？进而考察学生的自主学习情况（包括独立思考能力）和小组间的互助情况。

活动实际效果：学生普遍对教材的内容能够较好地掌握，但对知识的延伸和拓展，由于教材缺乏相关内容，学生的思维无法独立产生飞跃，所以需要教师备课时先做好延伸的准备，即备好相关的内容。这样，教学时学生就犹如享受知识的大餐，使之心理上产生愉悦，进而较好地掌握知识。

第三环节  加深理解   探索规律

活动内容：想一想 合作探究 巩固练习 （展示课件，教师引导、学生合作探究，寻找解决问题的规律）

   1.想一想

在例2的条件下，图4-16中有哪些线段成比例？

解：成比例线段有 =

  △ABC∽△ADE

  = =      =

  =     即 =

图中有互相平行的线段，即DE∥BC.因为△ABC∽△ADE，所以∠ADE=∠B.由平行线的判定方法知DE∥BC.

2.合作探究

1. 在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x，y，m，n的值.

                                  （第1题）

解：在（1）中

    ABO∽ CDO

  =

   x=32

在（2）中，由两三角形相似可知：对应角相等，对应边成比例.所以，

n=55，m=80, y=

2.等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形A′B′C′相似，相似比为3∶1，已知斜边AB=5 cm，(1) 求 △A′B′C′斜边A′B′的长， (2) 求△A′B′C′斜边A′B′上的高。

解：(1) 如图所示，因为△ABC∽△A′B′C′，

A′且相似比为3∶1.                                            

所以  =  .   即 =               

A′B′= （cm）                             D                                                 

(2) C′D′= A′B′= （cm）     

    3.巩固练习:  略

活动目的：加深对相似三角形概念和性质的理解，发展学生的应用能力,建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。

活动实际效果：大部分学生普遍掌握较好，只是个别学生思维能力和计算能力较慢，没有时间等待他们探索出给论，这样他们对这节课所学的内容理解不透彻，应用新知解决问题能力也较差，今后要注意给每一个学生留有足够的时间和空间，使不同的学生有不同的发展。

• 优点:

  该节课教学程序设计巧妙，在教学过程中能运用上新颖独特教学

• 缺点:

  无

• 优点:

  学情分析透彻

• 缺点:

  无

• 优点:

  环节齐全，条理清楚

• 缺点:

  无

• 优点:

  好

• 缺点:

  无

• 优点:

  第一：清晰明了的展示教学目标 第二：教学能力上有良好的教学基本功。

• 缺点:

  无