实验与探究 π的估计全国优秀课堂实录

地区： 河南省 - 焦作市 - 孟州市

学校：孟州市化工镇第二初级中学

实验与探究　π的估计 初中数学       人教2011课标版

目标：了解用频率估计概率的必要性和合理性，初步理解概率的统计定义；能通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率；培养学生的动手能力和处理数据的能力，培养学生的理性精神.

　　目标解析：1、能够通过试验获得事件发生的频率，并通过大量重复试验，让学生体会到随机事件内部所蕴涵的客观规律——频率的稳定性. 知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值.

　　2、结合生活实例，能进一步明晰频率与概率的区别与联系，了解用频率估计概率的方法与列举法求概率的区别，并能够通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率.

　　3、在经历用试验的方法探究概率的过程中，培养学生的动手能力、处理数据的能力，进一步增强统计意识、发展概率观念，同时培养学生实事求是的态度、勇于探索的精神及交流与协作精神

由于学生初学概率，且在此之前面对求概率的随机事件都是等可能事件，对于一些结果不是等可能的随机事件（如：认为姚明一次罚篮的结果进与不进是等可能的）会依然采取列举法，这类现象产生的原因是对用列举法求概率的两个条件把握不够，对事件发生的可能性大小分析不透彻所致.

了解用频率估计概率的必要性和合理性.

（一）情景引入：

　　问题1：姚明罚篮一次命中概率有多大？

播放“NBA”（美国男子篮球职业联赛）08—09赛季火箭队VS奇才队的比赛片段，在姚明罚篮球出手后，画面停滞，屏幕显示：问题：姚明罚进的概率有多大？

学生先思考、讨论、发言后媒体出示甲、乙、丙的说法：

甲：100%  姚明是世界明星嘛！ 乙：50%  因为只有进和不进两种结果，所以概率为50%. 丙：80%  姚明很准的，大概估计有80%的可能性.

同学们，你们同意谁的观点？

学生充分交流后，老师对不同说法进行适当的评价，并借机复习用列举法求概率的条件，引导学生分析进与不进的可能性不相等，不能用列举法来求概率.

师：那它究竟有没有规律，或者说还有没有其它的办法探求概率呢？

屏幕上闪烁显示08—09赛季姚明罚篮命中率86. 6%.

师：姚明的命中率从何而来？（统计结果）

怎么统计的？（罚中个数与罚球总数的比值）

这个比值叫什么？（这实际上就是频率，这种方法实际上就是用频率估计概率）

　　在此基础上，导出课题.

　　设计意图：从学生熟悉、感兴趣的事物和最喜欢的球星引入，激发学习兴趣的同时，得出姚明罚篮命中的可能性不相等，由此引发认知冲突，导入新课.

　　（二）试验探究

　　问题2：怎样用频率估计概率？

　　1、抛掷一枚硬币正面（有数字的一面）向上的概率是二分之一，这个概率能否利用刚才计算命中率方法──通过统计很多掷硬币的结果来得到呢？

设计意图：已知概率的情况下引入试验，基于以下原因：（1）抛掷硬币试验所需条件容易实现，可操作性强；（2）硬币试验历史上积累了大量数据，更有利于问题的说明；（3）用频率估计概率可以和前两节学习的概率的古典定义统一，两种不同的方法求得的是同一个概率，且概率的统计定义比古典定义更具一般性.

　　2、试验一（掷硬币试验）（配合亲切童声播放）

　　全班共分8个小组，每小组5人，共抛50次，推荐组长一名，组长不参与抛掷.

　　（1）抛掷要求：①抛掷时请将书本文具收入课桌内；②两人一组合，完成25次抛掷，一人抛一人画“正”记数，抛掷一次划记一次，“正面向上”一次划记一次；③抛的高度要达到自己坐姿的头顶高度，若硬币掉在地上，本次不作记录.

　　（2）组长职责：①检查组员抛掷是否符合要求；②收集本组数据，把数据录入教师机中的抛掷情况表. 全班共同填写硬币抛掷统计表（表3），将第1组数据填在第一列，第1、2组的数据之和填在第二列，……8个组的数据之和填在第8列.

　　设计意图：①“在相同条件下”使数据更真实有效；②合理分组，可以减少劳动强度，加快试验速度，同时在培养动手能力与探索精神中，培养团队协作精神.

表1（个人抛掷情况统计表）

表2（小组抛掷情况统计表）

表3（硬币抛掷统计表）

设计意图：这几个图表的给出可以正确有效地引导学生在有限的课堂时间内高效率地得到相关的试验数据及整理描述数据，为分析数据作准备. 同时，试验整个操作过程均由学生参与完成，教师只是作为组织者参与其中，关注学生的投入程度──能否积极、主动地从事各项活动，向同伴解释自己的想法，听取别人的建议与意见；关注学生在活动中表现出的实践能力、思维水平、团队意识.

　　问题3：分析试验结果及史上数学家大量重复试验数据，大家有何发现？

　　3、分析数据

全班填写表3得到硬币正面向上频率的同时，教师在黑板上绘制折线图，完成后教师提问：

①随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在哪个数字的左右摆动？

②随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在0. 5的左右摆动幅度有何规律？（学生从折线图1中难以发现）

师：接下来，我们增加试验次数，看看有什么新的发现，历史上有许多数学家为了弄清其中的规律，曾坚持不懈的做了成千上万次的掷硬币试验.

引导学生关注数学家的严谨，师：还有一位数学家，做了八万多次的试验.

观察频率在0. 5附近摆动幅度有何规律？

观察折线图2：

③请大家分析，两个折线图反映的规律有何区别？什么原因造成了不同？学生得出：图一，试验次数少一些，“正面向上”的频率在0. 5左右摆动的幅度大一些.

④你们认为出现的规律与试验次数有何关系？（试验次数越多频率越接近0. 5，即频率稳定于概率.）

⑤数学家为什么要做那么多试验？

⑥当“正面向上”的频率逐渐稳定到0. 5时，“反面向上”的频率呈现什么规律？概率与频率稳定值的关系是什么呢？

师生共同小结：至此，我们就验证了可以用计算罚篮命中率的方法来得到硬币“正面向上”的概率.

设计意图：这六个问题的设置，循序渐进，促使学生更深入的分析数据，学生发现大量重复试验时频率稳定于概率，在头脑中再现了知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习成为一种再创造的过程.

　　问题4：从一定高度落下的图钉，落地后可能图钉尖着地，也可能图钉尖不着地，估计一下哪种事件的概率更大.

试验二（抛掷图钉试验）

试验规则：1、全班分成8个小组，每小组5人，每组共完成50次试验，两人一组合完成25次试验，统一从数学课本高度处落下，做好记录；2、每个小组的组长汇总50次试验的结果，并报给教师，教师利用电子表格自动得出各组频率及累加后频率，绘制折线图.

表4（小组抛掷图钉统计表）

表5（图钉抛掷统计表）

　　从表中可以发现，“图钉尖着地”的频率在      左右摆动，并且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，所以估计从一定高度落下的图钉，图钉尖着地的概率是      .

　　设计意图：学生通过抛掷硬币试验，初步得出大量重复试验时硬币正面向上的频率具有稳定性，可以用试验方法获得概率，但对于试验结果不具有等可能性的随机事件（如姚明罚篮一次进与不进可能性不等）是否具有稳定性尚不清楚，意在进一步说明频率的“稳定性”.

　　（三）揭示新知

　　问题5：为什么可以用频率估计概率？

师：其实，不仅仅是掷硬币、掷图钉事件有规律，人们在大量的生产生活中发现：对于一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率也总在一个固定数附近摆动，显示出一定的稳定性.

引出瑞士数学家雅各布·伯努利最早阐明频率具有稳定性，介绍其家族前后三代共出13位大数学家和大物理学家，进行数学史的教育.

师：由于大量重复试验的频率具有稳定性，由此可根据这个稳定的频率来估计概率.

归纳：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的概率m/n会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)=P.

教师指出这是从统计的角度给出了概率的定义，也是探求概率的一种新方法，列举法仅限于试验结果有限个和每种结果出现的可能性相等的事件求概率，而用频率估计概率的方法不仅适用于列举法求概率的随机事件，而且对于试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等的随机事件，我们也可以用频率来估计概率.

　　设计意图：引入瑞士数学家雅各布·伯努利的故事，增加学生学习数学的兴趣，同时，增加学习自信心，通过比较概率的统计定义与古典定义，引导学生发现用频率估计概率思想方法的重要作用.

　　问题6：随机事件的概率P（A）有什么范围？对一个随机事件A，用频率估计的概率P（A）可能小于0吗？可能大于1吗？

　　设计意图：通过探求取值范围，促进学生对用频率估计概率的内涵有更深一层的认识.

　　（四）巩固练习

问题7：“抢”

某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：

①计算表中相应的“射中9环以上”的频率（精确到0. 01）；

②这些频率稳定在哪一个常数附近？

③根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0. 1）.

设计意图：巩固新知，知能升级.

问题8：“辩”

（1）天气预报说下星期一降水概率为90%，下星期三降水概率为10%，于是有位同学说：下星期一肯定下雨，下星期三肯定不下雨，你认为他说的对吗？

（2）抛掷硬币100次，一定有50次正面向上吗？抛掷2n次一定有n次正面向上吗？

（3）小明投篮5次，命中4次，他说一次投中的概率为5分之4对吗？

（4）小明的爸爸这几天迷上了体育彩票，该体育彩票每注是一个7位的数码，如能与开奖结果一致，则获特等奖；如果有相连的6位数码正确，则获一等奖；……；依次类推，小明的爸爸昨天一次买了10注这种彩票，结果中了一注一等奖，他高兴地说：“这种彩票好，中奖率高，中一等奖的概率是10%！小明爸爸的说法正确吗？”

　　设计意图：通过对生活中实例的辨析，进一步揭示概率的内涵──概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中反映出来. 反过来，试验次数太少时，有时不能合理估计概率.

问题9：“议”

频率与概率有什么区别与联系？

学生思考、讨论后全班交流. 此处重点强调学生理解，若不能概括、归纳，则直接出示答案.

设计意图：明晰频率与概率的联系与区别，渗透辩证思想，同时，深化新知，突破难点.

　　（五）总结反思

问题10：通过本节课的学习，你有哪些收获？

学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课学习的主要内容，并揭示蕴涵的数学思想方法.

　　设计意图：通过小结与反思，使学生对本节课的内容有一个整体的认识和理解，对核心思想方法有了更深的体会. 同时，培养学生归纳概括能力和语言表达能力.

　　（六）课后作业（投针试验）

（1）在一个平面上画一组间距为d=4cm的平行线，将一根长度为l=3cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交. 根据记录在下表中的投针试验数据，估计针与任一直线相交的概率.

（2）在投针试验中，如果间距d=4cm、针长l=3cm时针与任一直线相交的概率为p，则当d不变l减小时概率p会如何变化？当l不变d减小时概率p会如何变化？（在试验中始终保持l＜d）

（3）查阅资料，了解布丰投针实验及概率公式p=，知道可用概率的方法得到圆周率π的近似值，了解蒙特卡罗方法.

设计意图：复习巩固新知，培养动手能力，体验数学文化.

实验与探究　π的估计

实验与探究　π的估计

（一）情景引入：

　　问题1：姚明罚篮一次命中概率有多大？

播放“NBA”（美国男子篮球职业联赛）08—09赛季火箭队VS奇才队的比赛片段，在姚明罚篮球出手后，画面停滞，屏幕显示：问题：姚明罚进的概率有多大？

学生先思考、讨论、发言后媒体出示甲、乙、丙的说法：

甲：100%  姚明是世界明星嘛！ 乙：50%  因为只有进和不进两种结果，所以概率为50%. 丙：80%  姚明很准的，大概估计有80%的可能性.

同学们，你们同意谁的观点？

学生充分交流后，老师对不同说法进行适当的评价，并借机复习用列举法求概率的条件，引导学生分析进与不进的可能性不相等，不能用列举法来求概率.

师：那它究竟有没有规律，或者说还有没有其它的办法探求概率呢？

屏幕上闪烁显示08—09赛季姚明罚篮命中率86. 6%.

师：姚明的命中率从何而来？（统计结果）

怎么统计的？（罚中个数与罚球总数的比值）

这个比值叫什么？（这实际上就是频率，这种方法实际上就是用频率估计概率）

　　在此基础上，导出课题.

　　设计意图：从学生熟悉、感兴趣的事物和最喜欢的球星引入，激发学习兴趣的同时，得出姚明罚篮命中的可能性不相等，由此引发认知冲突，导入新课.

　　（二）试验探究

　　问题2：怎样用频率估计概率？

　　1、抛掷一枚硬币正面（有数字的一面）向上的概率是二分之一，这个概率能否利用刚才计算命中率方法──通过统计很多掷硬币的结果来得到呢？

设计意图：已知概率的情况下引入试验，基于以下原因：（1）抛掷硬币试验所需条件容易实现，可操作性强；（2）硬币试验历史上积累了大量数据，更有利于问题的说明；（3）用频率估计概率可以和前两节学习的概率的古典定义统一，两种不同的方法求得的是同一个概率，且概率的统计定义比古典定义更具一般性.

　　2、试验一（掷硬币试验）（配合亲切童声播放）

　　全班共分8个小组，每小组5人，共抛50次，推荐组长一名，组长不参与抛掷.

　　（1）抛掷要求：①抛掷时请将书本文具收入课桌内；②两人一组合，完成25次抛掷，一人抛一人画“正”记数，抛掷一次划记一次，“正面向上”一次划记一次；③抛的高度要达到自己坐姿的头顶高度，若硬币掉在地上，本次不作记录.

　　（2）组长职责：①检查组员抛掷是否符合要求；②收集本组数据，把数据录入教师机中的抛掷情况表. 全班共同填写硬币抛掷统计表（表3），将第1组数据填在第一列，第1、2组的数据之和填在第二列，……8个组的数据之和填在第8列.

　　设计意图：①“在相同条件下”使数据更真实有效；②合理分组，可以减少劳动强度，加快试验速度，同时在培养动手能力与探索精神中，培养团队协作精神.

表1（个人抛掷情况统计表）

表2（小组抛掷情况统计表）

表3（硬币抛掷统计表）

设计意图：这几个图表的给出可以正确有效地引导学生在有限的课堂时间内高效率地得到相关的试验数据及整理描述数据，为分析数据作准备. 同时，试验整个操作过程均由学生参与完成，教师只是作为组织者参与其中，关注学生的投入程度──能否积极、主动地从事各项活动，向同伴解释自己的想法，听取别人的建议与意见；关注学生在活动中表现出的实践能力、思维水平、团队意识.

　　问题3：分析试验结果及史上数学家大量重复试验数据，大家有何发现？

　　3、分析数据

全班填写表3得到硬币正面向上频率的同时，教师在黑板上绘制折线图，完成后教师提问：

①随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在哪个数字的左右摆动？

②随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在0. 5的左右摆动幅度有何规律？（学生从折线图1中难以发现）

师：接下来，我们增加试验次数，看看有什么新的发现，历史上有许多数学家为了弄清其中的规律，曾坚持不懈的做了成千上万次的掷硬币试验.

引导学生关注数学家的严谨，师：还有一位数学家，做了八万多次的试验.

观察频率在0. 5附近摆动幅度有何规律？

观察折线图2：

③请大家分析，两个折线图反映的规律有何区别？什么原因造成了不同？学生得出：图一，试验次数少一些，“正面向上”的频率在0. 5左右摆动的幅度大一些.

④你们认为出现的规律与试验次数有何关系？（试验次数越多频率越接近0. 5，即频率稳定于概率.）

⑤数学家为什么要做那么多试验？

⑥当“正面向上”的频率逐渐稳定到0. 5时，“反面向上”的频率呈现什么规律？概率与频率稳定值的关系是什么呢？

师生共同小结：至此，我们就验证了可以用计算罚篮命中率的方法来得到硬币“正面向上”的概率.

设计意图：这六个问题的设置，循序渐进，促使学生更深入的分析数据，学生发现大量重复试验时频率稳定于概率，在头脑中再现了知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习成为一种再创造的过程.

　　问题4：从一定高度落下的图钉，落地后可能图钉尖着地，也可能图钉尖不着地，估计一下哪种事件的概率更大.

试验二（抛掷图钉试验）

试验规则：1、全班分成8个小组，每小组5人，每组共完成50次试验，两人一组合完成25次试验，统一从数学课本高度处落下，做好记录；2、每个小组的组长汇总50次试验的结果，并报给教师，教师利用电子表格自动得出各组频率及累加后频率，绘制折线图.

表4（小组抛掷图钉统计表）

表5（图钉抛掷统计表）

　　从表中可以发现，“图钉尖着地”的频率在      左右摆动，并且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，所以估计从一定高度落下的图钉，图钉尖着地的概率是      .

　　设计意图：学生通过抛掷硬币试验，初步得出大量重复试验时硬币正面向上的频率具有稳定性，可以用试验方法获得概率，但对于试验结果不具有等可能性的随机事件（如姚明罚篮一次进与不进可能性不等）是否具有稳定性尚不清楚，意在进一步说明频率的“稳定性”.

　　（三）揭示新知

　　问题5：为什么可以用频率估计概率？

师：其实，不仅仅是掷硬币、掷图钉事件有规律，人们在大量的生产生活中发现：对于一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率也总在一个固定数附近摆动，显示出一定的稳定性.

引出瑞士数学家雅各布·伯努利最早阐明频率具有稳定性，介绍其家族前后三代共出13位大数学家和大物理学家，进行数学史的教育.

师：由于大量重复试验的频率具有稳定性，由此可根据这个稳定的频率来估计概率.

归纳：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的概率m/n会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)=P.

教师指出这是从统计的角度给出了概率的定义，也是探求概率的一种新方法，列举法仅限于试验结果有限个和每种结果出现的可能性相等的事件求概率，而用频率估计概率的方法不仅适用于列举法求概率的随机事件，而且对于试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等的随机事件，我们也可以用频率来估计概率.

　　设计意图：引入瑞士数学家雅各布·伯努利的故事，增加学生学习数学的兴趣，同时，增加学习自信心，通过比较概率的统计定义与古典定义，引导学生发现用频率估计概率思想方法的重要作用.

　　问题6：随机事件的概率P（A）有什么范围？对一个随机事件A，用频率估计的概率P（A）可能小于0吗？可能大于1吗？

　　设计意图：通过探求取值范围，促进学生对用频率估计概率的内涵有更深一层的认识.

　　（四）巩固练习

问题7：“抢”

某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：

①计算表中相应的“射中9环以上”的频率（精确到0. 01）；

②这些频率稳定在哪一个常数附近？

③根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0. 1）.

设计意图：巩固新知，知能升级.

问题8：“辩”

（1）天气预报说下星期一降水概率为90%，下星期三降水概率为10%，于是有位同学说：下星期一肯定下雨，下星期三肯定不下雨，你认为他说的对吗？

（2）抛掷硬币100次，一定有50次正面向上吗？抛掷2n次一定有n次正面向上吗？

（3）小明投篮5次，命中4次，他说一次投中的概率为5分之4对吗？

（4）小明的爸爸这几天迷上了体育彩票，该体育彩票每注是一个7位的数码，如能与开奖结果一致，则获特等奖；如果有相连的6位数码正确，则获一等奖；……；依次类推，小明的爸爸昨天一次买了10注这种彩票，结果中了一注一等奖，他高兴地说：“这种彩票好，中奖率高，中一等奖的概率是10%！小明爸爸的说法正确吗？”

　　设计意图：通过对生活中实例的辨析，进一步揭示概率的内涵──概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中反映出来. 反过来，试验次数太少时，有时不能合理估计概率.

问题9：“议”

频率与概率有什么区别与联系？

学生思考、讨论后全班交流. 此处重点强调学生理解，若不能概括、归纳，则直接出示答案.

设计意图：明晰频率与概率的联系与区别，渗透辩证思想，同时，深化新知，突破难点.

　　（五）总结反思

问题10：通过本节课的学习，你有哪些收获？

学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课学习的主要内容，并揭示蕴涵的数学思想方法.

　　设计意图：通过小结与反思，使学生对本节课的内容有一个整体的认识和理解，对核心思想方法有了更深的体会. 同时，培养学生归纳概括能力和语言表达能力.

　　（六）课后作业（投针试验）

（1）在一个平面上画一组间距为d=4cm的平行线，将一根长度为l=3cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交. 根据记录在下表中的投针试验数据，估计针与任一直线相交的概率.

（2）在投针试验中，如果间距d=4cm、针长l=3cm时针与任一直线相交的概率为p，则当d不变l减小时概率p会如何变化？当l不变d减小时概率p会如何变化？（在试验中始终保持l＜d）

（3）查阅资料，了解布丰投针实验及概率公式p=，知道可用概率的方法得到圆周率π的近似值，了解蒙特卡罗方法.

设计意图：复习巩固新知，培养动手能力，体验数学文化.