信息技术应用 探索反比例函数的性质教学实录

地区： 湖南省 - 湘　西 - 永顺县

学校：永顺县车坪乡九年制学校

信息技术应用　探索反比例… 初中数学       人教2011课标版

 1．探索并掌握反比例函数的性质；

       2．通过学生观察反比例函数图象，进一步培养学生动手能力、观察能力、归纳能力和语言表达能力；

       3．通过利用信息技术来探索反比例函数的性质，培养学生学习数学的兴趣，增强学生质疑和克服困难的勇气，培养学生自主探索、合作学习的能力；

      4．体会用数形结合、分类讨论的数学思想解决有关反比例函数问题的价值，培养学生严谨的科学态度。

这一节课是通过信息技术来探索反比例函数的性质，实际上是一节数学活动课，而通过初中近三年的培养，九年级学生已经有相当的数学活动经验，大部分学生有一定独立思考的能力，能够较为自觉地完成数学活动，不过所教的这个班级共有54名学生，班额较大，对每一个学生都能够参与到课堂中来造成一定的难度，但有部分学生在平时学习中能够较为熟练地运用几何画板进行辅助学习，不仅能够直观生动地获取数学知识，更是平添了学习数学的兴趣。

1．提高从函数图象中获取信息的能力

2．结合函数图象探索反比例函数的主要性质

3．在探索反比例函数的性质过程中渗透归纳思想和分类讨论的数学思想

 1．你学习的反比例函数的性质有什么？你认为这个性质中最应注意的地方是什么？你是怎么注意它的？

         设计说明：通过回顾旧知识帮助学生整理已经学习的反比例函数相关知识，得到反比例函数的研究方法和顺序。在继前几节学习了反比例函数的定义和画反比例函数图象后，本节课自然进入反比例函数的其它性质的学习，从而引出本节的课题。

  1．提出问题：让学生在坐标纸上画一个或几个自己认为适合的函数，然后通过所画的函数来探索反比例函数还有哪些性质。（估计用时8分钟左右，独立思考4分钟左右，小组讨论展示成果4分钟左右）

       教学要求：要求学生先独立完成，然后同桌两个之间互相交流成果，这样有利于补全自己没有想到的性质。

        设计说明：提出问题时并没有要求学生直接画出哪个函数，而是由学生放开自己的想象来自行画出，一般学生都能通过观察两个具体的反比例函数，归纳k>0或者k<0时反比例函数图像的共同特征，探索反比例函数的主要性质。教学时鼓励学生用自己的语言进行表达与交流，在交流中发展从图象中摄取信息的能力。问题是思维的出发点，本环节所设计的问题，可激起学生强烈的好奇心和求知欲。

        教学说明：问题一经给出，可鼓励学生层层深入地去研究，引导学生观察所列的表，从中获得函数随自变量的变化而变化的信息。再观察函数图象在每一象限内，函数随自变量的变化而变化的情况。从而得出结论，要注意观察由于每个学生考虑的角度不同可能导致得出的性质也有所不同。

        在学生自主探究性质的过程中，教师可巡回观察，找出学生在探究过程中的不足和亮点，以便在统一归纳的时候用到。还要关注个别学困生在制作函数的图象时的精确程度，鼓励他们放下包袱，一步一步来，尽可能地先画好图象，然后才有可能通过图象探究出反比例函数的其它性质。

        2.学生展示成果，教师几何画板演示：（估计用时25分钟左右）

        活动说明：通过以上活动，一般学生都能够找到一两种反比例函数的性质，但是通过五十多个人的智慧，能够找出初中阶段学生能够接受的反比例函数的性质，因此，要求学生展示自己的成果，对于在展示成果中不够完善的地方，教师和学生可共同完善。

        教学说明：在学生通过自己做图得到结论后还需要通过进一步验证，通过几何画板的演示，动态直观的展现了反比例函数图象上一动点在不同象限的图象上运动的过程，学生很容易得到反比例函数的一些性质，使学生从感性认识上升到理性认识，从而突破难点。

        师生活动：在这个活动中教师要根据学生的讲解过程来演示。为了增加课堂容量，教师可提前在几何画板软件中画出有可能出现的几个性质，然后根据学生在展示自己的成果的过程中随机地演示。

        以下几个性质可通过几何画板预画出来：

      （1）反比例函数是中心对称图形，原点是它的对称中心；

         操作说明：可在任意画的反比例函数的图象上任意找一个点A，然后画出这个点关于原点的对称点A'，再观察A'也在这个反比例函数的图象上，当点A位置变化时它关于原点的对称点A'还在这个反比例函数的图象上。从而得出反比例函数关于原点对称的性质，且原点为对称中心，但是这时还是这一个特殊的反比例函数的图象，对于所有的反比例函数的图象是否具有这样的性质还需要进一步验证，这时可借助几何画板的动态演示功能对反比例函数中的k的随意改变，而这个性质仍然不变，从而得出这个性质。

      （2）反比例函数的图象是轴对称图形，它有两条对称轴，且这两条对称轴为直线y=x和y=-x；

        操作说明：可在任意画的反比例函数的图象上任意找一个点A，然后画出这个点关于两条直线y=x和y=-x的对称点A'，再观察A'也在这个反比例函数的图象上，当点A位置变化时它关于两条直线y=x和y=-x的对称点A'还在这个反比例函数的图象上。从而得出反比例函数关于两条直线y=x和y=-x对称的性质，如同性质（1）一样这时还是这一个特殊的反比例函数的图象的性质，对于所有的反比例函数的图象是否具有这样的性质还需要进一步验证，这时可借助几何画板的动态演示功能对反比例函数中的k的随意改变，而这个性质仍然不变，从而得出这个性质。

      （3）系数互为相反数的两个反比例函数的图象关于两个坐标轴对称

       操作说明：可先任意画出系数互为相反数的两个反比例函数的图象，然后在任意一个图象上任意找一个点A，再画出这个点关于两个坐标轴的对称点A'，再观察A'在什么地方，可以发现这时这个点在另一个函数的图象上，当点A位置变化时它关于两条坐标轴的对称点A'也同时也在另一个反比例函数的图象上移动。从而得出系数互为相反数的两个反比例函数关于两条坐标轴对称的性质，如同前面性质一样这时还是系数为单个特殊值的时候的图象，对于所有的反比例函数的图是否具有这样的性质还需要进一步验证，这时可借助几何画板的动态演示功能对反比例函数中的k的随意改变，而这个性质仍然不变，从而得出这个性质。

      （4）当k的绝对值越大时，函数图象离远点越远。   

         操作说明：可在建立的同一个坐标系中同时画出系数分别为1，2，3，4，5，6的这六个反比例函数的图象，然后观察这六个图象的特征，为了便于研究可把这六个函数用不同的颜色标出来，容易观察出来这六个函数中k的值越大，函数的图象离原点越远。但是这时这六个值还不是连续的，我们可以猜想，当k的值连续增大时函数的图象是不是离原点越来越远，这时可构造一个当     k的值连续变化时函数的图象连续不断地离原点越远。

        不过这时仅仅得到k的值大于0的时候，对于k小于0时的性质结合前面性质（3）易知k越小，它的图象离原点越远。综合这两种情况可得出性质当k的绝对值越大时，函数图象离远点越远。

        这四个性质要由学生讲述其得出过程，并试其情况把自己得出的性质板书。

设计说明：整理本节课的知识与方法上的收获与感悟。（时间视情况可控制在5分钟之内）

        提出问题：通过本节课的学习你有哪些收获？

        活动说明：引导学生从多角度对本节课归纳总结今天所学知识、方法等，感悟知识上的点滴收获，鼓励学生养成归纳、整理、总结的好习惯；有利于强化学生对知识的理解和记忆及提高分析、归纳能力，让学生体验合作交流的快乐

  必做题：教材P9 习题26.1第8，9题

       选做题：有条件的学生继续利用几何画板软件来深入研究反比例函数的性质。

信息技术应用　探索反比例函数的性质

信息技术应用　探索反比例函数的性质

 1．你学习的反比例函数的性质有什么？你认为这个性质中最应注意的地方是什么？你是怎么注意它的？

         设计说明：通过回顾旧知识帮助学生整理已经学习的反比例函数相关知识，得到反比例函数的研究方法和顺序。在继前几节学习了反比例函数的定义和画反比例函数图象后，本节课自然进入反比例函数的其它性质的学习，从而引出本节的课题。

  1．提出问题：让学生在坐标纸上画一个或几个自己认为适合的函数，然后通过所画的函数来探索反比例函数还有哪些性质。（估计用时8分钟左右，独立思考4分钟左右，小组讨论展示成果4分钟左右）

       教学要求：要求学生先独立完成，然后同桌两个之间互相交流成果，这样有利于补全自己没有想到的性质。

        设计说明：提出问题时并没有要求学生直接画出哪个函数，而是由学生放开自己的想象来自行画出，一般学生都能通过观察两个具体的反比例函数，归纳k>0或者k<0时反比例函数图像的共同特征，探索反比例函数的主要性质。教学时鼓励学生用自己的语言进行表达与交流，在交流中发展从图象中摄取信息的能力。问题是思维的出发点，本环节所设计的问题，可激起学生强烈的好奇心和求知欲。

        教学说明：问题一经给出，可鼓励学生层层深入地去研究，引导学生观察所列的表，从中获得函数随自变量的变化而变化的信息。再观察函数图象在每一象限内，函数随自变量的变化而变化的情况。从而得出结论，要注意观察由于每个学生考虑的角度不同可能导致得出的性质也有所不同。

        在学生自主探究性质的过程中，教师可巡回观察，找出学生在探究过程中的不足和亮点，以便在统一归纳的时候用到。还要关注个别学困生在制作函数的图象时的精确程度，鼓励他们放下包袱，一步一步来，尽可能地先画好图象，然后才有可能通过图象探究出反比例函数的其它性质。

        2.学生展示成果，教师几何画板演示：（估计用时25分钟左右）

        活动说明：通过以上活动，一般学生都能够找到一两种反比例函数的性质，但是通过五十多个人的智慧，能够找出初中阶段学生能够接受的反比例函数的性质，因此，要求学生展示自己的成果，对于在展示成果中不够完善的地方，教师和学生可共同完善。

        教学说明：在学生通过自己做图得到结论后还需要通过进一步验证，通过几何画板的演示，动态直观的展现了反比例函数图象上一动点在不同象限的图象上运动的过程，学生很容易得到反比例函数的一些性质，使学生从感性认识上升到理性认识，从而突破难点。

        师生活动：在这个活动中教师要根据学生的讲解过程来演示。为了增加课堂容量，教师可提前在几何画板软件中画出有可能出现的几个性质，然后根据学生在展示自己的成果的过程中随机地演示。

        以下几个性质可通过几何画板预画出来：

      （1）反比例函数是中心对称图形，原点是它的对称中心；

         操作说明：可在任意画的反比例函数的图象上任意找一个点A，然后画出这个点关于原点的对称点A'，再观察A'也在这个反比例函数的图象上，当点A位置变化时它关于原点的对称点A'还在这个反比例函数的图象上。从而得出反比例函数关于原点对称的性质，且原点为对称中心，但是这时还是这一个特殊的反比例函数的图象，对于所有的反比例函数的图象是否具有这样的性质还需要进一步验证，这时可借助几何画板的动态演示功能对反比例函数中的k的随意改变，而这个性质仍然不变，从而得出这个性质。

      （2）反比例函数的图象是轴对称图形，它有两条对称轴，且这两条对称轴为直线y=x和y=-x；

        操作说明：可在任意画的反比例函数的图象上任意找一个点A，然后画出这个点关于两条直线y=x和y=-x的对称点A'，再观察A'也在这个反比例函数的图象上，当点A位置变化时它关于两条直线y=x和y=-x的对称点A'还在这个反比例函数的图象上。从而得出反比例函数关于两条直线y=x和y=-x对称的性质，如同性质（1）一样这时还是这一个特殊的反比例函数的图象的性质，对于所有的反比例函数的图象是否具有这样的性质还需要进一步验证，这时可借助几何画板的动态演示功能对反比例函数中的k的随意改变，而这个性质仍然不变，从而得出这个性质。

      （3）系数互为相反数的两个反比例函数的图象关于两个坐标轴对称

       操作说明：可先任意画出系数互为相反数的两个反比例函数的图象，然后在任意一个图象上任意找一个点A，再画出这个点关于两个坐标轴的对称点A'，再观察A'在什么地方，可以发现这时这个点在另一个函数的图象上，当点A位置变化时它关于两条坐标轴的对称点A'也同时也在另一个反比例函数的图象上移动。从而得出系数互为相反数的两个反比例函数关于两条坐标轴对称的性质，如同前面性质一样这时还是系数为单个特殊值的时候的图象，对于所有的反比例函数的图是否具有这样的性质还需要进一步验证，这时可借助几何画板的动态演示功能对反比例函数中的k的随意改变，而这个性质仍然不变，从而得出这个性质。

      （4）当k的绝对值越大时，函数图象离远点越远。   

         操作说明：可在建立的同一个坐标系中同时画出系数分别为1，2，3，4，5，6的这六个反比例函数的图象，然后观察这六个图象的特征，为了便于研究可把这六个函数用不同的颜色标出来，容易观察出来这六个函数中k的值越大，函数的图象离原点越远。但是这时这六个值还不是连续的，我们可以猜想，当k的值连续增大时函数的图象是不是离原点越来越远，这时可构造一个当     k的值连续变化时函数的图象连续不断地离原点越远。

        不过这时仅仅得到k的值大于0的时候，对于k小于0时的性质结合前面性质（3）易知k越小，它的图象离原点越远。综合这两种情况可得出性质当k的绝对值越大时，函数图象离远点越远。

        这四个性质要由学生讲述其得出过程，并试其情况把自己得出的性质板书。

设计说明：整理本节课的知识与方法上的收获与感悟。（时间视情况可控制在5分钟之内）

        提出问题：通过本节课的学习你有哪些收获？

        活动说明：引导学生从多角度对本节课归纳总结今天所学知识、方法等，感悟知识上的点滴收获，鼓励学生养成归纳、整理、总结的好习惯；有利于强化学生对知识的理解和记忆及提高分析、归纳能力，让学生体验合作交流的快乐

  必做题：教材P9 习题26.1第8，9题

       选做题：有条件的学生继续利用几何画板软件来深入研究反比例函数的性质。