14.3因式分解（通用）优秀教案设计

地区： 甘肃省 - 陇南市 - 西和县

学校：西和县何坝镇初级中学

14.3　因式分解 初中数学       人教2011课标版

 1．使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．

    2．了解公因式概念和提取公因式的方法．

    3．会用提取公因式法分解因式．

    4  培养学生在提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维能力，渗透化归的思想方法．

提公因式法是分解因式中教简单的内容，大多数同学都能够掌握，但部分学生基础较差，整式乘法的内容掌握的不够扎实，学因式分解有一定的困难，以致影响对因式分解概念的理解，对一个整式该向什么结果变形，是因式分解而不能掌握，在教学中重点对该内容强调，让所有学生都有所收获。

重点：会用提公因式法分解因式．  

难点：如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．

 一．提出问题，创设情境

    请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快．

（1）0.72×8+9.28×8     （2）  ab+ac+ad

    解：（1）0.72×8+9.28×8  

       =  8×（0.72+9.28） 

      =8×10

     = 80      

    （2） ab+ac+ad

     =a(b+c+d)

     通过上面问题看出，把有关问题可以进行简便的计算，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解．

   二．导入新课

    1．因式分解的定义和意义。

 把下列多项式写成整式的乘积的形式

    （1）a2+a=_________

    （2）b2-1=_________

    （3）am+cm=__________

    根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：

    （1）a2+a=a（a+1）

    （2）b2-1=（b+1）（b-1）

    （3）am+cm=m（a+c）

    像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．即多项式化为几个整式的积。

    可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．

    我发现（1）中各项都有一个公共的因式a，（3）中各项都有一个公共因式m，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式。多项式的各项都含有的相同的因式，叫公因式，如ab+ac+ad中，各项都含有因式a,所以a叫公因式，公因式可以是一个数或一个字母，也可以是含有字母的代数式。公因式的构成如下：系数 ——取各项系数的最大公约数。字母 -——取各项都含有的字母：指数————取相同字母的最低次幂。

    因为ma+mc=m(a+c)

于是就把ma+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a+c是ma+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法．

   2  找公因式的一般步骤
（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.
（4）所有这些因式的乘积即为公因式.
     （因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。要求把每个因式都分解到不能再分解为止。否则就是不完全因式分解，怎样才算不能再分解呢？这要看题目的要求。如果没有明确指出在什么范围内 因式分解，应指在有理数范围内因式分解。）          

   三.把下列各式分解因式。

    例 1     8x3y2-12xy3z  .

    例 2      3x3-6xy+x.      

    例 3    -2a3+8a2-18a.

   例1    分析：先找出8x3y2与12xy3z的公因式，再提出公因式．我们看这两项的系数8与12，它们的最大公约数是4，两项的字母部分x3y2与xy3z都含有字母x和y．其中x的最低次数是1，y的最低次数是2．我们选定4xy2为要提出的公因式．提出公因式4xy2后， 另一个因式2x2+3yz就不再有公因式了．

    解：8x3y2+12xy2z=4xy2·2x2+4xy2·3yz=4xy2（2x2+3yz）．

总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行．可以概括为一句话：括号里面分到“底”，这里的底是不能再分解为止．

 例2   分析：x（3x-6y+1）=3x2-6xy+x，而x（3x-6y）=3x2-6xy，所以原多项式因式分解为x（3x-6xy+1）而不是x（3x-6y）．这就是说，1作为项的系数，通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，可以概括为：某项提出莫漏．

         解：3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1=x（3x-6y+1）．

 例3    分析：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．可以用一句话概括：首项有负常提负．

       解：-2a3+8a2-18a

      =-（2a3-8a2+18a）

       =-2a（a2-4a+9）．

    四．随堂练习

    1．课本练习1、2、3．

    五．课时小结

    今天我们学习了提公因式法分解因式．知道因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。 在分解因式时要确定系数 字母，相同字母的指数，系数 ——取各项系数的最大公约数。字母——取各项都含有的字母：指数———取相同字母的最低次幂。分解因式时要求把每个因式都分解到不能再分解为止。.

 六、课后作业    1     .2

 七、教学反思：

     因式分解是八年级中数学中的重要内容，针对八年级学生有一定的观察。分析问题的能力，在教学中以启发式为主，学生多数能够掌握。并在教学中让学生在掌握知识点的同时，培养学生分析。解决问题的能力。

14.3　因式分解

14.3　因式分解

 一．提出问题，创设情境

    请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快．

（1）0.72×8+9.28×8     （2）  ab+ac+ad

    解：（1）0.72×8+9.28×8  

       =  8×（0.72+9.28） 

      =8×10

     = 80      

    （2） ab+ac+ad

     =a(b+c+d)

     通过上面问题看出，把有关问题可以进行简便的计算，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解．

   二．导入新课

    1．因式分解的定义和意义。

 把下列多项式写成整式的乘积的形式

    （1）a2+a=_________

    （2）b2-1=_________

    （3）am+cm=__________

    根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：

    （1）a2+a=a（a+1）

    （2）b2-1=（b+1）（b-1）

    （3）am+cm=m（a+c）

    像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．即多项式化为几个整式的积。

    可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．

    我发现（1）中各项都有一个公共的因式a，（3）中各项都有一个公共因式m，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式。多项式的各项都含有的相同的因式，叫公因式，如ab+ac+ad中，各项都含有因式a,所以a叫公因式，公因式可以是一个数或一个字母，也可以是含有字母的代数式。公因式的构成如下：系数 ——取各项系数的最大公约数。字母 -——取各项都含有的字母：指数————取相同字母的最低次幂。

    因为ma+mc=m(a+c)

于是就把ma+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a+c是ma+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法．

   2  找公因式的一般步骤
（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.
（4）所有这些因式的乘积即为公因式.
     （因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。要求把每个因式都分解到不能再分解为止。否则就是不完全因式分解，怎样才算不能再分解呢？这要看题目的要求。如果没有明确指出在什么范围内 因式分解，应指在有理数范围内因式分解。）          

   三.把下列各式分解因式。

    例 1     8x3y2-12xy3z  .

    例 2      3x3-6xy+x.      

    例 3    -2a3+8a2-18a.

   例1    分析：先找出8x3y2与12xy3z的公因式，再提出公因式．我们看这两项的系数8与12，它们的最大公约数是4，两项的字母部分x3y2与xy3z都含有字母x和y．其中x的最低次数是1，y的最低次数是2．我们选定4xy2为要提出的公因式．提出公因式4xy2后， 另一个因式2x2+3yz就不再有公因式了．

    解：8x3y2+12xy2z=4xy2·2x2+4xy2·3yz=4xy2（2x2+3yz）．

总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行．可以概括为一句话：括号里面分到“底”，这里的底是不能再分解为止．

 例2   分析：x（3x-6y+1）=3x2-6xy+x，而x（3x-6y）=3x2-6xy，所以原多项式因式分解为x（3x-6xy+1）而不是x（3x-6y）．这就是说，1作为项的系数，通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，可以概括为：某项提出莫漏．

         解：3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1=x（3x-6y+1）．

 例3    分析：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．可以用一句话概括：首项有负常提负．

       解：-2a3+8a2-18a

      =-（2a3-8a2+18a）

       =-2a（a2-4a+9）．

    四．随堂练习

    1．课本练习1、2、3．

    五．课时小结

    今天我们学习了提公因式法分解因式．知道因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。 在分解因式时要确定系数 字母，相同字母的指数，系数 ——取各项系数的最大公约数。字母——取各项都含有的字母：指数———取相同字母的最低次幂。分解因式时要求把每个因式都分解到不能再分解为止。.

 六、课后作业    1     .2

 七、教学反思：

     因式分解是八年级中数学中的重要内容，针对八年级学生有一定的观察。分析问题的能力，在教学中以启发式为主，学生多数能够掌握。并在教学中让学生在掌握知识点的同时，培养学生分析。解决问题的能力。