22.1 二次函数的图象和性质名师课堂实录

地区： 四川省 - 广元市 - 旺苍县

学校：四川省旺苍中学

22.1　二次函数的图象和性… 初中数学       人教2011课标版

（一）知识与技能目标

1．能够利用描点法做出二次函数y=x²的图象，探索二次函数的性质（开口方向、对称轴、顶点坐标）.

2．能作出y=±x²，y=±x²和y=±2x²的图象，并比较它们与y=x²的图象的异同，初步体会二次函数关系式与图象之间的联系；

3．能作出二次函数y=ax²的图象，并能根据图象归纳和理解二次函数y=ax²的性质；

（二）过程与方法目标

1．由二次函数y=x²的图象及性质类比地学习二次函数y=－x²的图象及性质，并能比较它们的异同点，培养学生的类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法，发展学生的求同求异思维。

2．经历探索二次函数y=ax²的图象和性质的过程，获得用图象研究函数性质的经验；

（三） 情感与价值观目标

1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解；

2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质。

本课是在学生掌握了二次函数概念的情况下对二次函数y=ax2 的图像与性质进一步的研究，通过作出二次函数的图像来研究它的性质。

在学习本节课之前，学生已掌握了二次函数的概念，以及八年级所学的函数图像的作法：描点法。所以采用以下教学法：启发式讲解 ------- 互动式讨论 --------- 研究式探索 

以学生的自主探索为主，老师主要通过演示引导启发学生得出结论，这样有利于学生提高学习兴趣，获得成就感。在教学中可以放手让学生自己去画图像，讨论研究出函数的性质，以提问的形式与学生互动，通过图表类比出二次函数y=ax2的性质。通过练习加深学生对函数性质的理解和应用。 

学法：自主探索 -------- 观察发现  ---------- 合作交流  ----------  对比归纳    

画二次函数的图像时可以先回顾描点法，在教师的提示下去列表，完成函数的图像，认识二次函数的图像是抛物线。根据所作函数的图像学生可以容易的找出图像的开口方向，对称轴，顶点坐标等性质，再通过作出其他几个函数的图像并对比，归纳得出函数y=ax2的性质，体验从特殊到一般的数学探索规律。

通过这节的学习，学生将掌握最简单的二次函数y=ax2 的图像与性质，是进一步学习二次函数的基础。

教学重点：

作出二次函数的图象，并根据图象观察分析出二次函数的性质。

教学难点：

经历探索二次函数y=x²的图象的作法与性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。并把这种经验运用于研究二次函数的图象与性质方面，实现“探索―经验―运用”的思维过程。

 回顾一次函数的图象

八年级我们已经学习了一次函数，我们是如何研究一次函数的图象和性质的呢？

设计意图：引导学生回顾一次函数图像和性质学习方法，重点是体会由函数图像归纳出其性质的思维方法。

导入新课

上节课我们学习了二次函数的定义，那么它的图象与性质如何呢？本节课我们就从最简单的二次函数 的图象与性质开始探究学习。

设计意图: 引导学生关注研究一次函数其中蕴含的思想方法，使学生能意识到可用这种方法来研究二次函数的图象和性质。

1.画二次函数y=x2的图象

引导学生利用描点法画出二次函数的图象，并在小组内尝试用自己的语言描述所画的函数图象。

设计意图：学生以分小组合作方式利用方格纸画函数图象，教师要关注学生画图的细节，并能及时纠正其中错误的作图。学生用描点法画二次函数的图象，能更深刻地感受二次函数的图象是抛物线；

2.观察图象，回答下列问题：

（1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.

（2）图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.

（3）图象有最低点吗？如果有,最低点的坐标是什么?

（4）当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？

（5）当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？

设计意图：通过观察比较，总结出二次函数的图象特征，运用自己的语言回答问题。更有利于学生掌握二次函数的图象性质，同时体会数形结合的数学思想及从特殊到一般的数学研究方法，积累数学活动经验。学生用语言概括结论，利于培养学生的抽象概括能力及数学语言表达能力。

通过展示y=x²和y=2x²的图象，请同学们比较其图象与y=x²图象的异同，并以小组为单位共同总结出y= ax²(a>0)时函数的性质。

设计意图：学生把几个不同的函数图象画在同一坐标系中，通过观察、类比得出其性质，得出a对图象的影响，再次感受数形结合在研究函数中的作用。

1．练习：在同一坐标系中作出y= -x²、 y=-x²和y=-2x²的图象，然后以小组为单位仿照上面所学内容总结出二次函数y= ax²(a<0)的性质.

设计意图：学生利用刚才的小结，进一步总结当a<0时的情形，使知识学习更加全面透彻，加深对数形结合，特殊到一般方法的理解，再次强化类比学习方法的重要性。

练习1、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：

　　（1）y=3x²；     （2）y=-3x²；　    

2、抛物线y=6x²，其对称轴左侧，y 随 x 的增大而______________；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而________________ ．

设计意图：学生利用所学知识解决问题，教师适时纠错。

巩固所学新知，体会解决问题的成功感，增强自信心和学习数学的兴趣。

师生共同总结本节课的收获。语言要准确，表达要有条理。

作业布置：习题22.2    3、4

设计意图：再次回顾本节课的学习过程，体会探索－总结－应用的学习方法，增强数学学习能力。

22.1　二次函数的图象和性质

22.1　二次函数的图象和性质

 回顾一次函数的图象

八年级我们已经学习了一次函数，我们是如何研究一次函数的图象和性质的呢？

设计意图：引导学生回顾一次函数图像和性质学习方法，重点是体会由函数图像归纳出其性质的思维方法。

导入新课

上节课我们学习了二次函数的定义，那么它的图象与性质如何呢？本节课我们就从最简单的二次函数 的图象与性质开始探究学习。

设计意图: 引导学生关注研究一次函数其中蕴含的思想方法，使学生能意识到可用这种方法来研究二次函数的图象和性质。

1.画二次函数y=x2的图象

引导学生利用描点法画出二次函数的图象，并在小组内尝试用自己的语言描述所画的函数图象。

设计意图：学生以分小组合作方式利用方格纸画函数图象，教师要关注学生画图的细节，并能及时纠正其中错误的作图。学生用描点法画二次函数的图象，能更深刻地感受二次函数的图象是抛物线；

2.观察图象，回答下列问题：

（1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.

（2）图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.

（3）图象有最低点吗？如果有,最低点的坐标是什么?

（4）当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？

（5）当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？

设计意图：通过观察比较，总结出二次函数的图象特征，运用自己的语言回答问题。更有利于学生掌握二次函数的图象性质，同时体会数形结合的数学思想及从特殊到一般的数学研究方法，积累数学活动经验。学生用语言概括结论，利于培养学生的抽象概括能力及数学语言表达能力。

通过展示y=x²和y=2x²的图象，请同学们比较其图象与y=x²图象的异同，并以小组为单位共同总结出y= ax²(a>0)时函数的性质。

设计意图：学生把几个不同的函数图象画在同一坐标系中，通过观察、类比得出其性质，得出a对图象的影响，再次感受数形结合在研究函数中的作用。

1．练习：在同一坐标系中作出y= -x²、 y=-x²和y=-2x²的图象，然后以小组为单位仿照上面所学内容总结出二次函数y= ax²(a<0)的性质.

设计意图：学生利用刚才的小结，进一步总结当a<0时的情形，使知识学习更加全面透彻，加深对数形结合，特殊到一般方法的理解，再次强化类比学习方法的重要性。

练习1、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：

　　（1）y=3x²；     （2）y=-3x²；　    

2、抛物线y=6x²，其对称轴左侧，y 随 x 的增大而______________；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而________________ ．

设计意图：学生利用所学知识解决问题，教师适时纠错。

巩固所学新知，体会解决问题的成功感，增强自信心和学习数学的兴趣。

师生共同总结本节课的收获。语言要准确，表达要有条理。

作业布置：习题22.2    3、4

设计意图：再次回顾本节课的学习过程，体会探索－总结－应用的学习方法，增强数学学习能力。