14.3因式分解（通用）优秀教案案例

         教学过程

      设计意图

复

习

部分

一、 还记得“分解质因数”吗？

1、列各书分解质因数：

（1）15=            （2）18=         

（3）65=            （4）81=         

2、把下列各分数约成最简：

 （1）=        （2）=         

 （3）=       （4）=        

分解因式与分解因数的概念类似，借复习分解质因数这个学生熟悉的小学知识来帮助学生理解“分解因式”。

教学过程

设计意图

复

习

部

分

二、 请思考：

(1)、= =        

（2）、=         =       

初步了解因式分解的作用：

借助这两小题向学生解释分数约分约的是公因数，式子的化简约的是公因式。对于多项式，须先转化成几个式子的积的形式才可考虑约去公因式。（2）可让学生先讨论。

新课引入

三、  把一个多项化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，它与整式的乘法正好互为逆运算。

1、计算下列各式：             2、把下列各式分解因式：

(1)  m(a+b+c)=             (1)  ma+mb+mc=         

(2)  5a(b+1)=               (2)  5ab+5a=         

(3)  5a(a+1)=               (3)  5a2+5a=        

(4)  -5a(a-5)=               (4)  -5a2+25a=        

(5)  (a+b)(a-b)=             (5)  a2-b2=         

(6)  (x+1)(x-1)=             (6)  x2-1=       

(7)  (x+3)(x-3)=             (7)  x2-9=        

(8)  (a-b)2=                 (8)  a2-2ab+b2=       

(9)  (a+b)2=                (9)  a2+2ab+b2=      

(10)  (x+2)2=               (10)  x2+4x+4=       

(11)  (x-3)2=                (11)  x2-6x+9=        

(12)  (2x-3y)2=              (12)  4x2-12xy+9y2=      

(13)  (x+1)(x-4)=            (13)  x2-3x-4=         

让学生利用这种互逆关系直接写出因式分解的结果，从而体会这种关系。有第1小题做参考，学生可以很轻松的答出第2小题。

新课讨论

四、 你能把下列各式分解因式吗？

★前4小题考虑用乘法分配律的逆运算：ma+mb=m(a+b)

后面的题考虑用”竖乘法”的逆运算。

(1) 3ab-3ac=              (2)  3a2-9ab=          

(3)  m2-2m=               (4)  x3-2x2+x=          

(5)  x2-16=                (6)  9-y2=          

(7)  25x2-4=               (8)  x2y2-1=          

(9)  x2+2x+1=             (10)  x2-10x+25=          

(11)  x2-4xy+4y2=           (12)  x2+3x+2=          

(13) x2+5x+6=              (14)  x2-5x+6=          

    鼓励学生”猜”答案。引导学生利用因式分解与多项式乘法的互逆性检验答案是否正确。

教学过程

设计意图

新课讨论

五、 讨论一下第四部分怎样“猜”比较“快而且准”？

 （先分小组讨论）

   让学生展示答案，并讨论答案的正确性。说说自己的“猜”的方法。

   如果有同学每题都能“猜”对，那他的“猜”法一定有他的道理。

新课讲解

六、 我们来总结因式分解的方法：

一种图形代表同一个数或式子（可以是单项式，也可以是多项式）。例2和例4先把各项公因式填入方形内。

方法一：提公因式法（适合各项有公因式的式子）

      图形描述：

           +       +      

    = (      +        +      )

例1、xm-ym+zm=(              )·   

例2、3x4y-6x2y2+9x2y3

       -      +      

=   ·    -    ·    +    ·   

     =   ·(     -     +     )

例3、2m2-4m

=   ·    -    ·    

=   ·(     -     )

例4、2(a+b)2  - 4(a+b)

               _

=     ·      -      ·     

=     ·(       -       )

教学过程

设计意图

新课讲解

方法二：“竖乘法”（适合二次多项式，分解平方项及常数项，检验中间项）

例5、a2-5a+4=(     )(     )    

草稿：（a    -2）            ( a    -4)

      (a    -2)              ( a    -1)

a2-2a-2a+4≠a2–5a+4      a2 –a –4a +4=a2–5a+4

例6、a2-4a+4=(     )(     )

草稿：     ( a      )

           ( a      )

          a2

例7、a2-4=(     )(     )

草稿：     ( a      )

           ( a      )

          a2

   根据我们做多项式的乘法的经验，一个二次多项式若无公因式可提那么只可能分解成两个一次二项式的积。通过分解平方项（又叫二次项）和常数项，我们可以估计出分解后的几种可能结果，然后用竖乘法检验一下交叉相乘后中间项是否符合题目要求。

课堂

练习

七、 请选择适合的方法把下列各式分解因式：

(1)   6mn-18mp          (2)  3a2-6ab+3a

(3)  a2-5a-6             (4)  a2-5a+6

(5)  x2-y2                (6)  -a2+16

(7)  x2-14x+49            (8)  25x2+10xy+y2

         教学过程

      设计意图

复

习

部分

一、 还记得“分解质因数”吗？

1、列各书分解质因数：

（1）15=            （2）18=         

（3）65=            （4）81=         

2、把下列各分数约成最简：

 （1）=        （2）=         

 （3）=       （4）=        

分解因式与分解因数的概念类似，借复习分解质因数这个学生熟悉的小学知识来帮助学生理解“分解因式”。

教学过程

设计意图

复

习

部

分

二、 请思考：

(1)、= =        

（2）、=         =       

初步了解因式分解的作用：

借助这两小题向学生解释分数约分约的是公因数，式子的化简约的是公因式。对于多项式，须先转化成几个式子的积的形式才可考虑约去公因式。（2）可让学生先讨论。

新课引入

三、  把一个多项化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，它与整式的乘法正好互为逆运算。

1、计算下列各式：             2、把下列各式分解因式：

(1)  m(a+b+c)=             (1)  ma+mb+mc=         

(2)  5a(b+1)=               (2)  5ab+5a=         

(3)  5a(a+1)=               (3)  5a2+5a=        

(4)  -5a(a-5)=               (4)  -5a2+25a=        

(5)  (a+b)(a-b)=             (5)  a2-b2=         

(6)  (x+1)(x-1)=             (6)  x2-1=       

(7)  (x+3)(x-3)=             (7)  x2-9=        

(8)  (a-b)2=                 (8)  a2-2ab+b2=       

(9)  (a+b)2=                (9)  a2+2ab+b2=      

(10)  (x+2)2=               (10)  x2+4x+4=       

(11)  (x-3)2=                (11)  x2-6x+9=        

(12)  (2x-3y)2=              (12)  4x2-12xy+9y2=      

(13)  (x+1)(x-4)=            (13)  x2-3x-4=         

让学生利用这种互逆关系直接写出因式分解的结果，从而体会这种关系。有第1小题做参考，学生可以很轻松的答出第2小题。

新课讨论

四、 你能把下列各式分解因式吗？

★前4小题考虑用乘法分配律的逆运算：ma+mb=m(a+b)

后面的题考虑用”竖乘法”的逆运算。

(1) 3ab-3ac=              (2)  3a2-9ab=          

(3)  m2-2m=               (4)  x3-2x2+x=          

(5)  x2-16=                (6)  9-y2=          

(7)  25x2-4=               (8)  x2y2-1=          

(9)  x2+2x+1=             (10)  x2-10x+25=          

(11)  x2-4xy+4y2=           (12)  x2+3x+2=          

(13) x2+5x+6=              (14)  x2-5x+6=          

    鼓励学生”猜”答案。引导学生利用因式分解与多项式乘法的互逆性检验答案是否正确。

教学过程

设计意图

新课讨论

五、 讨论一下第四部分怎样“猜”比较“快而且准”？

 （先分小组讨论）

   让学生展示答案，并讨论答案的正确性。说说自己的“猜”的方法。

   如果有同学每题都能“猜”对，那他的“猜”法一定有他的道理。

新课讲解

六、 我们来总结因式分解的方法：

一种图形代表同一个数或式子（可以是单项式，也可以是多项式）。例2和例4先把各项公因式填入方形内。

方法一：提公因式法（适合各项有公因式的式子）

      图形描述：

           +       +      

    = (      +        +      )

例1、xm-ym+zm=(              )·   

例2、3x4y-6x2y2+9x2y3

       -      +      

=   ·    -    ·    +    ·   

     =   ·(     -     +     )

例3、2m2-4m

=   ·    -    ·    

=   ·(     -     )

例4、2(a+b)2  - 4(a+b)

               _

=     ·      -      ·     

=     ·(       -       )

教学过程

设计意图

新课讲解

方法二：“竖乘法”（适合二次多项式，分解平方项及常数项，检验中间项）

例5、a2-5a+4=(     )(     )    

草稿：（a    -2）            ( a    -4)

      (a    -2)              ( a    -1)

a2-2a-2a+4≠a2–5a+4      a2 –a –4a +4=a2–5a+4

例6、a2-4a+4=(     )(     )

草稿：     ( a      )

           ( a      )

          a2

例7、a2-4=(     )(     )

草稿：     ( a      )

           ( a      )

          a2

   根据我们做多项式的乘法的经验，一个二次多项式若无公因式可提那么只可能分解成两个一次二项式的积。通过分解平方项（又叫二次项）和常数项，我们可以估计出分解后的几种可能结果，然后用竖乘法检验一下交叉相乘后中间项是否符合题目要求。

课堂

练习

七、 请选择适合的方法把下列各式分解因式：

(1)   6mn-18mp          (2)  3a2-6ab+3a

(3)  a2-5a-6             (4)  a2-5a+6

(5)  x2-y2                (6)  -a2+16

(7)  x2-14x+49            (8)  25x2+10xy+y2