22.1 二次函数的图象和性质优秀教学实录

地区： 湖北省 - 黄冈市 - 浠水县

学校：浠水县团陂镇团陂中学

22.1　二次函数的图象和性… 初中数学       人教2011课标版

教学设计：

一、创设情境，导入新课

问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 

问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？

这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）

二、 合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：

（1）面积y (cm2)与圆的半径 x  ( Cm )     

(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元;  

(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)    

（一） 教师组织合作学习活动：

1、 先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。

2、 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。

（1）y =πx2    （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000  

 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112

（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 

让学生充分发表意见，提出各自看法。

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax²+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的形式. 

板书：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) 

称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项，

请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项

（二） 做一做

1、 下列函数中，哪些是二次函数？

(1)  (2)    (3)  （4） 

（5）

2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1）  （2）  （3）

3、若函数为二次函数，则m的值为       。

三、例题示范，了解规律

例1、已知二次函数 当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。

此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法。

练习：已知二次函数 ，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。求这个二次函数的解析式。

例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2),求：

（1） y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围。

（2） 当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示。    

方法：

（1）学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。

（2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：

求差法：四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积DE4倍。 

直接法：先证明四边形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH2

 (3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。

（4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x与y 之间数值的对应关系和内在的规律性：随着x的取值的增大，y的值先减后增；y的值具有对称性。

练习： 

用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：

(1)写出y关于x的函数关系式.

(2)当x=3时,矩形的面积为多少? 

四、 归纳小结，反思提高

本节课你有什么收获？ 

五、 布置作业

课本作业题

22.1　二次函数的图象和性质

22.1　二次函数的图象和性质

教学设计：

一、创设情境，导入新课

问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 

问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？

这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）

二、 合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：

（1）面积y (cm2)与圆的半径 x  ( Cm )     

(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元;  

(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)    

（一） 教师组织合作学习活动：

1、 先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。

2、 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。

（1）y =πx2    （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000  

 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112

（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 

让学生充分发表意见，提出各自看法。

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax²+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的形式. 

板书：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) 

称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项，

请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项

（二） 做一做

1、 下列函数中，哪些是二次函数？

(1)  (2)    (3)  （4） 

（5）

2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1）  （2）  （3）

3、若函数为二次函数，则m的值为       。

三、例题示范，了解规律

例1、已知二次函数 当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。

此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法。

练习：已知二次函数 ，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。求这个二次函数的解析式。

例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2),求：

（1） y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围。

（2） 当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示。    

方法：

（1）学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。

（2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：

求差法：四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积DE4倍。 

直接法：先证明四边形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH2

 (3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。

（4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x与y 之间数值的对应关系和内在的规律性：随着x的取值的增大，y的值先减后增；y的值具有对称性。

练习： 

用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：

(1)写出y关于x的函数关系式.

(2)当x=3时,矩形的面积为多少? 

四、 归纳小结，反思提高

本节课你有什么收获？ 

五、 布置作业

课本作业题