22.3实际问题与二次函数（通用）名师课堂实录

地区： 天津市 - 天津市 - 宝坻区

学校：天津市宝坻区第六中学

22.3 实际问题与二次函数 初中数学       人教2011课标版

1.目标

⑴．通过本节课学习，会用顶点坐标或配方法求二次函数y=ax²+bx+c的最小（大）值。

⑵能够从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小（大）值解决实际问题。

本节课是实际问题与二次函数这节内容的第一课时，教材中的探究2变量较多，对我们的学生来说，在学习了一次函数、二次函数图象和性质后，对函数的思想已有初步的认识，对分析问题的方法已会初步地模仿，但对变量超过两个的实际问题还不能熟练地应用知识去解决，本节课为了弥补这一不足设计了做一做，练一练，这些环节，为学生提供了自学指导，目的是通过低起点，快反馈呈现问题方式，为解决后续问题做好铺垫，也为学生思考、探究提供一种支撑，从而逐步培养学生的建模能力，增强学生学好数学的信心。

本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小（大）值解决实际问题。

本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小（大）值解决实际问题。

前几节，我们学习了二次函数的定义，图象及性质，这节课我们继续学习二次函数的相关知识。首先请同学们拿出预习作业：

1．通过看书请你总结一下求二次函数最大值或最小值的方法。

2．求下列函数的最大值或最小值

① y= -3（x－1)²+5；② y=x²+2x－3；③ y=-x²+4x。

师生行为：教师展示预习作业的内容，指定学生回答，引导学生回顾二次函数相关知识,教师做适当总结、评价。

教师重点关注：学生回答问题的准确性，能否将新旧知识联系起来。

设计意图：这两道预习题涵盖了求二次函数最值的几种情况，对旧知识进行了回顾，为本节课教学起到了铺垫作用。

在现实生活中，我们常遇到与二次函数应用有关的问题，如拱桥的跨度，拱高的计算，又如在奥运赛场上跳水、铅球、篮球、排球等运动项目都与二次函数有关，那么如何运用二次函数知识解决这些实际问题呢？好我们大家一起进入本节课的学习。

问题1（画一画）请你画一个周长为12厘米的矩形，算一算它的面积是多少？再和周围同学比一比，你发现了什么？

问题2（练一练）已知一个矩形的周长为12米，它的一边为x米，那么矩形面积S与x有怎样关系？自变量的取值范围是什么？

问题3（试一试）若想设计一个符合问题2条件的的广告牌，广告的设计费是每平米1000元，如果你是设计师，怎么设计才能使设计费最多呢？

师生行为：教师在大屏幕上出示问题，学生独立思考，完成解答，师生共同纠正，这期间教师进行巡回指导，对问题3，根据情况可作小组讨论交流。

教师重点关注：1．学生能否正确求解，考虑问题是否全面；2．学生能否将实际问题转化为数学问题，渗透数学建模思想。

设计意图：问题1比较简单，但对学生有很大吸引力和挑战性，可有效地激发学生的学习兴趣。2小题在1小题基础上提出问题，引导学生对实际问题与二次函数展开联想。3小题在2小题基础上加入实际背景求最值，这样低起点，快反馈能有效地提高学生的数学兴趣。

问题  一种商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件，对市场调查反映，如调整价格，每涨1元，每星期少卖10件，每降1元，每星期多卖18件，已知商品进价为40元，请问：如何定价才能使每星期的利润最大？

师生行为：此问题难度较大，题目中变量较多，教师在学生仔细审题充分思考的基础上以问题串的形式为学生提供自学指导引导学生讨论如何建立函数模型，帮助学生解决问题。教师深入小组参与讨论。

①题中调整价格方式有哪些？②如何表示价格和利润？③如何确定x的取值范围？

教师重点关注：1．学生能否想到两种调整价格的方式；2．学生能否正确表示出卖价，销售额，利润这些变量，是否注意到自变量的取值范围；3．学生在计算上是否存在困难，有没有需要教师帮助的地方。

设计意图：此问题是学生感兴趣的经济问题，但涉及分类讨论思想，有一定难度，所以采取教师启发、引导与学生小组合作相结合形式解决这道题，意图是通过学生观察、思考，小组内交流活动培养开发他们的多元智能，出示自学指导的目的是为学生提供一种解

问题1  一位足球运动员罚任意球时，罚出的香蕉球的运行路线类似于抛物线，若球的高度与运行距离的关系式为y=-3（x－1)²+5，请你求出球的高度y的最大值                                                                                                                              

问题2  小亮家现有篱笆20米，要两面靠墙围成一个矩形

场地来养鸡，请你设计如何围才能使养鸡场面积最大？

师生行为：教师展示问题，学生独立思考，理解题意，问题1、2可由学生独立完成，集体纠正。

设计意图：问题1的设计主要是注重基础，给学生提供成功的希望和机会，促使他们的进步；问题2的设计，通过运用函数模型让学生体会数学实际价值，学会用函数的观点认识问题、解决问题。

1．在本节课你学习了哪些数学知识？运用了哪些数学思想方法。

2．通过学习你有哪些体会与收获？

教师引导学生回顾，思考、交流

教师重点关注：1．学生归纳总结能力，语言是否准确；2．学生情感态度如何？

设计意图：让学生归纳本节课的学习内容，帮助学生归纳整理知识，形成知识网络，锻炼学生的语言智能。

布置作业

必做题：习题22.3   1—2题

选做题：习题22.3  4—5题

设计意图：分层作业，使不同层次的学生通过本节课的学习都有收获。

22.3 实际问题与二次函数

22.3 实际问题与二次函数

前几节，我们学习了二次函数的定义，图象及性质，这节课我们继续学习二次函数的相关知识。首先请同学们拿出预习作业：

1．通过看书请你总结一下求二次函数最大值或最小值的方法。

2．求下列函数的最大值或最小值

① y= -3（x－1)²+5；② y=x²+2x－3；③ y=-x²+4x。

师生行为：教师展示预习作业的内容，指定学生回答，引导学生回顾二次函数相关知识,教师做适当总结、评价。

教师重点关注：学生回答问题的准确性，能否将新旧知识联系起来。

设计意图：这两道预习题涵盖了求二次函数最值的几种情况，对旧知识进行了回顾，为本节课教学起到了铺垫作用。

在现实生活中，我们常遇到与二次函数应用有关的问题，如拱桥的跨度，拱高的计算，又如在奥运赛场上跳水、铅球、篮球、排球等运动项目都与二次函数有关，那么如何运用二次函数知识解决这些实际问题呢？好我们大家一起进入本节课的学习。

问题1（画一画）请你画一个周长为12厘米的矩形，算一算它的面积是多少？再和周围同学比一比，你发现了什么？

问题2（练一练）已知一个矩形的周长为12米，它的一边为x米，那么矩形面积S与x有怎样关系？自变量的取值范围是什么？

问题3（试一试）若想设计一个符合问题2条件的的广告牌，广告的设计费是每平米1000元，如果你是设计师，怎么设计才能使设计费最多呢？

师生行为：教师在大屏幕上出示问题，学生独立思考，完成解答，师生共同纠正，这期间教师进行巡回指导，对问题3，根据情况可作小组讨论交流。

教师重点关注：1．学生能否正确求解，考虑问题是否全面；2．学生能否将实际问题转化为数学问题，渗透数学建模思想。

设计意图：问题1比较简单，但对学生有很大吸引力和挑战性，可有效地激发学生的学习兴趣。2小题在1小题基础上提出问题，引导学生对实际问题与二次函数展开联想。3小题在2小题基础上加入实际背景求最值，这样低起点，快反馈能有效地提高学生的数学兴趣。

问题  一种商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件，对市场调查反映，如调整价格，每涨1元，每星期少卖10件，每降1元，每星期多卖18件，已知商品进价为40元，请问：如何定价才能使每星期的利润最大？

师生行为：此问题难度较大，题目中变量较多，教师在学生仔细审题充分思考的基础上以问题串的形式为学生提供自学指导引导学生讨论如何建立函数模型，帮助学生解决问题。教师深入小组参与讨论。

①题中调整价格方式有哪些？②如何表示价格和利润？③如何确定x的取值范围？

教师重点关注：1．学生能否想到两种调整价格的方式；2．学生能否正确表示出卖价，销售额，利润这些变量，是否注意到自变量的取值范围；3．学生在计算上是否存在困难，有没有需要教师帮助的地方。

设计意图：此问题是学生感兴趣的经济问题，但涉及分类讨论思想，有一定难度，所以采取教师启发、引导与学生小组合作相结合形式解决这道题，意图是通过学生观察、思考，小组内交流活动培养开发他们的多元智能，出示自学指导的目的是为学生提供一种解

问题1  一位足球运动员罚任意球时，罚出的香蕉球的运行路线类似于抛物线，若球的高度与运行距离的关系式为y=-3（x－1)²+5，请你求出球的高度y的最大值                                                                                                                              

问题2  小亮家现有篱笆20米，要两面靠墙围成一个矩形

场地来养鸡，请你设计如何围才能使养鸡场面积最大？

师生行为：教师展示问题，学生独立思考，理解题意，问题1、2可由学生独立完成，集体纠正。

设计意图：问题1的设计主要是注重基础，给学生提供成功的希望和机会，促使他们的进步；问题2的设计，通过运用函数模型让学生体会数学实际价值，学会用函数的观点认识问题、解决问题。

1．在本节课你学习了哪些数学知识？运用了哪些数学思想方法。

2．通过学习你有哪些体会与收获？

教师引导学生回顾，思考、交流

教师重点关注：1．学生归纳总结能力，语言是否准确；2．学生情感态度如何？

设计意图：让学生归纳本节课的学习内容，帮助学生归纳整理知识，形成知识网络，锻炼学生的语言智能。

布置作业

必做题：习题22.3   1—2题

选做题：习题22.3  4—5题

设计意图：分层作业，使不同层次的学生通过本节课的学习都有收获。