22.1 二次函数的图象和性质优秀教学设计内容

地区： 湖南省 - 怀化市 - 芷江县

学校：芷江侗族自治县第三中学

22.1　二次函数的图象和性… 初中数学       人教2011课标版

1、了解二次函数解析式的三种表示方法；

      2、抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等;

      3、一元二次方程与抛物线的结合与应用。

      4、利用二次函数解决实际问题。

复习重、难点：函数综合题型,二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。基于在初中教材的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，已经让学生掌握了二次函数的图象及一些性质，只是像单调性、对称性、零点这种性质还没有规范，课本给出的三个例题对于学生来说非常熟悉。本节课需要认真设计问题来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

函数综合题型

复习过程：

1y=ax2

当a＞0时，

开口          

当a＜0时,

开口           

Y=ax2+k

Y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

Y=ax2+bx+c

一、知识梳理（学生独立练习，分小组批改）

   3、二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而       ，在对称轴左侧，y随x的增大而        ；当a＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而       , 在对称轴左侧，y随x的增大而       

   4、抛物线y=ax2+bx+c，当a＞0时图象有最    点，此时函数有最     值         ；当a＜0时图象有最     点，此时函数有最      值          

自评        分（每空4分，共、二次函数解析式的三种表示方法：

（1）顶点式：           （2）交点式：             （3）一般式：               

    2、填表：

抛物线

对称轴

顶点坐标

开口方向

100分）

二、探究、讨论、练习（先独立思考，再分小组讨论，最后反馈信息）

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断下面各式的符号：

(1)abc (2)b2-4ac (3)2a+b (4)a+b+c                                             

（上题主要考查学生对二次函数的图象、性质的掌握情况：b2-4ac的符号看抛物线与x轴的交点情况；2a+b看对称轴的位置；而a+b+c的符号要看x= 1时y的值）

2、已知抛物线y=x2+（2k+1）x-k2+k

(1) 求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）设A（x1，0）和B（x2，0）是此抛物线与x轴的两个交点，且满足x12+x22= -2k2+2k+1，①求抛物线的解析式

②此抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积等于3，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

（此题主要考查抛物线与一元方程的根的判别式、根与系数的关系的联系，以及函数与几何知识的综合）

三归纳小结：

提问：通过本节课的练习，你学到了什么知识？

四、用数学（利用二次函数解决实际问题）

一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到的最大高度是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮球中心到地面的距离为3.05米，

（1）根据题意建立直角坐标系，并求出抛物线的解析式。

（2）该运动员的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

（此题把学生熟悉的运动员投篮问题与二次函数结合在一起，溶入了一定的生活背景，使学生产生数学学习兴趣；同时培养了学生把实际问题抽象成数学模型的能力。）

五、思维训练（供学有余力的学生做）:

已知抛物线y=x2+(1-2a)x+a2 (a≠0)与x轴交于两点A（x1,0），B(x2,0) ， (x1≠x2)

（1）求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点的左侧；

（2）若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=OC-2，求a的值。

根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：

1、知识与技能：掌握二次函数的图象与性质，能够借助于具体的二次函数应用所学知识解决简单的函数问题，理解和掌握从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。

2、过程与方法：通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，通过回顾归纳，类比分析的方法掌握从函数图象出发研究函数性质和从函数解析式性质去研究函数图象这两种从不同角度研究函数的数学方法，加深对函数概念的理解和研究函数的方法的认识。

3、情感、态度、价值观：让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。

五、教学重点与难点

教学重点：使学生掌握二次函数的概念、图象和性质；熟悉从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。

教学难点：借助于二次函数的解析式通过配方对函数性质的研究来分析推断二次函数的图象。

六、教学过程：

（一）创设情景、提出问题

本节课一开始我就让学生直接总结出二次函数的性质与图象，并指出如何得到函数的相关性质。学生在初中学习的基础上很容易就完成。就在学生回答后，教师提出一个让大家意想不到的问题：既然大家已经学习也掌握了二次函数的图象和性质，那我们今天还有必要再重复吗？编者的失误？还是另有用意呢？

【设计意图：一方面可以激发学生学习热情和探索新知的欲望；另一方面也给学生传递一个学习目标方面的信息。在学生感觉很疑惑的时候，教师再次设问，把问题引向深入。】

【学情预设：学生可能很疑惑，或者有一些猜测】

你能独立完成问题2吗？。

问题2:试作出二次函数 的图象。

要求学生按照自己处理二次函数的方法独立完成。

【设计意图：充分暴露学生的问题，突出本节课的重要性，激发学生学习的动力。】

【学情预设：一部分学生使用描点法作图；另一部分学生只确定对称轴和开口、只利用对称轴和y轴的交点等不是很规范的方法作图。】

在总结交流的基础上教师指出：有的同学用描点作图的方法作出函数的图象，从方法上没有问题，但是需要描出大量的点才能得到较为准确的图象；有的同学只是找到函数的对称轴判定开口方向就画出一个图象，或者是找到函数的对称轴和y轴的交点确定开口方向就画出函数的图象等等，这种不是很规范的作图方法，感觉很快，但是往往得到的图象不是很准确的，为什么呢？

（学生稍作思考）

师：实质上函数的性质是函数自身特殊对应关系的体现，而体现函数的对应关系的方法有解析式法、图象法和列表法。既然能够用解析式结合图象得到函数的性质，那么能否借助于解析式直接分析其性质，然后推断出图象的特征呢?在推断函数的图象时要考虑函数的哪些主要性质呢？我想这也是今天这节课的意图所在，如何利用函数性质的研究来推断出较为准确的函数图象，大家是否有兴趣和能力来探讨这个问题呢？

带着这样的问题我带领学生进入下一个环节——师生互动、探究新知。

（二）师生互动、探究新知

在这个环节上，我引用课本所给的例题1请同学们以学习小组为单位尝试完成。

例1、试述二次函数 的性质，并作出它的图象。

要求：按照解析式----性质----推断函数图象的过程来探讨，

【设计意图是：以便于学生在对比中进一步理解函数性质的应用，突破应用函数的性质来推断函数图象这一难点。同时体验分析障碍和获得成功的快乐，激发学生的学习兴趣。】

在学生学习小组的一番探讨后，教师选小组代表做总结发言，要求说出利用解析式得到性质的分析过程。

（其他小组作出补充，教师引导从以下几个方面完善）：

（1）定义域（2）开口方向（3）值域（顶点）及最值（4）对称轴（5）单调性（6）奇偶性（7）零点（8）图象

【设计意图是：让学生在师生互动，共同探讨的过程中逐步实现知识的迁移，基本上形成新的认知。】

【学情预设：因为是第一次尝试利用解析式分析性质并推断图象，学生对于某些性质不能准确的阐述出分析过程，对对称轴的确定、单调区间及单调性的分析等可能存在困难。】

这时教师可以利用对解析式的分析结合多媒体引导学生得到分析的思路和解决的方法，进而突破教学难点。 

根据实际情况教师可以引导学生从二次函数的配方结果来分析：

（1）单调性的分析：

在 = 中当 时， 取得最小值-2，当 时，自变量 越小， 就越大， 就越大，即 就越大；当 时，自变量 越大， 就越大， 就越大，即 就越大；

这样单调性及单调区间（分界点）自然可以解决，结合单调性的定义可给出严格的证明；同时也可以帮助我们说明开口的方向是向上的。

（2）对称性的分析：

在 = 中当 和 时，如果 = 时，即 也就是 时，一定有 成立。因此可以令 ， ，则 也就是 成立，这就是说二次函数 的自变量 在 轴上取两个关于-4对应的点为对称中心的两个点对应的两个数 和 时，函数值 总是成立的，这就说明函数的图象关于直线 对称。

在对解析式分析的同时借助于几何画板课件演示，让学生直观感受：

然后在教师的引导之下推广并得出一般结论：如果函数 对定义域内的任意 都有 成立，则函数 的图象关于直线 对称。

在得出对称性的一般结论这一副产品后，为了强化对这个结论的认识和理解，教师可以安插一个练习题：

练习：试用以上结论来概括函数 应该满足的结论是___________________________.

在完成以上各环节后，教师再次提出任务：既然我们把二次函数的相关性质都分析完成，那么根据以上性质请同学们再次分析如何利用二次函数的性质推断出二次函数的图象? 用二次函数的性质推断函数的图象时需要研究分析二次函数的哪些主要性质才能比较准确地画出图象？

【设计意图是：学生自主探究、小组讨论、发现知识间的内在联系．教师针对学生的讨论，对学生思维上进行恰当的启迪，方法上进行及时的点拨，让学生真正实现知识的迁移，形成较为完整的新的认知体系。鼓励学生积极、主动地探究，以顺利地完成整个探究过程．】

各学习小组再次探讨后，请学习小组代表回答，教师引导完成图象：

在这个过程中，考虑到各学习小组的水平可能有所不同，有同学可能提出图象为什么是曲线而不是直线等问题，教师要说明其实这也是研究函数要考虑的一个重要的性质，是函数的凹凸性，后面我们将要给大家介绍，有兴趣的同学可以阅读课本第110页的探索与研究。

【设计意图是：为后面的探索与研究打下伏笔，同时也给学生留下一个思考与探索的空间，培养学生课外阅读、自主研究的能力，增强学生学习数学的积极性．】

【学情预设：有同学可能提出图象为什么是曲线而不是直线的质疑。】

在得到函数的图象之后，教师再请同学们以学习小组为单位，分析讨论利用二次函数解析式结合图象分析性质和利用解析式分析性质然后推断函数图象的两种研究过程的流程图.

学习小组代表回答，教师引导完成以下内容：

22.1　二次函数的图象和性质

22.1　二次函数的图象和性质

复习过程：

1y=ax2

当a＞0时，

开口          

当a＜0时,

开口           

Y=ax2+k

Y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

Y=ax2+bx+c

一、知识梳理（学生独立练习，分小组批改）

   3、二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而       ，在对称轴左侧，y随x的增大而        ；当a＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而       , 在对称轴左侧，y随x的增大而       

   4、抛物线y=ax2+bx+c，当a＞0时图象有最    点，此时函数有最     值         ；当a＜0时图象有最     点，此时函数有最      值          

自评        分（每空4分，共、二次函数解析式的三种表示方法：

（1）顶点式：           （2）交点式：             （3）一般式：               

    2、填表：

抛物线

对称轴

顶点坐标

开口方向

100分）

二、探究、讨论、练习（先独立思考，再分小组讨论，最后反馈信息）

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断下面各式的符号：

(1)abc (2)b2-4ac (3)2a+b (4)a+b+c                                             

（上题主要考查学生对二次函数的图象、性质的掌握情况：b2-4ac的符号看抛物线与x轴的交点情况；2a+b看对称轴的位置；而a+b+c的符号要看x= 1时y的值）

2、已知抛物线y=x2+（2k+1）x-k2+k

(1) 求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）设A（x1，0）和B（x2，0）是此抛物线与x轴的两个交点，且满足x12+x22= -2k2+2k+1，①求抛物线的解析式

②此抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积等于3，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

（此题主要考查抛物线与一元方程的根的判别式、根与系数的关系的联系，以及函数与几何知识的综合）

三归纳小结：

提问：通过本节课的练习，你学到了什么知识？

四、用数学（利用二次函数解决实际问题）

一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到的最大高度是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮球中心到地面的距离为3.05米，

（1）根据题意建立直角坐标系，并求出抛物线的解析式。

（2）该运动员的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

（此题把学生熟悉的运动员投篮问题与二次函数结合在一起，溶入了一定的生活背景，使学生产生数学学习兴趣；同时培养了学生把实际问题抽象成数学模型的能力。）

五、思维训练（供学有余力的学生做）:

已知抛物线y=x2+(1-2a)x+a2 (a≠0)与x轴交于两点A（x1,0），B(x2,0) ， (x1≠x2)

（1）求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点的左侧；

（2）若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=OC-2，求a的值。

根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：

1、知识与技能：掌握二次函数的图象与性质，能够借助于具体的二次函数应用所学知识解决简单的函数问题，理解和掌握从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。

2、过程与方法：通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，通过回顾归纳，类比分析的方法掌握从函数图象出发研究函数性质和从函数解析式性质去研究函数图象这两种从不同角度研究函数的数学方法，加深对函数概念的理解和研究函数的方法的认识。

3、情感、态度、价值观：让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。

五、教学重点与难点

教学重点：使学生掌握二次函数的概念、图象和性质；熟悉从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。

教学难点：借助于二次函数的解析式通过配方对函数性质的研究来分析推断二次函数的图象。

六、教学过程：

（一）创设情景、提出问题

本节课一开始我就让学生直接总结出二次函数的性质与图象，并指出如何得到函数的相关性质。学生在初中学习的基础上很容易就完成。就在学生回答后，教师提出一个让大家意想不到的问题：既然大家已经学习也掌握了二次函数的图象和性质，那我们今天还有必要再重复吗？编者的失误？还是另有用意呢？

【设计意图：一方面可以激发学生学习热情和探索新知的欲望；另一方面也给学生传递一个学习目标方面的信息。在学生感觉很疑惑的时候，教师再次设问，把问题引向深入。】

【学情预设：学生可能很疑惑，或者有一些猜测】

你能独立完成问题2吗？。

问题2:试作出二次函数 的图象。

要求学生按照自己处理二次函数的方法独立完成。

【设计意图：充分暴露学生的问题，突出本节课的重要性，激发学生学习的动力。】

【学情预设：一部分学生使用描点法作图；另一部分学生只确定对称轴和开口、只利用对称轴和y轴的交点等不是很规范的方法作图。】

在总结交流的基础上教师指出：有的同学用描点作图的方法作出函数的图象，从方法上没有问题，但是需要描出大量的点才能得到较为准确的图象；有的同学只是找到函数的对称轴判定开口方向就画出一个图象，或者是找到函数的对称轴和y轴的交点确定开口方向就画出函数的图象等等，这种不是很规范的作图方法，感觉很快，但是往往得到的图象不是很准确的，为什么呢？

（学生稍作思考）

师：实质上函数的性质是函数自身特殊对应关系的体现，而体现函数的对应关系的方法有解析式法、图象法和列表法。既然能够用解析式结合图象得到函数的性质，那么能否借助于解析式直接分析其性质，然后推断出图象的特征呢?在推断函数的图象时要考虑函数的哪些主要性质呢？我想这也是今天这节课的意图所在，如何利用函数性质的研究来推断出较为准确的函数图象，大家是否有兴趣和能力来探讨这个问题呢？

带着这样的问题我带领学生进入下一个环节——师生互动、探究新知。

（二）师生互动、探究新知

在这个环节上，我引用课本所给的例题1请同学们以学习小组为单位尝试完成。

例1、试述二次函数 的性质，并作出它的图象。

要求：按照解析式----性质----推断函数图象的过程来探讨，

【设计意图是：以便于学生在对比中进一步理解函数性质的应用，突破应用函数的性质来推断函数图象这一难点。同时体验分析障碍和获得成功的快乐，激发学生的学习兴趣。】

在学生学习小组的一番探讨后，教师选小组代表做总结发言，要求说出利用解析式得到性质的分析过程。

（其他小组作出补充，教师引导从以下几个方面完善）：

（1）定义域（2）开口方向（3）值域（顶点）及最值（4）对称轴（5）单调性（6）奇偶性（7）零点（8）图象

【设计意图是：让学生在师生互动，共同探讨的过程中逐步实现知识的迁移，基本上形成新的认知。】

【学情预设：因为是第一次尝试利用解析式分析性质并推断图象，学生对于某些性质不能准确的阐述出分析过程，对对称轴的确定、单调区间及单调性的分析等可能存在困难。】

这时教师可以利用对解析式的分析结合多媒体引导学生得到分析的思路和解决的方法，进而突破教学难点。 

根据实际情况教师可以引导学生从二次函数的配方结果来分析：

（1）单调性的分析：

在 = 中当 时， 取得最小值-2，当 时，自变量 越小， 就越大， 就越大，即 就越大；当 时，自变量 越大， 就越大， 就越大，即 就越大；

这样单调性及单调区间（分界点）自然可以解决，结合单调性的定义可给出严格的证明；同时也可以帮助我们说明开口的方向是向上的。

（2）对称性的分析：

在 = 中当 和 时，如果 = 时，即 也就是 时，一定有 成立。因此可以令 ， ，则 也就是 成立，这就是说二次函数 的自变量 在 轴上取两个关于-4对应的点为对称中心的两个点对应的两个数 和 时，函数值 总是成立的，这就说明函数的图象关于直线 对称。

在对解析式分析的同时借助于几何画板课件演示，让学生直观感受：

然后在教师的引导之下推广并得出一般结论：如果函数 对定义域内的任意 都有 成立，则函数 的图象关于直线 对称。

在得出对称性的一般结论这一副产品后，为了强化对这个结论的认识和理解，教师可以安插一个练习题：

练习：试用以上结论来概括函数 应该满足的结论是___________________________.

在完成以上各环节后，教师再次提出任务：既然我们把二次函数的相关性质都分析完成，那么根据以上性质请同学们再次分析如何利用二次函数的性质推断出二次函数的图象? 用二次函数的性质推断函数的图象时需要研究分析二次函数的哪些主要性质才能比较准确地画出图象？

【设计意图是：学生自主探究、小组讨论、发现知识间的内在联系．教师针对学生的讨论，对学生思维上进行恰当的启迪，方法上进行及时的点拨，让学生真正实现知识的迁移，形成较为完整的新的认知体系。鼓励学生积极、主动地探究，以顺利地完成整个探究过程．】

各学习小组再次探讨后，请学习小组代表回答，教师引导完成图象：

在这个过程中，考虑到各学习小组的水平可能有所不同，有同学可能提出图象为什么是曲线而不是直线等问题，教师要说明其实这也是研究函数要考虑的一个重要的性质，是函数的凹凸性，后面我们将要给大家介绍，有兴趣的同学可以阅读课本第110页的探索与研究。

【设计意图是：为后面的探索与研究打下伏笔，同时也给学生留下一个思考与探索的空间，培养学生课外阅读、自主研究的能力，增强学生学习数学的积极性．】

【学情预设：有同学可能提出图象为什么是曲线而不是直线的质疑。】

在得到函数的图象之后，教师再请同学们以学习小组为单位，分析讨论利用二次函数解析式结合图象分析性质和利用解析式分析性质然后推断函数图象的两种研究过程的流程图.

学习小组代表回答，教师引导完成以下内容：