14.3因式分解（通用）名师教学设计1

地区： 江西省 - 上饶市 - 余干县

学校：余干县乌泥初级中学

14.3　因式分解 初中数学       人教2011课标版

一、教学目标

（1）知识与技能：

1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；

 2.会用平方差公式进行因式分解；

  3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．

方法与过程：

  1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力和逆向思维能力.

  2.训练学生对平方差公式的运用能力．

（3）情感与态度：

在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识。

教学重点：掌握运用平方差公式分解因式.

    教学难点：灵活运用平方差公式，解决实际问题。

三、教学准备：在整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的准备． 

四、教学过程

（一）练一练

填空：

 （1）（x+3）（x–3） =                 ；

（2）（4x+y）（4x–y）=               ；

（3）（1+2x）（1–2x）=               ；

（4）（3m +2n）（3m–2n）=              ．

根据上面式子填空：

（1）9m2–4n2=                  ；

（2）16x2–y2=                  ；

（3）x2–9=                  ；

（4）1–4x2=                  ．

设计意图：引导学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．

注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．

（二）想一想

（二）想一想

观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？

结论：a2–b2=（a+b）（a–b）

设计意图：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征．

注意事项：学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快，但用语言叙述第二组式子的左右两边的共同特征有一定的困难，必须在老师的指导下才能完成．

（三）

把下列各式因式分解：

（1）25–16x2            （2）9a2–b2

设计意图：培养学生对平方差公式的应用能力．

注意事项:学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难，学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．

（四）议一议

将下列各式因式分解：

（1）（2x+y)2 -(x+2y)2                （2）2x3–8x

（3） a4-16

设计意图：

（1）让学生理解在平方差公式a2–b2=（a+b）（a–b）中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，向学生渗透换元的思想方法；

（2）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．

（3）使学生能运用幂的乘方逆运算将4次的降为2次的，将其转化为两数平方差的  形 式，从  而  将  问 题  解  决  。针 对 分 解 不 彻  底 地  现 象  ，充 分 利  用  学 生 资  源  ，发 现  问  题  ，展 示  问  题  ，最  终  解  决  问  题  。

注意事项：在教师的引导下，学生能逐步理解平方差公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．

反馈练习

1、判断正误：

 （1）x2+y2=（x+y）(x–y)           (    )

 （2）–x2+y2=–（x+y）(x–y)       (    )

 （3）x2–y2=（x+y）(x–y)          (    )

 （4）–x2–y2=–（x+y）(x–y)      (    )

2、把下列各式因式分解：

 （1）4–m2                    （2）9m2–4n2

 （3）a2b2－m2                  （4）(m－a)2－(n＋b)2

（5）–16x4＋81y4              （6）3x3y–12xy

知识延伸

  思考题：（1）整式乘法计算：（x-y)(x2 +xy+y2)=

           (2)     分解因式： x3-y3=

             (3)       试一试：  8x3-27y3=

设计意图：平方差，4次方差学生都会因式分解了。但是3次方差如何分解呢？通过这个思考题让学生明白公式是经过人们长期实践探索出来的，大大提高了学生学习兴趣。并为高中学习立方差打好基础。

从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？

设计意图：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．

 注意事项：学生认识到了以下事实：

（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；

（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；

（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；

板书设计：       14.3.2    公式法

                   平方差公式：a2   -  b2  = (a + b)(a - b)  

逆向思维是一种启发智力的方式，它有悖于人们通常的习惯，而正是这一特点，使得许多靠正向思维不能或是难于解决的问题迎刃而解．一些正向思维虽能解决的问题，在它的参与下，过程可以大大简化，效率可以成倍提高．正思与反思就象分析的一对翅膀，不可或缺．

传统的课堂教学结果表明：许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神．

因此，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．

14.3　因式分解

14.3　因式分解

三、教学准备：在整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的准备． 

四、教学过程

（一）练一练

填空：

 （1）（x+3）（x–3） =                 ；

（2）（4x+y）（4x–y）=               ；

（3）（1+2x）（1–2x）=               ；

（4）（3m +2n）（3m–2n）=              ．

根据上面式子填空：

（1）9m2–4n2=                  ；

（2）16x2–y2=                  ；

（3）x2–9=                  ；

（4）1–4x2=                  ．

设计意图：引导学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．

注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．

（二）想一想

（二）想一想

观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？

结论：a2–b2=（a+b）（a–b）

设计意图：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征．

注意事项：学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快，但用语言叙述第二组式子的左右两边的共同特征有一定的困难，必须在老师的指导下才能完成．

（三）

把下列各式因式分解：

（1）25–16x2            （2）9a2–b2

设计意图：培养学生对平方差公式的应用能力．

注意事项:学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难，学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．

（四）议一议

将下列各式因式分解：

（1）（2x+y)2 -(x+2y)2                （2）2x3–8x

（3） a4-16

设计意图：

（1）让学生理解在平方差公式a2–b2=（a+b）（a–b）中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，向学生渗透换元的思想方法；

（2）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．

（3）使学生能运用幂的乘方逆运算将4次的降为2次的，将其转化为两数平方差的  形 式，从  而  将  问 题  解  决  。针 对 分 解 不 彻  底 地  现 象  ，充 分 利  用  学 生 资  源  ，发 现  问  题  ，展 示  问  题  ，最  终  解  决  问  题  。

注意事项：在教师的引导下，学生能逐步理解平方差公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．

反馈练习

1、判断正误：

 （1）x2+y2=（x+y）(x–y)           (    )

 （2）–x2+y2=–（x+y）(x–y)       (    )

 （3）x2–y2=（x+y）(x–y)          (    )

 （4）–x2–y2=–（x+y）(x–y)      (    )

2、把下列各式因式分解：

 （1）4–m2                    （2）9m2–4n2

 （3）a2b2－m2                  （4）(m－a)2－(n＋b)2

（5）–16x4＋81y4              （6）3x3y–12xy

知识延伸

  思考题：（1）整式乘法计算：（x-y)(x2 +xy+y2)=

           (2)     分解因式： x3-y3=

             (3)       试一试：  8x3-27y3=

设计意图：平方差，4次方差学生都会因式分解了。但是3次方差如何分解呢？通过这个思考题让学生明白公式是经过人们长期实践探索出来的，大大提高了学生学习兴趣。并为高中学习立方差打好基础。

从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？

设计意图：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．

 注意事项：学生认识到了以下事实：

（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；

（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；

（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；

板书设计：       14.3.2    公式法

                   平方差公式：a2   -  b2  = (a + b)(a - b)  

逆向思维是一种启发智力的方式，它有悖于人们通常的习惯，而正是这一特点，使得许多靠正向思维不能或是难于解决的问题迎刃而解．一些正向思维虽能解决的问题，在它的参与下，过程可以大大简化，效率可以成倍提高．正思与反思就象分析的一对翅膀，不可或缺．

传统的课堂教学结果表明：许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神．

因此，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．