22.1 二次函数的图象和性质名师教学实录

地区： 湖南省 - 湘　西 - 永顺县

学校：永顺县溪州中学

22.1　二次函数的图象和性… 初中数学       人教2011课标版

知识与技能

从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

过程与方法

   会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。

   会用待定系数法求二次函数的解析式。 

情感价值态度观

   培养学生善于分析、善于思考、善于合作的学习习惯，体会学习数学的乐趣

初中生的观察能力有所发展，能按照教学的要求有意识地较长时间地观察，但观察的精确性，深入性不够，不能透过复杂的现象看本质，有竟识记有所发展并逐渐占主导地位，但个别差异明显——男生反对死记硬背，女生偏重机械记忆。抽象逻辑思维开始占优势，但具体的形象思维还时有表现，其抽象的概念思维还需要感性经验的支持，想象随着兴趣的扩展，知识的增长，能力的提高，变得十分丰富。但在应用数学知识解决实际问题的能力方面，还缺乏经验。

教学重点：二次函数的概念和解析式

教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，

          要求学生有较强的概括能力。

一、创设情境，导入新课

问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 

问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？

这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）

合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：

（1）面积y (cm2)与圆的半径 x  ( Cm )     

(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元;  

(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)    

教师组织合作学习活动：

先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。
上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。

（1）y =πx2    （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000  

 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112

（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 

让学生充分发表意见，提出各自看法。

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax²+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的形式. 

板书：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) 

称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项，

请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项

做一做书上练习

下列函数中，哪些是二次函数？

2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

3、若函数 为二次函数，则m的值为       。

三、例题示范，了解规律

例1、已知二次函数  当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。

此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法。

练习：已知二次函数  ，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。求这个二次函数的解析式。

例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2),求：

y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围。
当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示。    

方法：

（1）学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。

（2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：

求差法：四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积DE4倍。 

直接法：先证明四边形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH2

 (3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。

（4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x与y 之间数值的对应关系和内在的规律性：随着x的取值的增大，y的值先减后增；y的值具有对称性。

练习： 

用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：

(1)写出y关于x的函数关系式.

(2)当x=3时,矩形的面积为多少? 

归纳小结，反思提高

本节课你有什么收获？ 

为了帮学生建构二次函数的概念，

从学生非常熟悉的正方形的面积的

研究出发，引出二次函数的概念，

归纳出二次函数的解析式。教师要

重点强调学生往往会忽略的最高项系数

不能为0这个条件   。每一个新概念对学生来说都是难点，

要多举实例，避免过于抽象。

22.1　二次函数的图象和性质

22.1　二次函数的图象和性质

一、创设情境，导入新课

问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 

问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？

这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）

合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：

（1）面积y (cm2)与圆的半径 x  ( Cm )     

(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元;  

(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)    

教师组织合作学习活动：

先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。
上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。

（1）y =πx2    （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000  

 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112

（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 

让学生充分发表意见，提出各自看法。

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax²+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的形式. 

板书：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) 

称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项，

请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项

做一做书上练习

下列函数中，哪些是二次函数？

2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

3、若函数 为二次函数，则m的值为       。

三、例题示范，了解规律

例1、已知二次函数  当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。

此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法。

练习：已知二次函数  ，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。求这个二次函数的解析式。

例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2),求：

y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围。
当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示。    

方法：

（1）学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。

（2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：

求差法：四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积DE4倍。 

直接法：先证明四边形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH2

 (3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。

（4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x与y 之间数值的对应关系和内在的规律性：随着x的取值的增大，y的值先减后增；y的值具有对称性。

练习： 

用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：

(1)写出y关于x的函数关系式.

(2)当x=3时,矩形的面积为多少? 

归纳小结，反思提高

本节课你有什么收获？ 

为了帮学生建构二次函数的概念，

从学生非常熟悉的正方形的面积的

研究出发，引出二次函数的概念，

归纳出二次函数的解析式。教师要

重点强调学生往往会忽略的最高项系数

不能为0这个条件   。每一个新概念对学生来说都是难点，

要多举实例，避免过于抽象。