22.3实际问题与二次函数（通用）课堂实录【2】

地区： 湖北省 - 武汉市 - 东湖新技术开发区

学校：武汉东湖新技术开发区豹澥初级中学

22.3 实际问题与二次函数 初中数学       人教2011课标版

实际问题中能够利用二次函数的顶点求出最值，注意自变量的取值范围

考点1　二次函数求最值的应用

依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题．

[注意] 对二次函数的最大(小)值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊要求，结合图象进行理解．

考点2　利用图象信息解决问题

两种常见题型：

(1)观察点的特征，验证满足二次函数的解析式及其图象，利用二次函数的性质求解；

(2)由图文提供的信息，建立二次函数模型解题．

[注意] 获取图象信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标等．

考点3　建立二次函数模型解决问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线所对应的函数解析式，通过解析式解决一些测量问题或其他问题．

[注意] 构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标系是关键．

二次函数

课前训练： 二次函数中考中的应用

考点1　二次函数求最值的应用

依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题． 

[注意] 对二次函数的最大(小)值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊要求，结合图象进行理解．

考点2　利用图象信息解决问题

两种常见题型： 

(1)观察点的特征，验证满足二次函数的解析式及其图象，利用二次函数的性质求解； 

(2)由图文提供的信息，建立二次函数模型解题． 

[注意] 获取图象信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标等．

考点3　建立二次函数模型解决问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线所对应的函数解析式，通过解析式解决一些测量问题或其他问题． 

[注意] 构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标系是关键．

课堂训练：

探究一   分段函数的实际应用

例1、．(2014·武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：

时间x(天)

1≤x＜50

50≤x≤90

售价(元/件)

x＋40

90

每天销量(件)

200－2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．

(1)求出y与x的函数关系式；

(1)请分析表格中销售量P与x的关系，求出销售量P与x之间的函数解析式；

(2)求该超市销售该新型商品第x天获得的利润y元关于x的函数解析式；

(3)这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？

例题分层分析

(1)从表格中你能观察出P与x之间的函数关系吗？是什么函数？

(2)销售单价q与销售天数x之间是分段函数吗？它的实际意义是什么？它的自变量的取值范围是什么？

(3)销售利润＝销售量×每一件的利润，结合函数解析式，分两种情况讨论：①1≤x＜25；②25≤x≤50.

(4)根据不同的函数在各自的取值范围内求最大值．

解题方法点析

解多个分段函数问题时，要注意找全自变量的取值范围，然后在每一段取值范围内求函数解析式

 (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少元？

(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．

例2 [2014·鄂州] 大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量P(件)与销售的天数x之间的关系如下表：

x(天)

1

2

3

…

50

P(件)

118

116

114

…

20

销售单价q(元/件)与销售天数x满足：当1≤x＜25时，q＝x＋60；当25≤x≤50时，q＝40＋x
(
1125
)
.

探究二      二次函数在面积中的应用

例3 如图15－2，在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知点E，F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x cm.

(1)若折成的包装盒恰好是一个正方体，试求这个包装盒的体积V；

(2)某广告商要求包装盒的表面积(不含下底面)S最大，试问x应取何值？

图15－2

课堂小结：

函数实际应用型问题是把题中数量关系抽象为函数模型，如一次函数、二次函数、反比例函数以及它们的分段函数，进而应用函数进行分析、研究解决有关问题．函数问题的实质是研究两变量之间的对应关系，用函数思想构建数学模型解决实际问题

22.3 实际问题与二次函数

22.3 实际问题与二次函数

课前训练： 二次函数中考中的应用

考点1　二次函数求最值的应用

依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题． 

[注意] 对二次函数的最大(小)值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊要求，结合图象进行理解．

考点2　利用图象信息解决问题

两种常见题型： 

(1)观察点的特征，验证满足二次函数的解析式及其图象，利用二次函数的性质求解； 

(2)由图文提供的信息，建立二次函数模型解题． 

[注意] 获取图象信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标等．

考点3　建立二次函数模型解决问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线所对应的函数解析式，通过解析式解决一些测量问题或其他问题． 

[注意] 构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标系是关键．

课堂训练：

探究一   分段函数的实际应用

例1、．(2014·武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：

时间x(天)

1≤x＜50

50≤x≤90

售价(元/件)

x＋40

90

每天销量(件)

200－2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．

(1)求出y与x的函数关系式；

(1)请分析表格中销售量P与x的关系，求出销售量P与x之间的函数解析式；

(2)求该超市销售该新型商品第x天获得的利润y元关于x的函数解析式；

(3)这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？

例题分层分析

(1)从表格中你能观察出P与x之间的函数关系吗？是什么函数？

(2)销售单价q与销售天数x之间是分段函数吗？它的实际意义是什么？它的自变量的取值范围是什么？

(3)销售利润＝销售量×每一件的利润，结合函数解析式，分两种情况讨论：①1≤x＜25；②25≤x≤50.

(4)根据不同的函数在各自的取值范围内求最大值．

解题方法点析

解多个分段函数问题时，要注意找全自变量的取值范围，然后在每一段取值范围内求函数解析式

 (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少元？

(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．

例2 [2014·鄂州] 大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量P(件)与销售的天数x之间的关系如下表：

x(天)

1

2

3

…

50

P(件)

118

116

114

…

20

销售单价q(元/件)与销售天数x满足：当1≤x＜25时，q＝x＋60；当25≤x≤50时，q＝40＋x
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探究二      二次函数在面积中的应用

例3 如图15－2，在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知点E，F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x cm.

(1)若折成的包装盒恰好是一个正方体，试求这个包装盒的体积V；

(2)某广告商要求包装盒的表面积(不含下底面)S最大，试问x应取何值？

图15－2

课堂小结：

函数实际应用型问题是把题中数量关系抽象为函数模型，如一次函数、二次函数、反比例函数以及它们的分段函数，进而应用函数进行分析、研究解决有关问题．函数问题的实质是研究两变量之间的对应关系，用函数思想构建数学模型解决实际问题