22.3实际问题与二次函数（通用）教学实录

地区： 四川省 - 泸州市 -

学校：泸州天立学校

22.3 实际问题与二次函数 初中数学       人教2011课标版

知识与能力目标：理解二次函数的意义，会用描点法画出二次函数图象，理解二次函数与一元二次方程的关系

过程与方法目标：有关函数的方案与决策问题的解决方法

情感态度与价值观：会构建二次函数某型解决一类与函数有关的应用性问题，应用数形结合思想来解决有关综合性问题

对二次函数的灵活运用，重点在与要建构数形结合思想

重点：启发学生，观察有关函数的方案与决策问题的决策问题的解题方法

难点：有关函数的方案与决策问题的解题方法

理解二次函数的性质

    抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=- 时,y最小值= ;反之当a<0时,简记左增右减,当x=- 时y最大值= .

  三、中考题型例析

    1. 二次函数解析式的确定

    例1  求满足下列条件的二次函数的解析式

    (1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);

    (2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;

    (3)图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.    分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.

    (1)解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得

            解得

    ∴解析式为y=x2+2.

(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).

设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8.

    把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2.

    即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.

解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上,

把x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,

∴解析式为y=2x2-4x-6.

    解法3:∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.

    ∵函数有最小值-8.

    ∴ =-8.

    又∵a≠0,∴a=2.

    ∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.

(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,

又∵图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.

由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0),

设出两根式y=a(x-x1)·(x-x2),

将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8.

    点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k来求解;若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x1)(x-x2).

   2. 二次函数的图象

    例2  (2003·孝感)y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在(  ).

    A.第一象限      B.第二象限

    C.第三象限      D.第四象限

    分析:由图可知:

    抛物线开口向上 a>0.

     bc<0.

    ∴点M(a,bc)在第一象限.

    答案:A.

    点评:本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、c的符号.

例3  (2003·岳阳)已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是(   ).

    分析:一次函数y=ax+c,当a>0时,图象过一、三象限;当a<0时,图象过二、四象限;c>0时,直线交y轴于正半轴;当c<0时,直线交y轴于负半轴;对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)来讲:

    解:可用排除法,设当a>0时,二次函数y=ax2+bx+c的开口向上,而一次函数y=ax+c应过一、三象限,故排除C;当a<0时,用同样方法可排除A;c决定直线与y轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y轴交点,本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点,故排除B.

    答案:D.

    3.  二次函数的性质

    例4  (2002·杭州)对于反比例函数y=- 与二次函数y=-x2+3,请说出他们的两个相同点:①_________,②_________;再说出它们的两个不同点:①________,②_________.

    分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③最值④自变量取值范围⑤交点等.

    解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);

    不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值.

    点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命题的热点.

四课堂小结：

本节探索了有关函数的方案与决策问题的解题方法，同学们要掌握解题方法技巧。

五、自我测评：

一、选择题:

  1.(2003·大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是(   ).

    A.直线x=-3       B.直线x=3     C.直线x=-2       D.直线x=2

  2.(2004·重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b, )在(   ).

    A.第一象限;  B.第二象限;  C.第三象限;   D.第四象限

  3.(2004·天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有(   ).

    A.b2-4ac>0      B.b2-4ac=0

    C.b2-4ac<0      D.b2-4ac≤0

  4.(2003·杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有(   ).

    A.b=3,c=7      B.b=-9,c=-15

C.b=3,c=3      D.b=-9,c=21

5.(2004·河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为(   ).

  6.(2004·昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是(   ).

A.4+m     B.m      C.2m-8      D.8-2m

二、填空题

  1.(2004·河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则 y=_______.

  2.(2003·新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.

  3.(2003·天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.

  4.(2004·武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.

  5.(2003·黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.

22.3 实际问题与二次函数

22.3 实际问题与二次函数

理解二次函数的性质

    抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=- 时,y最小值= ;反之当a<0时,简记左增右减,当x=- 时y最大值= .

  三、中考题型例析

    1. 二次函数解析式的确定

    例1  求满足下列条件的二次函数的解析式

    (1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);

    (2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;

    (3)图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.    分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.

    (1)解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得

            解得

    ∴解析式为y=x2+2.

(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).

设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8.

    把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2.

    即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.

解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上,

把x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,

∴解析式为y=2x2-4x-6.

    解法3:∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.

    ∵函数有最小值-8.

    ∴ =-8.

    又∵a≠0,∴a=2.

    ∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.

(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,

又∵图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.

由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0),

设出两根式y=a(x-x1)·(x-x2),

将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8.

    点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k来求解;若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x1)(x-x2).

   2. 二次函数的图象

    例2  (2003·孝感)y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在(  ).

    A.第一象限      B.第二象限

    C.第三象限      D.第四象限

    分析:由图可知:

    抛物线开口向上 a>0.

     bc<0.

    ∴点M(a,bc)在第一象限.

    答案:A.

    点评:本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、c的符号.

例3  (2003·岳阳)已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是(   ).

    分析:一次函数y=ax+c,当a>0时,图象过一、三象限;当a<0时,图象过二、四象限;c>0时,直线交y轴于正半轴;当c<0时,直线交y轴于负半轴;对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)来讲:

    解:可用排除法,设当a>0时,二次函数y=ax2+bx+c的开口向上,而一次函数y=ax+c应过一、三象限,故排除C;当a<0时,用同样方法可排除A;c决定直线与y轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y轴交点,本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点,故排除B.

    答案:D.

    3.  二次函数的性质

    例4  (2002·杭州)对于反比例函数y=- 与二次函数y=-x2+3,请说出他们的两个相同点:①_________,②_________;再说出它们的两个不同点:①________,②_________.

    分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③最值④自变量取值范围⑤交点等.

    解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);

    不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值.

    点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命题的热点.

四课堂小结：

本节探索了有关函数的方案与决策问题的解题方法，同学们要掌握解题方法技巧。

五、自我测评：

一、选择题:

  1.(2003·大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是(   ).

    A.直线x=-3       B.直线x=3     C.直线x=-2       D.直线x=2

  2.(2004·重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b, )在(   ).

    A.第一象限;  B.第二象限;  C.第三象限;   D.第四象限

  3.(2004·天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有(   ).

    A.b2-4ac>0      B.b2-4ac=0

    C.b2-4ac<0      D.b2-4ac≤0

  4.(2003·杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有(   ).

    A.b=3,c=7      B.b=-9,c=-15

C.b=3,c=3      D.b=-9,c=21

5.(2004·河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为(   ).

  6.(2004·昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是(   ).

A.4+m     B.m      C.2m-8      D.8-2m

二、填空题

  1.(2004·河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则 y=_______.

  2.(2003·新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.

  3.(2003·天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.

  4.(2004·武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.

  5.(2003·黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.