22.3实际问题与二次函数（通用）优质课教案设计

地区： 江苏省 - 南通市 - 如皋市

学校：如皋市石庄镇初级中学

22.3 实际问题与二次函数 初中数学       人教2011课标版

1．会求二次函数y＝ax²＋bx＋c的最小（大）值．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数，并运用二次函数的性质解决最小（大）值等实际问题．

学生已经学习了二次函数的图象以及它的性质，了解了其在实际问题中的简单应用。这节课将围绕二次函数的最大值的求法进行更进一步的探究，已获得化解实际问题的一般解题方法。

探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法．

情境：教师向上垂直抛一小球，让学生观察．请学生判断“小球的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）是否为函数关系”，并说明理由．

教师：小球的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）我们可以近似地看做是一个二次函数关系，接下来我们就应用二次函数这一模型来研究一些实际问题．（板书课题，投影问题）

问题1  从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t²（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

学生活动：用已经学过的知识，试着找出解决这个问题的思路，然后在小组中交流．

学生自主分析，3分钟后，教师组织学生开始在小组内交流各自的解题思路．

教师：说说你们的解题思路吧！

学生1：因为小球的高度h是小球的运动时间t的二次函数，所以我们可以利用二次函数的图象来研究这个问题．

教师：很好！根据函数的图象，我们可以发现这些函数所具有的性质，也就能够找到问题解决的途径．接下来，就请大家先做出函数的图象，并给出解题的过程．

学生按照列表、描点、连线的过程作出h＝30t－5t²（0≤t≤6）的图象，教师巡视并指导学生作图．

教师投影学生作出的图象，并请学生结合图象分析“小球的运动时间是多少时，小球最高”，说出它的最大高度．

学生2：小球运动的最大高度对应着函数图象中的最高点，也就是函数图象的顶点．

学生3：小球运动的最大高度对应着函数自变量取顶点横坐标时的函数值．

教师：那么，我们如何求出这个大高度呢？

学生4：当 时，h有最大值为 ．也就是说，当运动的时间是3s时，小球运动中的最大高度是45m．

问题2  对于二次函数y＝ax²＋bx＋c，如何求出它的最小（大）值呢？

学生活动：根据前面解决问题的方法，总结出求二次函数y＝ax²＋bx＋c的最小（大）值的方法．

（板书：当 时，y有最小（大）值为 ．）

巩固练习  用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？

（一学生板演，其余学生自主解答，教师巡视指导，并结合板演进行点评）

学生活动：认真阅读问题3至问题5，看看它们与问题1有和差别，并试着用解决问题1时作出的图象去解决这些问题．

问题4  从地面竖直向上抛出一小球，如果小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t²（0≤t≤2）．小球的运动时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？

问题5  从地面竖直向上抛出一小球，如果小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t²（1≤t≤4）．小球的运动时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？

问题6  从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t²（4≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？

学生自主解答，教师巡视指导，然后在全班交流解题的思路．

教师：通过解决上述5个问题，给你今后化解与二次函数有关的实际问题带来什么启示？请在小组中交流．

归纳：

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

（2）在自变量的取值范围内，找到函数图象的最高（低）点，从而求出二次函数的最小(大)值．

为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，墙长为am（0＜a＜40），另三边用总长为40m的栅栏围住（如图1）．设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为y（m²)．

　　（1）若a＝25，当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大面积是多少m²？

　　（2）若a＝15，当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大面积是多少m²？

通过这节课的学习，你有哪些收获？

（1）如何求二次函数的最小（大）值，并利用其解决实际问题？

（2）在解决问题的过程中应注意哪些问题？

必做题：教科书习题22.3　第1，4，5题．

选做题：教科书习题22.3　第7，8题．

22.3 实际问题与二次函数

22.3 实际问题与二次函数

情境：教师向上垂直抛一小球，让学生观察．请学生判断“小球的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）是否为函数关系”，并说明理由．

教师：小球的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）我们可以近似地看做是一个二次函数关系，接下来我们就应用二次函数这一模型来研究一些实际问题．（板书课题，投影问题）

问题1  从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t²（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

学生活动：用已经学过的知识，试着找出解决这个问题的思路，然后在小组中交流．

学生自主分析，3分钟后，教师组织学生开始在小组内交流各自的解题思路．

教师：说说你们的解题思路吧！

学生1：因为小球的高度h是小球的运动时间t的二次函数，所以我们可以利用二次函数的图象来研究这个问题．

教师：很好！根据函数的图象，我们可以发现这些函数所具有的性质，也就能够找到问题解决的途径．接下来，就请大家先做出函数的图象，并给出解题的过程．

学生按照列表、描点、连线的过程作出h＝30t－5t²（0≤t≤6）的图象，教师巡视并指导学生作图．

教师投影学生作出的图象，并请学生结合图象分析“小球的运动时间是多少时，小球最高”，说出它的最大高度．

学生2：小球运动的最大高度对应着函数图象中的最高点，也就是函数图象的顶点．

学生3：小球运动的最大高度对应着函数自变量取顶点横坐标时的函数值．

教师：那么，我们如何求出这个大高度呢？

学生4：当 时，h有最大值为 ．也就是说，当运动的时间是3s时，小球运动中的最大高度是45m．

问题2  对于二次函数y＝ax²＋bx＋c，如何求出它的最小（大）值呢？

学生活动：根据前面解决问题的方法，总结出求二次函数y＝ax²＋bx＋c的最小（大）值的方法．

（板书：当 时，y有最小（大）值为 ．）

巩固练习  用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？

（一学生板演，其余学生自主解答，教师巡视指导，并结合板演进行点评）

学生活动：认真阅读问题3至问题5，看看它们与问题1有和差别，并试着用解决问题1时作出的图象去解决这些问题．

问题4  从地面竖直向上抛出一小球，如果小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t²（0≤t≤2）．小球的运动时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？

问题5  从地面竖直向上抛出一小球，如果小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t²（1≤t≤4）．小球的运动时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？

问题6  从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t²（4≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？

学生自主解答，教师巡视指导，然后在全班交流解题的思路．

教师：通过解决上述5个问题，给你今后化解与二次函数有关的实际问题带来什么启示？请在小组中交流．

归纳：

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

（2）在自变量的取值范围内，找到函数图象的最高（低）点，从而求出二次函数的最小(大)值．

为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，墙长为am（0＜a＜40），另三边用总长为40m的栅栏围住（如图1）．设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为y（m²)．

　　（1）若a＝25，当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大面积是多少m²？

　　（2）若a＝15，当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大面积是多少m²？

通过这节课的学习，你有哪些收获？

（1）如何求二次函数的最小（大）值，并利用其解决实际问题？

（2）在解决问题的过程中应注意哪些问题？

必做题：教科书习题22.3　第1，4，5题．

选做题：教科书习题22.3　第7，8题．

• 优点:

  从教材例题入手，对例题进行了变式拓展，将“二次函数的极值问题”由顶点拓展到“取值范围内的最高点”，教者的立意深远，教学效果很好，学习了！

• 缺点:

  无

• 优点:

  紧贴学生，很好！

• 缺点:

  无

• 优点:

  题组展开变式教学，归纳呈现解题统发。

• 缺点:

  无