22.1 二次函数的图象和性质优质课教案内容

地区： 广东省 - 江门市 - 新会区

学校：江门市新会会城华侨中学

22.1　二次函数的图象和性… 初中数学       人教2011课标版

㈠知识技能：

1、探索并归纳二次函数的定义；

2、能够表示简单变量之间的二次函数关系。

㈡过程方法：

1、感悟新旧知识之间的关系，让学生更深刻地体会数学中的类比思想方法；

2、经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；

3、能够利用尝试求值的方法解决实际问题，进一步体会数学与生活的联系，增强用数学意识。

㈢情感态度：

1、把数学问题和实际问题相联系，从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；

2、使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用；

3、通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识。

学生对函数的相关知识已经陌生，第一课时应对上学段学的一次函数和正比例函数的知识做一个回顾，让学生重温学习函数应该从以下四个内容入手：认识函数；研究图像及其性质；利用函数解决实际问题；函数与相应方程的关系。再通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题。

㈠教学重点：

1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义；

2、能够表示简单变量之间的二次函数关系。

㈡教学难点：

经过探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。

⑴对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗?

⑵那些函数的定义是什么，大家还记得吗?

⑶能把学过的函数定义及一般形式回忆一下吗?

⑷学习这些函数的时候，大家还记得我们从哪几个方面探究的吗?

小组探究整理结果：

⑴学过正比例函数，一次函数。

⑵在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

⑶一次函数y=kx+b  （其中k、b是常数，且k≠0），当b=0时，

正比例函数y＝kx（k是不为0的常数）

⑷定义、函数的一般形式、函数的图像和性质、函数在实际问题中的应用、函数与方程与不等式的关系等。

小结：很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?本节课我们将揭开它神秘的面纱。

师生行为：教师提出问题，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。

㈠出示思考问题形成初步感悟：

1．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于x 的关系式是什么？

2．有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。比赛的场次数m与球队数n有什么关系？

3．某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？

4．问题⑴、⑵中有哪些变量?其中哪些是自变量? 大家根据刚才的分析，判断一下式子中的m是否是n的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗？问题⑶呢？

5．观察上面的三个函数，从解析式看有什么共同点？

学生思考问题，列出关系式。

⑴正方体的六个面是全等的   形，每个面的面积是    ，则y 关于x 的关系式是       。

⑵每个队要与其他   个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是   比赛，所以比赛的场次数m=        。

⑶这种产品的原产量是20t，一年后产量是    t，再经过一年后的产量则是     t，即两年后的产量为y=     。

⑷问题1、2、3让学生独立思考完成师生共同订正，问题4、5小组讨论完成，教师做适当的引导，点拨，得出问题结论。

㈡教师引导开展合作学习活动：

1、先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。

2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。

⑴ y =6x2

⑵  

⑶ y = 20 (1+x)2 = 20x2+40x+20

上述三个函数解析式具有哪些共同特征？（让学生发表意见，提出看法。）

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax²+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的形式。

板书：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) ，其中x是自变量，称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项。

请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项。

注意：切不可忽视a≠0。

㈠做一做：

1、下列函数中，哪些是二次函数？

⑴ y=－x2          ⑵ y=x+1/x   

⑶ y=2x2－x－1     ⑷ y=x(1－x)

⑸y=(x+3)²－x²    ⑹ y=3(x-1)²+1 

⑺ s=3-2t²         ⑻ v=10πr²                

2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

⑴  y=x^2+1 ⑵  y=3x^2+7x-12

⑶  y=2x(1-x)

3、若函数 y=(m^2-1)x^m^2-m 为二次函数，则m的值为       。

㈡实际问题中的二次函数：

1、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2)，求：

(1)y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围。

(2)当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示。   

2、用20米的篱笆围一个矩形的花圃，设连墙的一边为x，矩形的面积为y，求：

(1)写出y关于x的函数关系式。

(2)当x=3时，矩形的面积为多少？

3、书本P29的练习共两题。

课外作业：

A组：

依题意写出相应的函数关系式，再化成一般形式并指出其中a、b、c的值。

⑴一个矩形的长是宽的2倍，写出这个矩形的面积s关于宽x的函数解析式；

⑵某种商品的价格是2元，准备进行再次降价。如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，写出y与x之间的函数关系式。

B组：

如果函数y=（k+2）xk²－2是y关于x的二次函数，求k的值是多少？

22.1　二次函数的图象和性质

22.1　二次函数的图象和性质

⑴对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗?

⑵那些函数的定义是什么，大家还记得吗?

⑶能把学过的函数定义及一般形式回忆一下吗?

⑷学习这些函数的时候，大家还记得我们从哪几个方面探究的吗?

小组探究整理结果：

⑴学过正比例函数，一次函数。

⑵在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

⑶一次函数y=kx+b  （其中k、b是常数，且k≠0），当b=0时，

正比例函数y＝kx（k是不为0的常数）

⑷定义、函数的一般形式、函数的图像和性质、函数在实际问题中的应用、函数与方程与不等式的关系等。

小结：很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?本节课我们将揭开它神秘的面纱。

师生行为：教师提出问题，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。

㈠出示思考问题形成初步感悟：

1．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于x 的关系式是什么？

2．有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。比赛的场次数m与球队数n有什么关系？

3．某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？

4．问题⑴、⑵中有哪些变量?其中哪些是自变量? 大家根据刚才的分析，判断一下式子中的m是否是n的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗？问题⑶呢？

5．观察上面的三个函数，从解析式看有什么共同点？

学生思考问题，列出关系式。

⑴正方体的六个面是全等的   形，每个面的面积是    ，则y 关于x 的关系式是       。

⑵每个队要与其他   个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是   比赛，所以比赛的场次数m=        。

⑶这种产品的原产量是20t，一年后产量是    t，再经过一年后的产量则是     t，即两年后的产量为y=     。

⑷问题1、2、3让学生独立思考完成师生共同订正，问题4、5小组讨论完成，教师做适当的引导，点拨，得出问题结论。

㈡教师引导开展合作学习活动：

1、先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。

2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。

⑴ y =6x2

⑵  

⑶ y = 20 (1+x)2 = 20x2+40x+20

上述三个函数解析式具有哪些共同特征？（让学生发表意见，提出看法。）

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax²+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的形式。

板书：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) ，其中x是自变量，称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项。

请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项。

注意：切不可忽视a≠0。

㈠做一做：

1、下列函数中，哪些是二次函数？

⑴ y=－x2          ⑵ y=x+1/x   

⑶ y=2x2－x－1     ⑷ y=x(1－x)

⑸y=(x+3)²－x²    ⑹ y=3(x-1)²+1 

⑺ s=3-2t²         ⑻ v=10πr²                

2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

⑴  y=x^2+1 ⑵  y=3x^2+7x-12

⑶  y=2x(1-x)

3、若函数 y=(m^2-1)x^m^2-m 为二次函数，则m的值为       。

㈡实际问题中的二次函数：

1、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2)，求：

(1)y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围。

(2)当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示。   

2、用20米的篱笆围一个矩形的花圃，设连墙的一边为x，矩形的面积为y，求：

(1)写出y关于x的函数关系式。

(2)当x=3时，矩形的面积为多少？

3、书本P29的练习共两题。

课外作业：

A组：

依题意写出相应的函数关系式，再化成一般形式并指出其中a、b、c的值。

⑴一个矩形的长是宽的2倍，写出这个矩形的面积s关于宽x的函数解析式；

⑵某种商品的价格是2元，准备进行再次降价。如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，写出y与x之间的函数关系式。

B组：

如果函数y=（k+2）xk²－2是y关于x的二次函数，求k的值是多少？

• 优点:

  能够结合课标要求做好知识连续性的准备处理教材，练习与例子层次性高。

• 缺点:

  动画的演示欠缺。