22.3实际问题与二次函数（通用）优秀教学设计内容

地区： 新　疆 - 伊犁 - 伊宁县

学校：伊宁县愉群翁回族乡阿勒推中学

22.3 实际问题与二次函数 初中数学       人教2011课标版

1.知识与技能：学会将实际问转化为数学问题；学会用二次函数的知识解决有关的实际问题.

 2．过程与方法：经历“实际问题转化成数学问题——利用二次函数知识解决问题——利用求解的结果解释问题”的过程体会数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活。

3.情感态度、价值观：培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成。

对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题

利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题，就是本节课的教学重点；由于学生理解问题的能力和知识储备情况的不同，那么“从现实问题中建立二次函数模型。”就是本节课的一个难点。

 首先以人生就像一条抛物线可能会走下坡路，甚至走到最低点，但经过这个最低点就会平步青云,而二次函数与实际问题恰好是学生最近学习上的最低点，老师会带大家走出这个最低点来创设问题情境，激发学生的学习兴趣。增强学生的自信心，然后根据二次函数与实际问题考向将练习题型分为利用给定的函数关系式解决实际问题和建立函数关系解决实际问题两大类。其中第一种类型交给学生自主学习，尝试解决，第二大类又分为三块。

题型一：利用给定的函数关系式解决实际问题

如图1，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．
（1）球在空中运行的最大高度为多少米？
（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？

（利用多媒体出示图1）

题型二：建立函数关系解决实际问题

知识点1、用二次函数解决利润最值问题例1：某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合一次函数y=-x+120，若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？

引导学生即时小结：  利用二次函数解决利润等代数问题解题的一般步骤为：

（1）利用题目中的已知条件或公式，列出关系式。

（2）把关系式转化为二次函数解析式。

（3）求二次函数的最大值或最小值。

变式训练：某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？

 知识点2、求几何图形的最值

例2：如图2在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm²，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；t为何值时S最小？求出S的最小值。（,多媒体出示图2，要求学生板演过程）

知识点3、建立二次函数模型，解决实际问题例3：小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米?

要求：只需建立三种不同的直角坐标系，并设出函数解析式即可

点评后即时小结：二次函数与几何综合运用用二次函数来解决几何图形问题的关键是结合几何图形建立适当的平面直角坐标系，再利用二次函数的性质求解。

某校课间操出操时楼梯口常出现拥挤现象，为详细了解情况，九（1）班数学课题学习小组在楼梯口对前10分钟出入人数进行了观察记录，并根据得到的数据绘制成下面两幅图：
（1）在2至5分钟时，每分钟出楼梯口的人数p（人）与时间t（分）的关系可以看作一次函数，请你求出它的表达式．
（2）若把每分钟到达楼梯口的人数y（人）与时间t（分）（2≤t≤8）的关系近似的看作二次函数y=-t²+12t+49，问第几分钟时到达楼梯口的人数最多？最多人数是多少？
（3）调查发现，当楼梯口每分钟增加的滞留人数达到24人时，就会出现安全隐患．请你根据以上信息分析是否存在安全隐患．若存在，求出存在隐患的时间段．若不存在，请说明理由．（每分钟增加的滞留人数=每分钟到达楼梯口的人数-每分钟出楼梯楼的人数）
（4）根据你分析的结果，对学校提一个合理化建议．（字数在40个以内）

小结：⑴学生谈本节课学习的收获与疑惑。

⑵教师寄语：风雨后会见彩虹，只要努力没有学不懂的！

作业：

    某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出，为了减少投资而使利润增加，每床每晚应提高多少元？

22.3 实际问题与二次函数

22.3 实际问题与二次函数

 首先以人生就像一条抛物线可能会走下坡路，甚至走到最低点，但经过这个最低点就会平步青云,而二次函数与实际问题恰好是学生最近学习上的最低点，老师会带大家走出这个最低点来创设问题情境，激发学生的学习兴趣。增强学生的自信心，然后根据二次函数与实际问题考向将练习题型分为利用给定的函数关系式解决实际问题和建立函数关系解决实际问题两大类。其中第一种类型交给学生自主学习，尝试解决，第二大类又分为三块。

题型一：利用给定的函数关系式解决实际问题

如图1，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．
（1）球在空中运行的最大高度为多少米？
（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？

（利用多媒体出示图1）

题型二：建立函数关系解决实际问题

知识点1、用二次函数解决利润最值问题例1：某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合一次函数y=-x+120，若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？

引导学生即时小结：  利用二次函数解决利润等代数问题解题的一般步骤为：

（1）利用题目中的已知条件或公式，列出关系式。

（2）把关系式转化为二次函数解析式。

（3）求二次函数的最大值或最小值。

变式训练：某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？

 知识点2、求几何图形的最值

例2：如图2在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm²，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；t为何值时S最小？求出S的最小值。（,多媒体出示图2，要求学生板演过程）

知识点3、建立二次函数模型，解决实际问题例3：小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米?

要求：只需建立三种不同的直角坐标系，并设出函数解析式即可

点评后即时小结：二次函数与几何综合运用用二次函数来解决几何图形问题的关键是结合几何图形建立适当的平面直角坐标系，再利用二次函数的性质求解。

某校课间操出操时楼梯口常出现拥挤现象，为详细了解情况，九（1）班数学课题学习小组在楼梯口对前10分钟出入人数进行了观察记录，并根据得到的数据绘制成下面两幅图：
（1）在2至5分钟时，每分钟出楼梯口的人数p（人）与时间t（分）的关系可以看作一次函数，请你求出它的表达式．
（2）若把每分钟到达楼梯口的人数y（人）与时间t（分）（2≤t≤8）的关系近似的看作二次函数y=-t²+12t+49，问第几分钟时到达楼梯口的人数最多？最多人数是多少？
（3）调查发现，当楼梯口每分钟增加的滞留人数达到24人时，就会出现安全隐患．请你根据以上信息分析是否存在安全隐患．若存在，求出存在隐患的时间段．若不存在，请说明理由．（每分钟增加的滞留人数=每分钟到达楼梯口的人数-每分钟出楼梯楼的人数）
（4）根据你分析的结果，对学校提一个合理化建议．（字数在40个以内）

小结：⑴学生谈本节课学习的收获与疑惑。

⑵教师寄语：风雨后会见彩虹，只要努力没有学不懂的！

作业：

    某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出，为了减少投资而使利润增加，每床每晚应提高多少元？

• 优点:

  本节课从两个方面利用二次函数的知识对现实问题进行分析，教师能够结合学生平时学习中的难点、易错之处选择习题，且选择的题型很有针对性，有利于九年级学生综合素养的提升；教学中注重渗透建模思想，积极引导学生自主分析，达到了“授人以鱼，不如授人以渔”的目的。

• 缺点:

  教师在分析问题时，语速有点快。

• 优点:

  本节课精心设计了教学内容，以抛物线起落比拟人生变化，使枯燥的数学问题有了生活化的背景。教学内容抓住了二次函数中三个重要的问题：利润最值、几何最值、数学应用建模，通过学生自主学习，师生共解，探究活动等使重难点得以解决，教师授课驾轻就熟，游刃有余，展示了个人的教学积淀及风格。

• 缺点:

  数学建模问题解决后，应适当配置针对性的变式练习，使学生提高解决问题的能力，因为这个是本节课的难点。

• 优点:

  本节课导入很新颖，既阐述了上这节课的目的又鼓励学生克服困难，目标明确。教学设计紧凑有条理，练习目标明确，注重培养学生分析能力和数形结合思想的运用。鼓励学生用不同的方法建立直角坐标系体会“恰当”的效果。达到这节课的高潮。在中考链接环节恰到好处的引导让学生对复杂的问题不再恐惧。

• 缺点:

  没有展示出作业，略有缺憾。