14.3因式分解（通用）优秀公开课教案

地区： 四川省 - 广元市 - 昭化区

学校：广元市昭化区王家初级中学

14.3　因式分解 初中数学       人教2011课标版

1．了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系．

2．理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．

3．通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力. 

学习重点：因式分解的概念，用提公因式法分解因式.

学习难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用单项式乘多项式的逆向变形来解决因式分解的问题.

情境1：计算375×2.8＋375×4.9＋375× 2.3

说明：学生对这样 的问题有兴趣，能迅速找出一些不同的速算方法，很快想出乘法分配律的逆向变形，设置这样的情境，由数推广到式，效率较高.

情境2：观察分析

把单项式乘多项式的乘法法则

a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad  ①

反过来，就得到

ab＋ac＋ad =a（b＋c＋d） ②

这个式子的左边是多项式ab＋ac＋ad，右边是a与（b＋c＋d）的乘积.

思考（1）你是怎样认识①式和②式之间的关系的？

   （2）②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗 ？你能说出这个因式吗？

1、概念1.   多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式.

例1、下列多项式的各项是否有公因式？如果有，试找出公因式。

 (1) 6a+8b         (2) ab-ac        (3) m3n2+m2n5

 (4) 2x2-6x3       (5) ab+bc-cd

分析：(1)多项式 6a+8b的公因式是2，……公因式是数字系数；

  (2)多项式ab-ac 的公因式是a，……公因式是字母；

  (4)多项式m2x2-6x3的公因式是2x2，……公因式是数学系数与字母的乘积.

分析并猜想:确定一个多项式的公因式时，要从        和      两方面，分别进行考虑.

（1）如何确定公因式的数字系数？

（2）如何确定公因式的字母？字母的指数 怎么定？

练习：写出下列多项式各项的公因式

（1）9abc-6a2b2+12abc2

（2）3an+1-6an+9an-1

（3）14(n+m)2-35(n+m)3

 概念2   把一个多项式写成几个整式积的形式的叫做多项式的因式分解（说明：因式分解的概念和意义需要学生多层次的 感受，教师不要期望一次透彻的讲解和分析就能让学生完全掌握.这时先让学生进行初步的感受，再通过不同形式的练习增强对概念的理解.
例2、下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？
（1） a2－1=（a＋1）（a－1）
（2）（a＋1）（a－1）=a2－1
（3）
（4）ab+ac+d=a(b+c)+d
说明：学生自己思考，再小组讨论交流，充分暴露学生在概念认识上的误区.分歧较大的问题如x－1=x（1－1/x）等再全班交流，有助于学生正确、深刻地理解因式分解的概念，准确区分整式乘法和因式分解是两种互逆的变形.
例3：把下列各式分解因式
（1）6a3b－9a2b2c           （2）－2m3＋8m2－12m
解：（1）6a3b－9a2b2c
=3a2b•2a－3a2b•3bc……（找公因式，把各项分成公因式与一个单项式的乘积的形式）
=3a2b（2a－3bc）……（提取公因式）
（2）－2m3＋8m2－12m
=－（2m•m2－2m•4m＋2m•6）（首项符号为负，先将多项式放在带负号的括号内）
=－2m（m2－4m＋6）（提取公因式）
说明：鼓励学生自己动手找公因式，教师可提出以下问题供学生思考，并作为题后小结.
（1）用提公因式法分解因式后，括号里的多项式有没有公因式?
（2）用提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数相比，有没有什么变化？
（3）你认为提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是怎样的关系？从中你得到什么启发？
采取小组讨论、交流，再全班交流，教师最后用精炼、准确的语言作总结，有助于学生深刻的理解所学知识，并能认识到知识间的相互联系，形成知识的迁移，降低了本节课 的难点.设计第（3）问的目的是让学生认识到可以用单项式乘多项式法则验证因式分解的正确性.

例4（选用)、把下列各式分解因式

（1）3a(x+y)-2b(y+x)

（2）2x(m-n)+4y(n-m)

（3）(x-y)3x+(y-x)3y

（4）(3x-y)(3x+y)-(2x+5y)(y-3x)

1、三个概念：(1)多项式中每一项都含有的因式，叫做这个多项式各项的公因式.

(2) 把多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式的因式分解

特点:整式的乘法的运算过程与因式分解的运算过程互逆 。

(3)如果多项式的各项含有公因式，那么可以把这个公因式提出来.把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

2、方法规律： 一个多项式各项的公因式：(1) 各项整数系数的最大公约数；(2)各项相同的字母且相同因式的指数取最低。

 3、方法技巧：

     (1) 用提公因式法分解因式的一 般步骤： a、确定公因式  b、把多项式的各项分成公因式与另一因式的乘积的形式 c、提取公因式,得到公因式与另一个多项式的积的形式

     (2) 为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法     运算来检验。

把下列各式分解因式

（1）6a3b－9a2b2c           （2）－2m3＋8m2－12m

14.3　因式分解

14.3　因式分解

情境1：计算375×2.8＋375×4.9＋375× 2.3

说明：学生对这样 的问题有兴趣，能迅速找出一些不同的速算方法，很快想出乘法分配律的逆向变形，设置这样的情境，由数推广到式，效率较高.

情境2：观察分析

把单项式乘多项式的乘法法则

a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad  ①

反过来，就得到

ab＋ac＋ad =a（b＋c＋d） ②

这个式子的左边是多项式ab＋ac＋ad，右边是a与（b＋c＋d）的乘积.

思考（1）你是怎样认识①式和②式之间的关系的？

   （2）②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗 ？你能说出这个因式吗？

1、概念1.   多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式.

例1、下列多项式的各项是否有公因式？如果有，试找出公因式。

 (1) 6a+8b         (2) ab-ac        (3) m3n2+m2n5

 (4) 2x2-6x3       (5) ab+bc-cd

分析：(1)多项式 6a+8b的公因式是2，……公因式是数字系数；

  (2)多项式ab-ac 的公因式是a，……公因式是字母；

  (4)多项式m2x2-6x3的公因式是2x2，……公因式是数学系数与字母的乘积.

分析并猜想:确定一个多项式的公因式时，要从        和      两方面，分别进行考虑.

（1）如何确定公因式的数字系数？

（2）如何确定公因式的字母？字母的指数 怎么定？

练习：写出下列多项式各项的公因式

（1）9abc-6a2b2+12abc2

（2）3an+1-6an+9an-1

（3）14(n+m)2-35(n+m)3

 概念2   把一个多项式写成几个整式积的形式的叫做多项式的因式分解（说明：因式分解的概念和意义需要学生多层次的 感受，教师不要期望一次透彻的讲解和分析就能让学生完全掌握.这时先让学生进行初步的感受，再通过不同形式的练习增强对概念的理解.
例2、下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？
（1） a2－1=（a＋1）（a－1）
（2）（a＋1）（a－1）=a2－1
（3）
（4）ab+ac+d=a(b+c)+d
说明：学生自己思考，再小组讨论交流，充分暴露学生在概念认识上的误区.分歧较大的问题如x－1=x（1－1/x）等再全班交流，有助于学生正确、深刻地理解因式分解的概念，准确区分整式乘法和因式分解是两种互逆的变形.
例3：把下列各式分解因式
（1）6a3b－9a2b2c           （2）－2m3＋8m2－12m
解：（1）6a3b－9a2b2c
=3a2b•2a－3a2b•3bc……（找公因式，把各项分成公因式与一个单项式的乘积的形式）
=3a2b（2a－3bc）……（提取公因式）
（2）－2m3＋8m2－12m
=－（2m•m2－2m•4m＋2m•6）（首项符号为负，先将多项式放在带负号的括号内）
=－2m（m2－4m＋6）（提取公因式）
说明：鼓励学生自己动手找公因式，教师可提出以下问题供学生思考，并作为题后小结.
（1）用提公因式法分解因式后，括号里的多项式有没有公因式?
（2）用提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数相比，有没有什么变化？
（3）你认为提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是怎样的关系？从中你得到什么启发？
采取小组讨论、交流，再全班交流，教师最后用精炼、准确的语言作总结，有助于学生深刻的理解所学知识，并能认识到知识间的相互联系，形成知识的迁移，降低了本节课 的难点.设计第（3）问的目的是让学生认识到可以用单项式乘多项式法则验证因式分解的正确性.

例4（选用)、把下列各式分解因式

（1）3a(x+y)-2b(y+x)

（2）2x(m-n)+4y(n-m)

（3）(x-y)3x+(y-x)3y

（4）(3x-y)(3x+y)-(2x+5y)(y-3x)

1、三个概念：(1)多项式中每一项都含有的因式，叫做这个多项式各项的公因式.

(2) 把多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式的因式分解

特点:整式的乘法的运算过程与因式分解的运算过程互逆 。

(3)如果多项式的各项含有公因式，那么可以把这个公因式提出来.把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

2、方法规律： 一个多项式各项的公因式：(1) 各项整数系数的最大公约数；(2)各项相同的字母且相同因式的指数取最低。

 3、方法技巧：

     (1) 用提公因式法分解因式的一 般步骤： a、确定公因式  b、把多项式的各项分成公因式与另一因式的乘积的形式 c、提取公因式,得到公因式与另一个多项式的积的形式

     (2) 为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法     运算来检验。

把下列各式分解因式

（1）6a3b－9a2b2c           （2）－2m3＋8m2－12m