阅读与思考 数据波动程度的几种度量优秀教学设计内容

地区： 新　疆 - 伊犁 - 伊宁县

学校：伊宁县第四中学

阅读与思考　数据波动程度… 初中数学       人教2011课标版

教学目标：

（一）知识与技能目标：1、了解方差的定义和计算公式。

2. 理解方差概念的产生和形成的过程。

3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。

（ 二）过程与方法：经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验。

（三）情感态度与价值观：培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义。

重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。掌握其求法。

难点：理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断。

教学环节：

活动一：情景创设

引言：通过前面的学习我们发现: 平均数对于数据分析只能反映他们的平均值,在实际问题的研究中,还有很大的局限性.现实生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于平均水平的偏离情况.这是我们今天所要学习的一个新的内容。

生活中的数学 ：

问题1　农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子． 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：

甲

7.65

7.50

7.62

7.59

7.65

7.64

7.50

7.40

7.41

7.41

乙

7.55

7.56

7.53

7.44

7.49

7.52

7.58

7.46

7.53

7.49

根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？

设计意图：这是一个学生很熟悉的问题情境，能增强亲和力．

活动二：探究新知

1）甜玉米的产量可用什么量来描述？请计算后说明．

学生活动后得出：用加权平均数来描述。

通过平均数说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．

用样本估计总体的思想，可估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大．

（2）如何考察这两种甜玉米产量的稳定性呢？

 ①可以通过设计统计图直观地反映出甜玉米产量的分布情况．

甲种甜玉米的产量

师：从图中你观察到了什么？

师：从图中可以看出甲种甜玉米产量波动大，乙种甜玉米产量波动小，如果每组数据的波动大小都要通过图形来看太麻烦，是否可以用一种量来刻画呢？（设有n个数据 怎样来描述它的波动大小？）

②统计学中常采用下面的做法来量化这组数据的波动大小：

师：从图中你可以发现数据的波动大小与什么有关系？

生：与每个数据和集中趋势即平均数的偏离程度有关系。（师：所以我们采用差的形式，边说边板书。）

师：请学生认真观察图，利用图来介绍会出现正负偏差数，为了防止正偏差和负偏差的相互抵消我们可以采用什么办法？

生：思考后可能会出现绝对值和平方。（师分别进行板书）

师：为了显示离散程度的集中趋势，就用它们的平均数。得出两个公式，分别称为方差和平均差。它们都反应了数据的波动大小，谁更具有代表性。

我们通过下面两组数据来说明。教师举例:

甲： 9   1   0   -1   -9

乙： 6   4   0   -4   -6

生：计算出：甲乙的平均差都是4，甲组数据的方差是32.8,乙组数据的方差是20.8。

从直观上看，甲组数据的波动大，但甲乙的平均差都是4，利用平均差区分不出它们的波动大小；而甲组数据的方差是32.8,乙组数据的方差是20.8，用方差可以将它们的波动情况区分出来。

师：说明方差更具有代表性，应用的更加广泛，更科学。所以我们今天重点学习方差，（板书方差公式）并分析公式的结构特征，说明  x1等表示的意义，并归纳方差的几个特征.

设有n个数据 ，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 ，…， 我们用它们的平均数，即用

来衡量这组数据的波动大小，称它为这组数据的方差．记作 。

意义：用来衡量一批数据的波动大小

通过分析公式的结构特征,可以发现：

在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大， 越不稳定，方差越小，说明数据的波动越小， 越稳定。反之，也成立。

师：其实，为了刻画一组数据的波动大小，方法还有许多种，除了我们价绍的方差和平均差外，还有极差和标准差。极差反应的是一组数据的最大值和最小值的差，只能反应局部的波动大小，具有局限性。标准差是方差的算术平方根，在平均数相同或相近的情况下，没有必要算标准差。和这些量相比，方差在反应数据的波动大小上，功能更强些，应用更广泛，更具有代表性，更科学。

③请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度．  

学生活动：分成两个小组完成。

两组数据的方差分别是： 略    

显然　＞　，即说明甲种甜玉米的波动较大，这与我们从产量分布图看到的结果一致．

师：根据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定

学生活动：学生先独立思考，然后组内交流，作出记录，最后各组派代表发主。

设计意图: 培养学生主动参与、合作交流的意识，提高学生的观察、分析、概括和抽象能力

  注意：波动大小指的是与平均数之间差异，那么用每个数据与平均值的差完全平方后便可以反映出每个数据的波动大小，整体的波动大小可以通过对每个数据的波动大小求平均值得到。所以方差公式是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量，教师也可以根据学生程度和课堂时间决定是否介绍平均差等可以反映数据波动大小的其他统计量。

活动三：应用新知

例：在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是：

甲团

163

164

164

165

165

166

166

167

乙团

163

165

165

166

166

167

168

168

哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？

分析应注意的问题：题目中“整齐”的含义是什么？说明在这个问题中要研究一组数据的什么？学生通过思考可以回答出整齐即波动小，所以要研究两组数据波动大小，这一环节是明确题意。

在求方差之前先要求哪个统计量，为什么？学生也可以得出先求平均数，因为公式中需要平均值，这个问题可以使学生明确利用方差计算步骤。

方差怎样去体现波动大小？

这一问题的提出主要复习巩固方差，反映数据波动大小的规律。

由此可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐.

归纳：（1）研究离散程度可用

（2）方差应用更广泛衡量一组数据的波动大小

（3）方差主要应用在平均数相等或接近时

（4）方差大波动大，方差小波动小，一般选波动小的

学生活动：学生先独立思考，然后组内交流，最后各组派代表发主。

设计意图: 进一步巩固所学知识。

活动四：巩固新知

一：填空题；

1.已知一组数据为2、0、-1、3、-4，则这组数据的方差为       。

2.一组数据： ， ，0， ，1的平均数是0，则 =   .方差      .

3如果样本方差 ，

那么这个样本的平均数为        样本容量为                       .

（4）如图是甲、乙两射击运动员的10 次射击训练成绩的折线统计图．观察图形，甲、乙这10 次射击成绩的方差哪个大？

设计意图: 提出这类实际问题，容易引起学生关注，激发他们参与学习的热情．同时能体会到生活中蕴含着数学知识，反过来数学知识又帮助解决了生活中的许多实际问题，从而感受到新知识的用途

活动五：总结归纳

（1）方差怎样计算？

（2）你如何理解方差的意义？

方差越大，数据的波动越大；

     方差越小，数据的波动越小．

 (3)  方差的适用条件：

     当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况

学生活动：学生先独立思考，并自己归纳。

设计意图:通过学生自己归纳本节课的知识点，使学生在思维能力上有一个提升。

阅读与思考　数据波动程度的几种度量

阅读与思考　数据波动程度的几种度量

教学环节：

活动一：情景创设

引言：通过前面的学习我们发现: 平均数对于数据分析只能反映他们的平均值,在实际问题的研究中,还有很大的局限性.现实生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于平均水平的偏离情况.这是我们今天所要学习的一个新的内容。

生活中的数学 ：

问题1　农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子． 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：

甲

7.65

7.50

7.62

7.59

7.65

7.64

7.50

7.40

7.41

7.41

乙

7.55

7.56

7.53

7.44

7.49

7.52

7.58

7.46

7.53

7.49

根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？

设计意图：这是一个学生很熟悉的问题情境，能增强亲和力．

活动二：探究新知

1）甜玉米的产量可用什么量来描述？请计算后说明．

学生活动后得出：用加权平均数来描述。

通过平均数说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．

用样本估计总体的思想，可估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大．

（2）如何考察这两种甜玉米产量的稳定性呢？

 ①可以通过设计统计图直观地反映出甜玉米产量的分布情况．

甲种甜玉米的产量

师：从图中你观察到了什么？

师：从图中可以看出甲种甜玉米产量波动大，乙种甜玉米产量波动小，如果每组数据的波动大小都要通过图形来看太麻烦，是否可以用一种量来刻画呢？（设有n个数据 怎样来描述它的波动大小？）

②统计学中常采用下面的做法来量化这组数据的波动大小：

师：从图中你可以发现数据的波动大小与什么有关系？

生：与每个数据和集中趋势即平均数的偏离程度有关系。（师：所以我们采用差的形式，边说边板书。）

师：请学生认真观察图，利用图来介绍会出现正负偏差数，为了防止正偏差和负偏差的相互抵消我们可以采用什么办法？

生：思考后可能会出现绝对值和平方。（师分别进行板书）

师：为了显示离散程度的集中趋势，就用它们的平均数。得出两个公式，分别称为方差和平均差。它们都反应了数据的波动大小，谁更具有代表性。

我们通过下面两组数据来说明。教师举例:

甲： 9   1   0   -1   -9

乙： 6   4   0   -4   -6

生：计算出：甲乙的平均差都是4，甲组数据的方差是32.8,乙组数据的方差是20.8。

从直观上看，甲组数据的波动大，但甲乙的平均差都是4，利用平均差区分不出它们的波动大小；而甲组数据的方差是32.8,乙组数据的方差是20.8，用方差可以将它们的波动情况区分出来。

师：说明方差更具有代表性，应用的更加广泛，更科学。所以我们今天重点学习方差，（板书方差公式）并分析公式的结构特征，说明  x1等表示的意义，并归纳方差的几个特征.

设有n个数据 ，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 ，…， 我们用它们的平均数，即用

来衡量这组数据的波动大小，称它为这组数据的方差．记作 。

意义：用来衡量一批数据的波动大小

通过分析公式的结构特征,可以发现：

在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大， 越不稳定，方差越小，说明数据的波动越小， 越稳定。反之，也成立。

师：其实，为了刻画一组数据的波动大小，方法还有许多种，除了我们价绍的方差和平均差外，还有极差和标准差。极差反应的是一组数据的最大值和最小值的差，只能反应局部的波动大小，具有局限性。标准差是方差的算术平方根，在平均数相同或相近的情况下，没有必要算标准差。和这些量相比，方差在反应数据的波动大小上，功能更强些，应用更广泛，更具有代表性，更科学。

③请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度．  

学生活动：分成两个小组完成。

两组数据的方差分别是： 略    

显然　＞　，即说明甲种甜玉米的波动较大，这与我们从产量分布图看到的结果一致．

师：根据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定

学生活动：学生先独立思考，然后组内交流，作出记录，最后各组派代表发主。

设计意图: 培养学生主动参与、合作交流的意识，提高学生的观察、分析、概括和抽象能力

  注意：波动大小指的是与平均数之间差异，那么用每个数据与平均值的差完全平方后便可以反映出每个数据的波动大小，整体的波动大小可以通过对每个数据的波动大小求平均值得到。所以方差公式是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量，教师也可以根据学生程度和课堂时间决定是否介绍平均差等可以反映数据波动大小的其他统计量。

活动三：应用新知

例：在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是：

甲团

163

164

164

165

165

166

166

167

乙团

163

165

165

166

166

167

168

168

哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？

分析应注意的问题：题目中“整齐”的含义是什么？说明在这个问题中要研究一组数据的什么？学生通过思考可以回答出整齐即波动小，所以要研究两组数据波动大小，这一环节是明确题意。

在求方差之前先要求哪个统计量，为什么？学生也可以得出先求平均数，因为公式中需要平均值，这个问题可以使学生明确利用方差计算步骤。

方差怎样去体现波动大小？

这一问题的提出主要复习巩固方差，反映数据波动大小的规律。

由此可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐.

归纳：（1）研究离散程度可用

（2）方差应用更广泛衡量一组数据的波动大小

（3）方差主要应用在平均数相等或接近时

（4）方差大波动大，方差小波动小，一般选波动小的

学生活动：学生先独立思考，然后组内交流，最后各组派代表发主。

设计意图: 进一步巩固所学知识。

活动四：巩固新知

一：填空题；

1.已知一组数据为2、0、-1、3、-4，则这组数据的方差为       。

2.一组数据： ， ，0， ，1的平均数是0，则 =   .方差      .

3如果样本方差 ，

那么这个样本的平均数为        样本容量为                       .

（4）如图是甲、乙两射击运动员的10 次射击训练成绩的折线统计图．观察图形，甲、乙这10 次射击成绩的方差哪个大？

设计意图: 提出这类实际问题，容易引起学生关注，激发他们参与学习的热情．同时能体会到生活中蕴含着数学知识，反过来数学知识又帮助解决了生活中的许多实际问题，从而感受到新知识的用途

活动五：总结归纳

（1）方差怎样计算？

（2）你如何理解方差的意义？

方差越大，数据的波动越大；

     方差越小，数据的波动越小．

 (3)  方差的适用条件：

     当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况

学生活动：学生先独立思考，并自己归纳。

设计意图:通过学生自己归纳本节课的知识点，使学生在思维能力上有一个提升。